2022年计算机图形学总结复习 .pdf

第一章复习重点：计算机图形学的概念：计算机图形学： 是研究怎样用计算机表示、生成、 处理和显示图形的一门学科。几个图形学中的基本概念：计算机图形 ：用计算机生成、 处理和显示的对象；由几何数据和几何模型，利用计算机进行显示并存储，并可以进行修改、完善后形成的；图象处理： 将客观世界中原来存在的物体影象处理成新的数字化图象的相关技术；如CT扫描、 X射线探伤等；模式识别 ：对所输入的图象进行分析和识别，找出其中蕴涵的内在联系或抽象模型；如邮政分检设备、地形地貌识别等；计算几何： 研究几何模型和数据处理的学科，讨论几何形体的计算机表示、分析和综合， 研究如何方便灵活、 有效地建立几何形体的数学模型以及在计算机中更好地存贮和管理这些模型数据；图像（数字图像） ：点阵表示，枚举出图形中所有的点(强调图形由点构成)简称为参数表示图形： 由图形的形状参数(方程或分析表达式的系数，线段的端点坐标等)+属性参数 (颜色、线型等 )来表示图形图形： 计算机图形学的研究对象，主要分为两类：基于线条信息表示。明暗图(Shading)能在人的视觉系统中产生视觉印象的客观对象。包括自然景物、拍摄到的图片、用数学方法描述的图形等等构成图形的 要素几何要素：刻画对象的轮廓、形状等非几何要素：刻画对象的颜色、材质等常用的图形输入设备分为两种：矢量型图形输入设备与光栅型的区别：矢量型输入设备采用跟踪轨迹、 记录坐标点的方法输入图形。主要输入数据形式为直线活折线组成的图形数据。光栅扫描型图形输入设备采用逐行扫描、 按一定密度采样的方式输入图形，主要输入的数据为一幅由亮度值构成的像素矩阵图像。常用的图形输出设备分为两类：向量型向量型设备的作画机构随着图形的输出形状而移动并成像光栅扫描型光栅扫描型设备的作画机构按光栅矩阵方式扫描整张图面，并按输出内容对图形成像。显示器原理：1.随即扫描显示器：应用程序发出绘图命令，解析成显示处理器可接受2.命令格式，存放在刷新存储器中。刷新存储器中所有的3.绘图命令组成一个显示文件，由显示控制器负责解释执4.行(刷新 )， 驱动电子枪在屏幕上绘图。5.特点：电子束可随意移动，只扫描荧屏上要显示的部分。修改图形，实际是修改显示文件中的某些绘图命令。 （电子束的定位和偏转具有随即性）6.彩色阴极射线管7.通过把发出不同颜色的荧光物质进行组合而实现的。通常用 射线穿透法 和影孔板法 实现精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 19 页彩色显示。应用：主要用于画线显示器优点：成本低缺点：只能产生有限几种颜色。8.存储管式图形显示器9.发展了利用管子本身来储存信息的技术。10. 光栅扫描式图形显示器（随机扫描显示器工作原理：从显示文件存储器中去处画线指令或显示字符指令、方式指令 （如高度、 线性等），送到显示控制器，由显示控制器控制电子束的偏转，轰击荧光屏上的荧光材料，从而产生一条发亮的图形轨迹。特点：随机扫描显示器中电子束的定位和偏转具有随机性，在某一时刻，显示屏上只有一个光点发光，因而可以画出很细的图形。光栅扫描显示器工作原理：在这种显示器中，电子束的运动轨迹是固定的。即从左到右、 自上而下扫描荧光屏，来产生一幅光栅。特点： 由于图形是以点阵的形式存储在帧缓冲器中。所以光栅扫描显示器的电子束按从上到下、从左到右的顺序依次扫描屏幕，来建立图形。缺点：动态不如随机扫描器好。优点：可读性强，可控制亮度与颜色）第二章复习重点假设直线的起点坐标为P1 (x1,y1)，终点坐标为P2 (x2,y2)，x 方向的增量为xx2x1 ；y 方向上增量为yy2y1 直线的斜率为k y x 当 x y 时，让x 从 x1 到 x2 变化， 每步递增1，那么， x 的变化可以表示为x （ i+1）xi+1 y 的变化可以表示为y（i+1） yik综合考虑， 按照从 (x1, y1)到(x2, y2)方向不同， 分 8 个象限 (图 2.1)。对于方向在第1a象限内的直线而言，取增量值Dx=1，Dy=m。