二次函数综合型问题.doc

第46课时二次函数综合型问题(50分)一、选择题(每题10分，共10分)图46112015·嘉兴如图461，抛物线yx22xm1交x轴于点A(a，0)和B(b，0)，交y轴于点C，抛物线的顶点为D.下列四个判断：当x>0时，y>0；若a1，则b4；抛物线上有两点P(x1，y1)和Q(x2，y2)若x1<1<x2且x1x2>2，则y1>y2；点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，当m2时，四边形EDFG周长最小值为6.其中正确判断的序号是 (C)A B C D【解析】根据二次函数所作象限，判断出y的符号；根据A，B关于对称轴对称，求出b的值；根据1，得到x11x2，从而得到Q点距离对称轴较远，进而判断出y1y2；作D关于y轴的对称点D，E关于x轴的对称点E，连结DE，DE与DE的和即为四边形EDFG周长的最小值求出D，E，D，E的坐标即可解答二、填空题(每题10分，共10分)图46222015·衢州如图462，已知直线yx3分别交x轴，y轴于点A，B，P是抛物线yx22x5上一个动点，其横坐标是a，过点P且平行y轴的直线交直线yx3于点Q，则PQBQ时，a的值是_4，1，42或42_.【解析】P点横坐标为a，因为P点在抛物线yx22x5上，所以P点坐标为，又PQy轴，且Q点在函数yx3上，所以点Q坐标为，B点坐标为(0，3)，根据平面内两点间的距离公式，可得PQ，BQ，根据题意，PQBQ，所以，解得a的值分别为1，4，42或42.三、解答题(共30分)3(15分)2014·内江改编如图463，抛物线yax2bxc经过点A(3，0)，C(0，4)，点B在抛物线上，CBx轴且AB平分CAO.(1)求抛物线的解析式；(2)线段AB上有一动点P，过P作y轴的平行线，交拋物线于点Q，求线段PQ的最大值图463解：(1)A(3，0)，C(0，4)，AC5，AB平分CAO，CABBAO，CBx轴，CBABAO，CABCBA，ACBC5，B(5，4)，A(3，0)，C(0，4)，B(5，4)代入yax2bxc得解得所以yx2x4；第3题答图(2)设AB的解析式为ykxb，把A(3，0)，B(5，4)代入得解得直线AB的解析式为yx；可设P，Q，则PQx2x4(x1)2，当x1时，PQ最大，且最大值为.4(15分)2015·福州改编如图464，抛物线yx24x与x轴交于O，A两点，P为抛物线上一点，过点P的直线yxm与对称轴交于点Q.(1)这条抛物线的对称轴是_x2_；直线PQ与x轴所夹锐角的度数是_45°_；(2)若两个三角形面积满足SPOQSPAQ，求m的值解：(2)设直线PQ交x轴于点B，分别过点O，A作PQ的垂线，垂足分别为E，F.当点B在OA的延长线上时，显然SPOQSPAQ不成立如答图所示，当点B落在线段OA上时，图464由OBEABF，得，AB3OB.OBOA.由yx24x得点A(4，0)，OB1，B(1，0)第4题答图1m0，m1；如答图所示，当点B落在线段AO的延长线上时，由OBEABF，得，AB3OB.OBOA.第4题答图由yx24x得点A(4，0)，OB2，B(2，0)2m0，m2.综上所述，当m1或2时，SPOQSPAQ.(30分)图4655(15分)2015·株洲如图465，已知抛物线的表达式为yx26xc.(1)若抛物线与x轴有交点，求c的取值范围；(2)设抛物线与x轴两个交点的横坐标分别为x1，x2，若xx26，求c的值；(3)若P，Q是抛物线上位于第一象限的不同两点，PA，QB都垂直于x轴，垂足分别为A，B，且OPA与OQB全等，求证：c>.解：(1)yx26xc与x轴有交点，x26xc0有实数根，b24ac0，即624×(1)×c0，解得c9；(2)x26xc0有解，且xx26，c9，(x1x2)22x1x226，即2×26，解得c5；(3)设P的坐标为(m，n)，则Q点坐标为(n，m)，且m>0，n>0，mn，将这两个点的坐标代入方程得得n2m27(mn)0，(mn)(mn7)0，mn7，n7m，代入方程得，m27m(c7)0，存在这样的点，以上方程有解，724×(1)×(c7)0，解得c，而当c时，m，此时n，故c>.