2022年解析几何第四版复习重点第四章柱面锥面旋转面与二次曲面 .pdf
学习必备欢迎下载第四章柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面 4.1 柱面2、设柱面的准线为zxzyx222，母线垂直于准线所在的平面，求这柱面的方程。解：由题意知：母线平行于矢量2, 0, 1任取准线上一点),(0000zyxM，过0M的母线方程为：tzzyytxxtzzyytxx22000000而0M在准线上，所以：)2(2)2(22tztxtzytx消去t，得到：010204254222zxxzzyx此即为所求的方程。3、求过三条平行直线211, 11,zyxzyxzyx与的圆柱面方程。解 ： 过 原 点 且 垂 直 于 已 知 三 直 线 的 平 面 为0zyx： 它 与 已 知 直 线 的 交 点 为)34,31,31(),1,0, 1(,0,0,0， 这 三 点 所 定 的 在 平 面0zyx上 的 圆 的 圆 心 为)1513,1511,152(0M，圆的方程为：07598)1513()1511()152(222zyxzyx此即为欲求的圆柱面的准线。又过准线上一点),(1111zyxM，且方向为1, 1, 1的直线方程为：tzztyytxxtzztyytxx111111将此式代入准线方程，并消去t得到：013112)(5222zyxzxyzxyzyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页学习必备欢迎下载此即为所求的圆柱面的方程。 4.2 锥面2、已知锥面的顶点为)2,1,3(，准线为0,1222zyxzyx，试求它的方程。解：设),(zyxM为要求的锥面上任一点，它与顶点的连线为：221133zZyYxX令它与准线交于),(000ZYX，即存在t，使tzZtyYtxX)2(2) !(1)3(3000将它们代入准线方程，并消去t得：044441026753222zyxxzyzxyzyx此为要求的锥面方程。4、求以三坐标轴为母线的圆锥面的方程。解： （这里仅求、卦限内的圆锥面，其余类推）圆锥的轴l与kji,等角，故l的方向数为1:1:1与l垂直的平面之一令为1zyx平面1zyx在所求的锥面的交线为一圆，该圆上已知三点) 1 ,0,0(),0,1 ,0(),0 ,0,1(，该圆的圆心为)31,31,31(，故该圆的方程为：1)32()31()31()31(2222zyxzyx它即为要求圆锥面的准线。对锥面上任一点),(zyxM，过M与顶点O的母线为：zZyYxX令它与准线的交点为),(000ZYX，即存在t，使ztZytYxtX000,，将它们代入准线方程，并消去t得：0zxyzxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页学习必备欢迎下载此即为要求的圆锥面的方程。5、求顶点为)4,2, 1 (，轴与平面022zyx垂直， 且经过点)1,2,3(的圆锥面的方程。解：轴线的方程为：142221zyx过点)1,2,3(且垂直于轴的平面为：0) 1()2(2)3(2zyx即：01122zyx该平面与轴的交点为)937,920,911(，它与)1,2, 3(的距离为：3116)1937()2920()3911(222d要求圆锥面的准线为：011229116)937()920()911(222zyxzyx对锥面上任一点),(zyxM，过该点与顶点的母线为：442211zZyYxX令它与准线的交点为),(000ZYX，即存在t，使,)1(10txX,)2(20tyYtzZ)4(40将它们代入准线方程，并消去t得：01299252516518525210412515122zyxzxyzxyzyx 4.3 旋转曲面1、求下列旋转曲面的方程：（1） ；111112xyz绕1112xyz旋转（2） ；1211xyz绕1112xyz旋转（3）1133xyz绕z轴旋转；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页学习必备欢迎下载（4）空间曲线2221zxxy绕z轴旋转。解： （1）设1111(,)Mxy z是母线111112xyz上任一点，过1M的纬圆为：111222222111()()2()0(1)(1)(1)(2)xxyyzzxyzxyz又1M在母线上。111111112xyz从（ 1）（ 3）消去111,xy z，得到：22255224444480 xyzxyyzxzxyz此为所求的旋转面方程。（2）对母线上任一点1111(,)Mxy z，过1M的纬圆为：111222222111()()2()0(1)(1)(1)(2)xxyyzzxyzxyz因1M在母线上，1111211xyz(3) 从（ 1）（ 3）消去111,xy z，得到：2225523122424242446230 xyzxyyzxzxyz此为所求的旋转面的方程。（3）对母线上任一点1111(,)Mxy z，过该点的纬圆为：1222222111(1)(2)zzxyzxyz又1M在母线上，所以：1111133xyz（3）从（ 1）（ 3）消去111,xy z，得到：2229()10690 xyzz此为所求的旋转面方程。