第八章第二节双曲线.ppt

第二定义：第二定义：平面内一点与一个定点平面内一点与一个定点F和一条和一条 的距离的的距离的比是常数比是常数e( )的动点的动点C的轨迹叫做双曲线的轨迹叫做双曲线 一、双曲线的定义一、双曲线的定义 第一定义：第一定义：平面内与两个定点平面内与两个定点F1、F2的距离的的距离的 等等于常数于常数2a(2a |F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线的点的轨迹叫做双曲线差的绝对值差的绝对值定直线定直线le1在双曲线的第一定义中，如果常数在双曲线的第一定义中，如果常数2a|F1F2|,2a|F1F2|,2a0时，则动点时，则动点M的轨迹分别是什么？的轨迹分别是什么？提示：提示：如果如果2a|F1F2|，则，则M的轨迹是以的轨迹是以F1，F2为端为端点的两条射线；如果点的两条射线；如果2a|F1F2|，则轨迹不存在；，则轨迹不存在；如果如果2a0，则，则M的轨迹是线段的轨迹是线段F1F2的垂直平分线的垂直平分线.二、双曲线的标准方程和几何性质二、双曲线的标准方程和几何性质标准标准方程方程 (a0，b0) (a0，b0)图形图形标准方程标准方程 1(a0，b0) 1(a0，b0)性性质质焦点焦点 F1 ，F2F1 ，F2 焦距焦距范围范围 |F1F2|(c,0)(c,0)(0，c)(0，c)xa或或xaya或或ya2c(c0)标准方程标准方程 1(a0，b0) 1(a0，b0)性性质质对称对称性性 对称轴：对称轴： ，对称中心：，对称中心： 顶点顶点 轴轴实轴实轴 的长为的长为 ，虚轴，虚轴 的长为的长为(a,0)(0，a)x轴，轴，y轴轴原点原点A1A22aB1B22b标准方程标准方程 1(a0，b0) 1(a0，b0)性性质质离离心率心率 e 准线准线方程方程 x y 渐渐近线近线 y y (e1)1双曲线双曲线 的焦距为的焦距为 ()解析：解析：由已知有由已知有c2a2b212，所以所以c2 ，故双曲线的焦距为，故双曲线的焦距为4 .答案：答案：D2已知双曲线的方程为已知双曲线的方程为2x23y26，则此双曲线的离心，则此双曲线的离心 率为率为 ()解析：解析：方程为方程为答案：答案：C3过双曲线过双曲线x2y28的左焦点的左焦点F1有一条弦有一条弦PQ交左支于交左支于P、 Q点，若点，若|PQ|7，F2是双曲线的右焦点，则是双曲线的右焦点，则PF2Q的周的周 长是长是 () A28 B148 C148 D8解析：解析：|QF2|QF1|4 ，|PF2|PF1|4 ，|QF2|PF2|PQ|8 ，|QF2|PF2|8 7，周长为周长为8 14.答案：答案：C 4若双曲线若双曲线 的一条渐近线方程为的一条渐近线方程为 y0， 则此双曲线的离心离为则此双曲线的离心离为_解析：解析：渐近线方程为渐近线方程为又又a2b2c2，从而，从而答案：答案：3x5已知双曲线的离心率为已知双曲线的离心率为2，焦点是，焦点是(4,0)，(4,0)则其标则其标 准方程为准方程为_解析：解析：由由方程为方程为答案：答案：双曲线方程的求法双曲线方程的求法1定义法：根据定义求出相应的定义法：根据定义求出相应的a、b、c.2待定系数法步骤待定系数法步骤 (1)定位：确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上定位：确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上. (2)定式：根据焦点的位置设出相应的双曲线方程定式：根据焦点的位置设出相应的双曲线方程 (3)定量：根据题目条件确定相关的系数定量：根据题目条件确定相关的系数【注意注意】若不能明确焦点在哪条坐标轴上，可设双曲线若不能明确焦点在哪条坐标轴上，可设双曲线方程为：方程为：mx2ny21(mn0)3.