对于方向在第1b 象限内的直线而言，取增量值 Dy=1，Dx=1/m。算法描述如下：dda_line(xa, ya, xb, yb, c)int xa, ya, xb, yb, c; / 使用DDA 算法，每生成一条直线做两次除法，画线中每一点做两次加法。float delta_x, delta_y, x, y;int dx, dy, steps, k;dx=xbxa;dy=ybya;if(abs(dx)abs(dy)steps=abs(dx);else steps=abs(dy);delta_x=(float)dx/(float)steps;delta_y=(float)dy/(float)steps;x=xa;y=ya;set_pixel(x, y, c);for(k=1;k=steps;k+)x+=delta_x;y+=delta_y;set_pixel(int)(x+0.5), （int)(y+0.5), c); 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 19 页直线 Bresenham 算法根据上面的推导，圆周生成算法思想如下： 求误差初值， p1=32r，i=1，画点 (0, r)； 求下一个光栅位置，其中xi+1=xi+1，如果 pi0 则 yi+1=yi，否则 yi+1=yi1； 画点 (xi+1, yi+1)； 计算下一个误差，如果piSetPixel(x,y,c);while(xxend)x+;if(pSetPixel(x,y,c);根据上面的推导，圆周生成算法思想如下： 求误差初值， p1=32r，i=1，画点 (0, r)； 求下一个光栅位置，其中xi+1=xi+1，如果 pi0 则 yi+1=yi，否则 yi+1=yi1； 画点 (xi+1, yi+1)； 计算下一个误差，如果pi0 则 pi+1=pi+4xi+6，否则 pi+1=pi+4(xiyi)+10； i=i+1，如果 x=y 则结束，否则返回步骤2。circle(xc, yc, radius, c)int xc, yc, radius, c;int x, y, p;x=0;y=radius;p=32*radius ；while(xy)plot_circle_points(xc,yc,x,y,c);if(pCi其中，常数d=0.035 557 3。当i时，可判定P0 在多边形内。当i时，可判定P0 在多边形外。 交点计数检验法当多边形是凹多边形，甚至还带孔时，可采用交点计数法判断点是否在多边形内。具体做法是，从判断点作一射线至无穷远,求射线与多边形边的交点个数。若交点个数为奇数，则点在多边形内；否则，点在多边形外。当射线穿过多边形顶点时，必须特殊对待。若共享顶点的两边在射线的同一侧，则交点计数加2，否则加 1。按这种方法， 交点计数为偶数时点在多边形外；交点计数为奇数时点在多边形内。凸包算法求多边形或多面体的包围盒是相当简便的。只要遍历其所有顶点，就求出包围盒。对于一般的几何形体，则要根据其具体性质来求。对含有曲线、曲面的几何体进行求交时，常常先求它们的一个凸多边形或凸多面体的凸包。由于凸多边形和凸多面体间的求交相对简单，因此可以节省一定的计算量。例如， Bezier 曲线、 B 样条和 NURBS曲线、曲面具有凸包性质，其控制多边形或控制网格是其本身的凸包一般的凸包的求法因具体情况而异，下面举一个求圆弧凸包的例子。设圆弧段的圆方程为 (xx0)2+(yy0)2=r2，圆弧起始角为1，终止角为2。对圆弧计算凸包如图2.19所示。先根据起始角1 与终止角2 求出相应的弧端点P1、P2坐标，进而求出弧的弦中点 Pm=(P1+P2)/2。设圆弧段的圆方程为(xx0)2+(yy0)2=r2，圆弧起始角为1，终止角为2。对圆弧计算凸包如图2.19 所示。先根据起始角1 与终止角2 求出相应的弧端点 P1、P2 坐标，进而求出弧的弦中点Pm=(P1+P2)/2。再用下式计算弧中点Pc：则该弧的包围盒顶点为P1、P1+(PcPm)、P2+(PcPm)、P2。