（4）对母线上任一点1111(,)Mxy z，过1M的纬圆为：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页学习必备欢迎下载1222222111(1)(2)zzxyzxyz又1M在母线上，所以2112211(1)1(2)zxxy从（ 1）（ 3）消去111,xy z，得到：221xy211101zzxz即旋转面的方程为：221xy( 01)z 4.4 椭球面2、设动点与点(1,0,0)的距离等于从这点到平面4x的距离的一半，试求此动点的轨迹。解：设动点( , , )Mx y z，要求的轨迹为，则2222221( , , )(1)4344122Mx y zxyzxxyz即：2221433xyz此即为的方程。3、 由椭球面2222221xyzabc的中心（即原点）， 沿某一定方向到曲面上的一点的距离为r，设定方向的方向余弦分别为,，试证：22222221rabc证明：沿定方向, 到曲面上一点，该点的坐标为,rrr该点在曲面上2222222221rrrabc即22222221rabc精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页学习必备欢迎下载4、 由椭球面2222221xyzabc的中心，引三条两两相互垂直的射线，分别交曲面123,ppp，设112233,opr opropr，试证：222222123111111rrrabc证明：利用上题结果，有22222221(1,2,3)iiiiirabc其中,iii是iop的方向余弦。若将(1,2,3)iop i所在的直线看成新的坐标系的三个坐标轴，则123,是坐标矢量关于新坐标系的方向余弦， 从而2221231， 同理，2221231，2221231所以，222222222123123123222222123222111111()()()111rrrabcabc即：222222123111111rrrabc 4.5双曲面3、 已知单叶双曲面2221494xyz， 试求平面的方程， 使这平面平行于yoz面 （或xoz面）且与曲面的交线是一对相交直线。解：设所求的平面为xk，则该平面与单叶双曲面的交线为：（* ）2221494xyzxk亦即2221944yzkxk为使交线（ * ）为二相交直线，则须：2104k，即2k所以，要求的平面方程为：2x同理，平行于xoy的平面要满足它与单叶双曲面的交线为二相交直线，则该平面为：3y精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页学习必备欢迎下载4、设动点与(4,0,0)的距离等于这点到平面1x的距离的两倍，试求这动点的轨迹。解：设动点( , , )Mx y z，所求轨迹为，则2222222( , , )(4)21(4)4(1)M x y zxyzxxyzx亦即：222141212xyz此为的轨迹方程。5、试求单叶双曲面22211645xyz与平面230 xz的交线对xoy平面的射影柱面。解：题中所设的交线为：22211645230 xyzxz从此方程中消去z，得到：2220241160 xyx此即为要求的射影柱面方程。 4.6抛物面2、适当选取坐标系，求下列轨迹的方程：（1）到一定点和一定平面距离之比为定常数的点的轨迹；（2） 与两给定的异面直线等距离的点的轨迹，已知两异面直线间的距离为a2， 夹角为2。解： （1）取定平面为xoy面，过定点且垂直于xoy面的直线作为z轴，则定点的坐标设为),0 ,0(a，而定平面即为0z，设比值常数为c，并令所求的轨迹为，则点czazyxzyxM222)(),(即02)1(22222aazzcyx此为的方程。（2）取二异面直线的公垂线为轴，中点的坐标为原点；再取x轴，使其与二异面直线的夹角相等，则二异面直线的方程为：azxtgy0与azxtgy0设所求的轨迹为，则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页学习必备欢迎下载222222221110011100),(tgtgyxxaztgazytgtgyxxaztgazyzyxM即：22222222)()()()()()(yxazaztgyxtgazaztg经同解化简得：xyazcossin此即所要求的轨迹方程。 4.7单叶双曲面与双叶双曲面的直母线3、在双曲抛物面zyx41622上，求平行于平面0423zyx的直母线。解：双曲抛物面zyx41622的两族直母线为：zyxuuyx)24(24及zyxvvyx)24(24第一族直母线的方向矢量为：, 1, 2u第二族直母线的方向矢量为：, 1 ,2v据题意，要求的直母线应满足：204232104232vvuu要求的直母线方程为：zyxyx24124及224224zyxyx5、 求与两直线11236zyx与214283zyx相交，而且与平面0532yx平精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页学习必备欢迎下载行的直线的轨迹。解：设动直线与二已知直线分别交于),(),(111000zyxzyx，则11236000zyx，214283111zyx又动直线与平面0532yx平行，所以，0)(3)(21010yyxx对动直线上任一点),(zyxM，有：010010010zzzzyyyyxxxx从（ 1）（ 4）消去111000,zyxzyx，得到：zyx44922精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页