几种方程的常用设法几种方程的常用设法 (1)与双曲线与双曲线 有共同渐近线的双曲线方程可有共同渐近线的双曲线方程可 设为设为 (2)若已知渐近线方程为若已知渐近线方程为mxny0则双曲线方程可设为则双曲线方程可设为 m2x2n2y2(0) 求适合下列条件的双曲线的标准方程求适合下列条件的双曲线的标准方程(1)顶点间距离为顶点间距离为6，渐近线方程为，渐近线方程为y(2)与双曲线与双曲线x22y22有共同渐近线，且过点有共同渐近线，且过点(2，2)由于未指明焦点位置，故应注意分类讨论，避由于未指明焦点位置，故应注意分类讨论，避免漏解；涉及双曲线的渐近线，应抓住双曲线免漏解；涉及双曲线的渐近线，应抓住双曲线方程与渐近线方程间的关系这个突破口方程与渐近线方程间的关系这个突破口.【解解】(1)设双曲线方程为设双曲线方程为 (0)当当0时，时，4a2，则，则2a2 6当当0时，时，9a2，则，则2a2 61.双曲线方程为双曲线方程为(2)设与双曲线设与双曲线x22y22有共同渐近线的双曲线方程有共同渐近线的双曲线方程为为 y2k，将，将(2，2)代入得代入得k2，双曲线方程为双曲线方程为 1.1求适合下列条件的双曲线的标准方程：求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦距为焦距为16，准线方程为，准线方程为y (2)虚轴长为虚轴长为12，离心率为，离心率为解：解：(1)由准线方程为由准线方程为y 可知双曲线的焦点在可知双曲线的焦点在y轴上轴上设所求双曲线的方程为设所求双曲线的方程为 1(a0，b0)由题意，得由题意，得解得解得a6，c8.所以所以b2c2a2643628.因此，所求双曲线的方程为因此，所求双曲线的方程为 1.(2)当焦点在当焦点在x轴上时，轴上时，设所求双曲线的方程为设所求双曲线的方程为由题意，得由题意，得 解得解得b6，cb2c2a2 36，a8.焦点在焦点在x轴上的双曲线的方程为轴上的双曲线的方程为同理，可求焦点在同理，可求焦点在y轴上的双曲线的方程为轴上的双曲线的方程为 因此，所要求的双曲线的方程为因此，所要求的双曲线的方程为1.利用双曲线的定义求轨迹方程，首先要充分利用几何条利用双曲线的定义求轨迹方程，首先要充分利用几何条 件探求轨迹的曲线类型是否符合双曲线的定义件探求轨迹的曲线类型是否符合双曲线的定义【注意注意】应特别注意定义中的条件应特别注意定义中的条件“差的绝对值差的绝对值”，弄清所，弄清所求轨迹是整条双曲线，还是双曲线的一支，若是一支，是哪求轨迹是整条双曲线，还是双曲线的一支，若是一支，是哪一支，以确保轨迹的纯粹性和完备性一支，以确保轨迹的纯粹性和完备性2在双曲线中，求最值时经常考虑双曲线的定义、在双曲线中，求最值时经常考虑双曲线的定义、 利用三角形两边之和利用三角形两边之和(差差)大于大于(小于小于)第三边求解，第三边求解， 以及两点之间线段最短这一几何性质，注意考虑以及两点之间线段最短这一几何性质，注意考虑 共线的情况共线的情况 已知动圆已知动圆M与圆与圆C1：(x4)2y22外切，与圆外切，与圆C2：(x4)2y22内切，求动圆圆心内切，求动圆圆心M的轨迹方程的轨迹方程 利用两圆内、外切的充要条件找出利用两圆内、外切的充要条件找出M点满足的几何点满足的几何条件，结合双曲线定义求解条件，结合双曲线定义求解.【解解】如图所示，如图所示，设动圆设动圆M的半径为的半径为r，则由已知则由已知|MC1|r ，|MC2|r ，|MC1|MC2|2 .