直线剪裁算法有两个主要步骤。 首先将不需剪裁的直线挑出，即删去在窗外的直线。 然后，对其余直线，逐条与窗框求交点，并将窗口外的部分删去。Cohen-Sutherland 直线剪裁算法以区域编码为基础，将窗口及其周围的8 个方向以4 bit 的二进制数进行编码。各编码分别代表窗外上下右左空间的编码分为5 个区域： 内域：区域 (0000)。 上域：区域 (1001, 1000, 1010)。 下域：区域 (0101, 0100, 0110)。 左域：区域 (1001, 0001, 0101)。右域：区域 (1010, 0010, 0110)。当线段的两个端点的编码的逻辑“与”非零时，线段为显然不可见的对某线段的两个端点的区号进行位与运算，可知这两个端点是否同在视区的上、下、左、右；算法的主要思想是，对每条直线P1P2： 对直线两端点P1、P2编码分别记为C1(P1)=a1, b1, c1, d1，C2(P2)=a2, b2, c2, d2其中， ai、bi、 ci、di 取值范围为 1, 0，i1, 2。 如果 ai=bi=ci=di=0，则显示整条直线，取出下一条直线，返步骤(1)。否则，进入步骤(3)。如果 |a1a2|=1 ，则求直线与窗上边(y=yw-max)的交点，并删去交点以上部分。如果|b1b2|=1 ，|c1c2= |精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 19 页1，|d1d2|=1 ，作类似处理。 返步骤 (1)。Cohen-Sutherland 算法 C语言程序#define LEFT 1 #define RIGHT 2 #define BOTTOM 4 #define TOP 8 int encode(float x,float y) int c=0; if(xXR) c|=RIGHT; if(xYT) c|=TOP; retrun c; void CS_LineClip(x1,y1,x2,y2,XL,XR,YB,YT) float x1,y1,x2,y2,XL,XR,YB,YT;/(x1,y1)(x2,y2) 为线段的端点坐标，其他四个参数定义窗口的边界 int code1,code2,code; code1=encode(x1,y1); code2=encode(x2,y2); while(code1!=0 |code2!=0) if(code1&code2 !=0) return; /位于窗口外code = code1; if(code1=0) code = code2; if(LEFT&code !=0) / 求线段与窗口边界的交点 x=XL; / 左y=y1+(y2-y1)*(XL-x1)/(x2-x1); else if(RIGHT&code !=0) x=XR; /右y=y1+(y2-y1)*(XR-x1)/(x2-x1); else if(BOTTOM&code !=0) y=YB; /下x=x1+(x2-x1)*(YB-y1)/(y2-y1); else if(TOP & code !=0) y=YT; /上x=x1+(x2-x1)*(YT-y1)/(y2-y1); if(code =code1) x1=x;y1=y; code1 =encode(x,y); else 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 19 页x2=x;y2=y; code2 =encode(x,y); displayline（x1,y1,x2,y2); / 线段位于窗口内 中点分割裁剪算法基本思想：与前一种Cohen-Sutherland 算法一样首先对线段端点进行编码，并把线段与窗口的关系分为三种情况: 全在、完全不在和线段和窗口有交。对前两种情况，进行一样的处理。对于第三种情况，用中点分割的方法求出线段与窗口的交点。