图4666(15分)2015·温州如图466抛物线yx26x交x轴正半轴于点A，顶点为M，对称轴MB交x轴于点B，过点C(2，0)作射线CD交MB于点D(D在x轴上方)，OECD交MB于点E，EFx轴交CD的延长线于点F，作直线MF.(1)求点A，M的坐标；(2)当BD为何值时，点F恰好落在该抛物线上？(3)当BD1时，求直线MF的解析式，并判断点A是否落在该直线上；延长OE交FM于点G，取CF中点P，连结PG，FPG，四边形DEGP，四边形OCDE的面积分别记为S1，S2，S3，则S1S2S3_348_.解：(1)令y0，则x26x0，解得x10，x26，A(6，0)，对称轴是直线x3，M(3，9)；(2)OECF，OCEF，C(2，0)，EFOC2，BC1，点F的横坐标为5，点F落在抛物线yx26x上，F(5，5)，BE5.，DE2BD，BE3BD，BD；(3)当BD1时，BE3，F(5，3)第6题答图设MF的解析式为ykxb，将M(3，9)，F(5，3)代入，得解得y3x18.当x6时，y3×6180，点A落在直线MF上；BD1，BC1，BDC为等腰直角三角形，OBE为等腰直角三角形，CD，CFOE3，DP，PF，根据MF及OE的解析式求得点G的坐标为，作GNEF交EF于点N，则ENGN，所以EG，SFPG，S梯形DEGP，S梯形OCDE的高相等，所以三者面积比等于底之比，故SFPGS梯形DEGPS梯形OCDEPF(DPEG)(DCOE)(31)24348.(20分)7(20分)2015·成都如图467，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax22ax3a(a0)与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，经过点A的直线l：ykxb与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD4AC. 图467 备用图(1)直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式(其中k，b用含a的式子表示)；(2)点E是直线l上方的抛物线上的动点，若ACE的面积的最大值为，求a的值；(3)设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由解：(1)令ax22ax3a0，解得x11，x23，A点坐标为(1，0)；直线l经过点A，0kb，bk，ykxk，令ax22ax3akxk，即ax2(2ak)x3ak0，CD4AC，点D的横坐标为4，31×4，ka，直线l的函数表达式为yaxa；(2)如答图，过点E作EFy轴，交直线l于点F，设E(x，ax22ax3a)，则F(x，axa)，EFax22ax3a(axa)ax23ax4a，第7题答图SACESAFESCFE(ax23ax4a)(x1)(ax23ax4a)x(ax23ax4a)aa，ACE的面积的最大值为a.ACE的面积的最大值为，a，解得a；(3)令ax22ax3aaxa，即ax23ax4a0，解得x11，x24，D(4，5a)，yax22ax3a，抛物线的对称轴为x1，设P(1，m)，如答图，若AD是矩形的一条边，则Q(4，21a)，m21a5a26a，则P(1，26a)，四边形ADPQ为矩形，ADP90°，AD2PD2AP2，52(5a)2(14)2(26a5a)2(11)2(26a)2，即a2，a0，a，P1；第7题答图如答图，若AD是矩形的一条对角线，则线段AD的中点坐标为，Q(2，3a)，m5a(3a)8a，则P(1，8a)，四边形APDQ为矩形，APD90°，AP2PD2AD2，(11)2(8a)2(14)2(8a5a)252(5a)2，即a2，a0，a，P2(1，4)，综上所述，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能成为矩形，点P的坐标为或(1，4)第12页