从p1 出发找最近可见点的方法:先求出 p1p2 的中点pm 若 p1pm 不是显然不可见的，并且p1pm 在窗口中有可见部分， 则距 p1 最近的可见点一定落在p1pm 上， 所以用 p1pm 代替 p1p2.。否则取 pmp2 代替 p1p2。再对新的p1p2 求中点 pm。重复上述过程，直到 p1pm 长度小于给定的控制常数为止，此时pm 收敛于交点。多边形的剪裁多边形剪裁算法的关键在于，通过剪裁，要保持窗口内多边形的边界部分，而且要将窗框的有关部分按一定次序插入多边形的保留边界之间，从而使剪裁后的多边形的边仍然保持封闭状态，以便填色算法得以正确实现。基本思想：通过简单地一次用窗口的一条边裁剪多边形算法：(1) 将多边形表示为顶点表，即P1，P2，Pn-1，Pn , 并生成边表P1P2，P2P3， Pn-1Pn， PnP1，(2) 用窗口边裁剪原多边形，生成中间多边形(3) 对中间多边形重复步骤(2)， 直至被窗口所有边裁剪完为止关键：根据多边形的边表，逐次对每一段边与裁剪线(窗口边 )比较，判别输入顶点的个数和坐标，并联结成封闭多边形具体操作：Pi 若位于边界线的可见一侧，则Pi 送输出顶点表Pi 若位于边界线的不可见一侧，则将其舍弃。除第一个顶点外，还要检查每一个Pi 和前一顶点Pi-1 是否位于窗口边界的同一侧，若不在同一侧，则需计算出交点送输出顶点表。最后一个顶点Pn 则还要与P1 一起进行同样的检查。字符串的剪裁字符串剪裁有3 种可选择的方法。 字符串的有或无剪裁。 字符的有或无剪裁字符的精密剪裁。反走样走样： 用离散量表示连续量引起的失真现象称之为走样(aliasing)反走样： 用于减少或消除走样这种效果的技术称为反走样(antialiasing)常用的反走样方法主要有：提高分辨率、非加权区域取样和加权区域取样提高分辨率方法简单，但代价非常大。显示器的水平、竖直分辩率各提高一倍，则显示器的点距减少一倍，帧缓存容量则增加到原来的4 倍， 而扫描转换同样大小的图元却要花4 倍时间。另一种方法（软件方法）：用较高的分辨率的显示模式下计算，（对各自像属下计算，再求（非）加权平均的颜色值） ，在较低的分辨率模式下显示。只能减轻而不能消除锯齿问题。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 19 页简单区域取样基本思想：每个象素是一个具有一定面积的小区域，将直线段看作具有一定宽度的狭长矩形。当直线段与象素有交时，求出两者相交区域的面积，然后根据相交区域面积的大小确定该象素的亮度值。缺点：象素的亮度与相交区域的面积成正比，而与相交区域落在象素内的位置无关，这仍然会导致锯齿效应。直线条上沿理想直线方向的相邻两个象素有时会有较大的灰度差。加权区域取样采用圆锥形滤波器，圆锥的底圆中心在当前像素，底圆半径为一个像素，锥高为1。当直线条经过该像素时，该像素的灰度值是在二者相交区域上对滤波器进行积分的积分值。特点：接近理想直线的像素将被分配更多的灰度值。相邻的两个像素的滤波器相交，使相交区域对象素亮度的贡献依赖于该区域与象素中心的距离有利于缩小直线条上相邻像素的灰度差。光栅图形的走样现象1.阶梯状边界； 2.图形细节失真；3.狭小图形遗失：动画序列中时隐时现，产生闪烁。第三章复习重点图形变换：通过图形的几何变换可以产生新的图形。齐次坐标所谓齐次坐标法，就是用 n+1 维向量来表示一个n 维向量。 对 n 维向量用其n 个坐标分量(P1,P2,Pn)表示，是唯一的，若用齐次坐标表示， 则有 n+1 个分量，即(hP1,hP2,hPn，h)，且不唯一。二维坐标与齐次坐标是一对多的关系。通常都采用规格化的齐次坐标，即取 H=1。(x,y) 的规格化齐次坐标为(x,y,1)齐次坐标的几何意义：可理解为在三维空间上第三维为常数的一平面上的二维向量。1、h 可以取不同的值， 所以同一点的齐次坐标不是唯一的。如普通坐标系下的点（2,3）变换为齐次坐标可以是(1,1.5,0.5)(4,6,2)(6,9,3)等等。2、普通坐标与齐次坐标的关系为“一对多”由普通坐标h齐次坐标由齐次坐标 h普通坐标3、当 h=1 时产生的齐次坐标称为“规格化坐标”，因为前 n 个坐标就是普通坐标系下的n 维坐标。作用1. 将各种变换用阶数统一的矩阵来表示。提供了用矩阵运算把二维、三维甚至高维空间上的一个点从一个坐标系变换到另一坐标系的有效方法。2. 便于表示无穷远点。例如： （x h, y h, h)，令 h 等于 0 3. 齐次坐标变换矩阵形式把直线变换成直线段，平面变换成平面， 多边形变换成多边形， 多面体变换成多面体。 (图形拓扑关系保持不变）4. 变换具有统一表示形式的优点便于变换合成便于硬件实现矢量的含义 :矢量是由n 个实数组成的集合。二维矩阵变换变换矩阵是对图形进行缩放、旋转、对称、错切等变换精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 19 页是对图形进行平移变换；是对图形进行投影变换， g 的作用是在x 轴的 1/g 处产生一个灭点，h 的作用是在y 轴的 1/h 处产生一处灭点；i是对整体图形作伸缩变换平移变换旋转（顺时针）逆时针比例变换对称变换：当 b=d=0，a=-1，e=1 时，有 x*=-x，y*=y ，产生与 y 轴对称的反射变换精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 19 页级联变换三维变换矩阵以任意点 (xf,yf,zf)为参考点的比例变换：和二维比例变换类似，对任意点参考点F的比例变换可分为以下三个步骤：把坐标系原点平移到参考点F在新坐标系下相对原点作比例变换将坐标系再平移回到原来的坐标原点绕 x 轴的旋转立体上各点的X坐标不变，只是Y、Z坐标发生相应的变化精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 19 页绕 y绕 Z窗口：常规图形系统中，世界坐标系中指定的用于显示的坐标区域。视口：显示设备上用于窗口映射的坐标区域，也叫视区。规格化变换从窗口到视区的变换，称为规格化变换(Normalization Transformation) 。VX= SxWX+txVY= SyWY+ty缩放系数Sx = (VXR-VXL) / (WXR-WXL)Sy = (VYT-VYB) / (WYT-WYB)平移参数tx = (WXR*VXL-WXL*VXR) / (WXR-WXL)ty = (WYT*VYB-WYB*VYT) / (WYT-WyB)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 19 页投影变换投影变换就是把三维物体投射到投影面上得到二维平面图形。投影的要素除投影对象、投影面外，还有投影线。按照投影线角度的不同，有两种基本投影方法： 平行投影 (parallel projection) 。它使用一组平行投影将三维对象投影到投影平面上去。 透视投影 (perspective projection) 。它使用一组由投影中心产生的放射投影线，将三维对象投影到投影平面上去。它们的本质区别在于透视投影的投影中心到投影面之间的距离是有限的；而平行投影的投影中心到投影面之间的距离是无限的。平行投影根据投影线与投影面之间的夹角不同，可进一步分为正投影（投影线与投影面垂直）和斜投影：正轴测有等轴测、正二测和正三测三种。当投影面与三个坐标轴之间的夹角都相等时为等轴测；当投影面与两个坐标轴之间的夹角相等时为正二测。当投影面与三个坐标轴之间的夹角都不相等时为正三测正轴测图的投影变换矩阵灭点：不平行于投影平面的平行线，经过透视投影之后收敛于一点，称为灭点.主灭点 :平行于坐标轴的平行线的灭点。第四章复习重点消隐算法可以分为两大类：对象空间方法（Object Space Methods ）图象空间方法（image Space Methods）线消隐（分类、原理）凸多面体的隐藏线消隐凹多面体的隐藏线消隐(1)若线段的两端点及视点在给定平面的同侧，线段不被给定平面遮挡，转7(2) 若线段的投影与平面投影的包围盒无交，线段不被给定平面遮挡，转7(3)求直线与相应无穷平面的交。若无交点，转4。否则，交点在线段内部或外部。若交点在线段内部，交点将线段分成两段，与视点同侧的一段不被遮挡，另一段在视点异侧，转4 再判；若交点在线段外部，转4。(4)求所剩线段的投影与平面边界投影的所有交点，并根据交点在原直线参数方程中的参数值求出 Z值(即深度 )。若无交点，转5。(5) 以上所求得的各交点将线段的投影分成若干段，求出第一段中点。(6) 若第一段中点在平面的投影内，则相应的段被遮挡，否则不被遮挡；其他段的遮挡关精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 19 页系可依次交替取值进行判断。(7) 结束。为减少计算量变采用包围盒检验和深度检验的手段.1.包围。 2.深度检验 (1)粗略检验 (2)精确检验 （此处省略）面消隐： 1.区域排序算法、2、深度缓存（z-buffer ）算法、 3、射线跟踪算法、4、扫描线算法深度缓存 (Z-buffer) 算法帧缓冲器 保存各像素颜色值(CB)初始化为背景值。z 缓冲器-保存各像素处物体深度值(ZB)初始化最大z 值先将 z 缓冲器中个单元的初始值置为最大值,当要改变某个像素的颜色值时，首先检查当前多边形的深度值是否小于该像素原来的深度值（保存在该像素所对应的Z缓冲器的单元中） ，如果小于，说明当前多边形更靠近观察点，用它的颜色替换像素原来的颜色；否则说明在当前像素处，当前多边形被前面所绘制的多边形遮挡了，是不可见的，像素的颜色值不改变。 初始化 ZB和 CB，使得 ZB(i, j)=Zmax，CB(i, j)=背景色。其中，i=1, 2, , m，j=1, 2, , n。 对多边形，计算它在点 (i, j)处的深度值zi, j。 若 zijZB(i, j)，则 ZB(i, j)=zij，CB(i, j)=多边形的颜色。 对每个多边形重复、两步。最后，在CB中存放的就是消隐后的图形。这个算法的关键在第步，要尽快判断出哪些点落在一个多边形内解决办法：采用包含测试。并尽快求出一个点的深度值。缺点：(1)：ZB和 CB两个缓存数组占用的存储单元太多，需要有一个较大容量的ZBuffer 。(2)：在每个多边形占据的每个像素处都要计算深度值，计算量大光源特性和物体表面特性（必考）物体表面的色彩和明暗变化主要与两个因素有关，即光源特性和物体表面特性。光源特性包括1：光的色彩（R、 G、B ）2：光的强度由 R，G，B三种色光的强弱决定，总的光强为：Total_Value=0.30*Value_R+0.59*Value_G+0.11*Value_B 3：光的方向点光源分布式光源漫射光源光源：点光源、聚光源、平行光源物体表面特性包括:反射系数、透射系数、表面方向(1) 反射系数由物体表面的材料和形状决定，分为漫反射(Diffuse Reflection) 系数和镜面反射(Specular Reflection)系数。 透射系数记为 Tp，描述物体透射光线的能力，且有0Tp1。 表面方向物体表面的方向用表面的法线n 来表示。多面体物体表面上每个多边形之法线为n=(A,B,C)。其中 A，B，C是多边形所在平面方程中x、y、z 之系数。(不考 )光照模型 (Illumination Model) 描述物体表面的色彩明暗同光源特性、物体表面特性之间的关系。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 19 页（不考）明暗的光滑处理Gourand 光滑化方法Phong 光滑方法光线跟踪方法（原理必考）沿着到达视点的光线的反方向跟踪，经过屏幕上每一像素，找出与视线所交的物体表面点P0，并继续跟踪，找出影响P0 点光强的所有光源，从而算出P0 点上光照强度。这个过程可以表示为一棵光线跟踪树。表面图案的描绘是将一张平面图案描绘在物体表面上,并进行三维明暗真实感显示在物体表面绘制图案,要改变物体表面有关部分的反射系数或透视系数. 图案中任意点P的色彩为C,物体表面的P点与他对应 ,所以 P点的反射系数应为P的色彩C的函数 .常取线性函数 . 得到反射系数后,在利用光照模型进行计算.将一幅平面图案描绘到物体表面上的过程如下： 将平面图案上的各点(x, y)映射到物体表面的各点(x, y, z)。 求出点 (x, y, z)处新的反射系数。 用光照模型计算物体表面点(x, y, z)的色彩明暗。凸四边形S和 S之间的位置映射算法如下： 求 S中的边的交点F、E，以及 S中的边的交点F、E的位置。 对于目的多边形S中的每一个元素P，寻找 S中对应位置P。 求 PF与 AB 的交点 P1，由 P1 得 f1/f2 ；求 PE与 BC的交点 P2，由 P2得 e1/e2 。 由 f1/f2=f1/f2 得 P1的位置，由e1/e2=e1/e2 得 P2的位置。 求 P1 F 与 P2E的交点，即为点P的位置。 取 P的色彩，求得 P点新的反射系数。颜色空间模型（必考）所谓颜色模型，指的是某个三维颜色空间中的一个可见光子集，它包含某个颜色域的所有颜色。颜色模型的用途是在某个颜色域内方便地指定颜色最常见的RGB 颜色模型，此外，还有CMY 和 HSV 颜色模型RGB颜色模型 ：通常使用于彩色光栅图形显示设备中、真实感图形学中的主要的颜色模型采用三维直角坐标系、RGB立方体红、绿、蓝 (RGB) 颜色模型是加性原色。也就是说，各个原色的光能叠加在一起产生复合色CMY 颜色系统红、绿、蓝的补色青(Cyan)、品红 (Magenta) 、黄 (Yellow)为原色构成。常用于从白光中滤去某种颜色，故称为减性原色系统。用于印刷行业中HSV模型 的三维表示从RGB立方体演化而来。设想从RGB沿立方体对角线的白色顶点向黑色顶点观察，就可以看到立方体的六边形外形。六边形边界表示色彩，水平轴表示纯度，明度沿垂直轴测量。HSV颜色空间的模型对应于圆柱坐标系中的一个圆锥形子集，圆锥的顶面对应于V=1。它包含 RGB模型中的R=1，G=1， B=1三个面，所代表的颜色较亮。色彩 H 由绕 V 轴的旋转角给定。色调（H） ，饱和度（ S ） ，亮度（ V）HSV模型对应于画家配色的方法。画家用改变色浓和色深的方法从某种纯色中获得不同色调的颜色。第五章复习重点插值和逼近（必考） ：这是曲线曲面设计中的两种不同方法。插值设计方法要求建立的曲线曲面数学模型，严格通过已知的每一个型值点。而逼近设计方法建立的曲线曲面数学模型只是近似地接近已知的型值点。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 19 页连续性设计一条复杂曲线时，常常通过多段曲线组合而成，这需要解决曲线段之间如何实现光滑连接的问题。曲线间连接的光滑度的度量有两种：一种是函数的可微性，把组合参数曲线构造成在连接处具有直到n 阶连续导矢，即n阶连续可微，这类光滑度称之为Cn或 n 阶参数连续性。导数方向大小相等另一种称为几何连续性，组合曲线在连接处满足不同于Cn的某一组约束条件，称为具有n 阶几何连续性，简记为Gn。导数方向相同大小相等Cn连续包含在Gn连续之中。C1连续保证G1连续， C2连续能保证G2 连续，但反过来不行。也就是说Cn 连续的条件比Gn 连续的条件要苛刻。在曲线造型中一般只用到C1、 C2 、 G1 、 G2连续。Bezier曲线（定义、性质、计算）Bezier 曲线由一组折线集即Bezier 特征多边形来曲线的起点和终点与该多边形的起点终点重合 ,且多边形的第一和最后一条边表示切矢量的方向。1 Bezier 曲线的定义2 在给定空间个点0,1,n，称下列参数曲线为次的Bezier 曲线3Bernstein 基函数即45 Bernstein 基函数具有下列性质：61）非负性：2）规范性：3)对称性4)递推性5)端点性6)最大性在 u=i/n 处达到最大值；7)可导性8)升阶公式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 19 页9)分割性10)积分性Bezier 曲线 C(u)具有以下性质：1)端点性质2) 端点切矢量3) 端点的曲率：在C(u)两端点的曲率分别为：4）对称性若保持原全部顶点的位置不变，只是把次序颠倒过来，则新的Bezier 曲线形状不变，但方向相反。5）几何不变性Bezier 曲线的位置和形状只与特征多边形的顶点的位置有关，它不依赖坐标系的选择。移动第i 个控制顶点将对曲线上参数为u=i/n 的那个点处发生最大的响。6）凸包性7）变差缩减性对于平面Bezier 曲线 C(u)，平面内任意条直线与其交点的个数不多于该直线与其控制多边形的交点个数；Bezier 曲线比特征多边形的折线更光顺。3常用 Bezier 曲线的矩阵表示由 Bezier 曲线 C(u)的定义，可推出常用的一次、二次、三次Bezier 曲线矩阵表示1)一次 Bezier 曲线精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 19 页2）二次 Bezier 曲线三次 Bezier 曲线Bezier 曲线的 De Casteljau 算法利用 De Casteljau 算法可以以几何方式计算参数值处的曲线点：1）根据给定的参数值，在控制多边形的每条边上确定某一分割点，使分割后的线段之比为：由此得分割点为：由此组成一个边数为（n-1）的新的多边形；2）用相同的方法对该多边形再次分割，得到分割点形成另一个新的多边形；3）按相同的过程分割n-1 次后，得到两个顶点，再分割得到所求的点即为所求的处的曲线点；Bezier 曲线的顶点反求已知 Bezier 曲线上给定参数处的位置矢量和参数阶次，利用Bezier 曲线定义和端点特性，可列出一组方程，求解方程组，就可得到相应的控制顶点。例子：已知三次Bezier 曲线上的四个点分别为Q0(120,0),Q1(45,0), Q2(0,45),Q3(0,120), 它们对应的参数分别为0, 1/3, 2/3, 1, 反求三次Bezier 曲线的控制顶点。由已知条件可得方程组：Q0 = P0 (u=0)Q1 = (8/27)P0 + (4/9)P1 + (2/9)P2 + (1/27)P3 (u=1/3)Q2 = (1/27)P0 + (2/9)P1 + (4/9)P2 + (8/27)P3 (u=2/3)Q3 = P3 (u=1)bezier 曲线的端点性质得到的；其余两式是由三次Bezier 曲线的展开式：C(u)=(1-u)3P0+3u(1-u)2P1+3u2(1-u)P2+u3P3 分别将 Q0、Q1、 Q2、Q3 的 x、y 坐标代入方程组求解，可得：x0 = 120 x1= 35 x2 = 27.5 x3 = 0y0 = 0 y1 = 27.5 y2 = 35 x3 = 120Bezier 曲线有许多优越性，但有两点不足：特征多边形的顶点个数决定了Bezier 曲线的阶次，并且在阶次较大时，特征多边形对曲线的控制将会减弱；Bezier 曲线不能作局部修改，改变一个控制点的位置对整条曲线都有影响，其原因是基函数Bernstein 的参数 u 在0，1区间内均不为零。1972 年， Gordon, Rie-feld 等人拓展了Bezier 曲线，用B样条基函数代替Bernstein基函数，即形成了B样条曲线、曲面。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 19 页B 样条基函数（定义性质）1)局部性2)非负性 3） 规范性 4）分段多项式5）连续性6）可微分性2)定义：B样条曲线的性质1.严格的凸包性：2.分段参数多项式：3.可微性或连续性：4.几何不变性：5.局部可调性7.变差缩减性：B样条曲线优于Bezier 曲线之处：与控制多边形的外形更接近局部修改能力任意形状，包括尖点、直线的曲线易于拼接阶次低，与型值点数目无关，计算简便精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 19 页