又又C1(4,0)，C2(4,0)，|C1C2|8，2 |C1C2|.根据双曲线定义知，点根据双曲线定义知，点M的轨迹是以的轨迹是以C1(4,0)、C2(4,0)为焦为焦点的双曲线的右支点的双曲线的右支a ，c4，b2c2a214，点点M的轨迹方程是的轨迹方程是 1(x )2已知双曲线已知双曲线C： 1的左、右焦点分别是的左、右焦点分别是F1、 F2，左准线为，左准线为l，问能否在双曲线的左支上求得一点，问能否在双曲线的左支上求得一点P， 使得使得|PF1|是是P到到l的距离的距离d与与|PF2|的比例中项？若能，的比例中项？若能， 求出点求出点P的坐标；若不能，请说明理由的坐标；若不能，请说明理由解：解：在已知双曲线中，在已知双曲线中，a5，b12，所以，所以c13，e假设在左支上存在一点假设在左支上存在一点P符合题意，符合题意，则则|PF1|2d|PF2|，即即所以所以|PF1| |PF2|，由双曲线的定义可得由双曲线的定义可得|PF2|PF1|10，所以所以|PF2| |PF1| |PF2|显然在显然在PF1F2中，有中，有|PF1|PF2|2c， 当当P在线段在线段F1F2上时，上时，有有|PF1|PF2|2c. 综上可知，综上可知， 26，即，即 26，这显然是错误的，这显然是错误的所以，符合条件的点所以，符合条件的点P不存在不存在.1.双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点六点”(两个两个 焦点、两个顶点、两个虚轴的端点焦点、两个顶点、两个虚轴的端点)，“四线四线”(两条对称两条对称 轴、两条渐近线轴、两条渐近线)，“两形两形”(中心、焦点以及虚轴端点构中心、焦点以及虚轴端点构 成的三角形、双曲线上一点和两焦点构成的三角形成的三角形、双曲线上一点和两焦点构成的三角形)研研 究它们之间的相互联系究它们之间的相互联系2在双曲线的几何性质中，应充分利用双曲线的渐近线在双曲线的几何性质中，应充分利用双曲线的渐近线 方程，简化解题过程同时要熟练掌握以下三方面内容：方程，简化解题过程同时要熟练掌握以下三方面内容：(1)已知双曲线方程，求它的渐近线已知双曲线方程，求它的渐近线(2)求已知渐近线的双曲线的方程求已知渐近线的双曲线的方程(3)渐近线的斜率与离心率的关系渐近线的斜率与离心率的关系 如如k 若若F1、F2分别为双曲线分别为双曲线 1(a0，b0)的下、上焦点，的下、上焦点，O为坐标原点，为坐标原点，P在双曲线的下支上，点在双曲线的下支上，点M在上准线上，且满足在上准线上，且满足 (0)(1)求此双曲线的离心率；求此双曲线的离心率；(2)若此双曲线过若此双曲线过N( ，2)，求此双曲线的方程，求此双曲线的方程 (1)根据平面几何知识结合双曲线的第二定义推出根据平面几何知识结合双曲线的第二定义推出 双曲线的离心率；双曲线的离心率；(2)由双曲线的离心率和双曲线上一点由双曲线的离心率和双曲线上一点N的坐标可得的坐标可得 关于关于a，b的方程组，从而求出双曲线的方程的方程组，从而求出双曲线的方程【解解】(1) 为平行四边为平行四边形形又又 分别是分别是 方向上的单位向量，方向上的单位向量，因此因此 (0)表示向量表示向量 为邻边的菱形的对角线为邻边的菱形的对角线(或点或点M在在PF1O的平分线上的平分线上)，故故PF1OM为菱形，且为菱形，且 c， 2a 2ac，由第二定义由第二定义e即即e 1，解得，解得e2.或或P到下准线的距离到下准线的距离d为为c同理可得同理可得e2.(2)因为因为e2，则，则b23a2，即即 1，将将N( 2)代入双曲线方程可得代入双曲线方程可得a23.故有故有 1.3已知双曲线已知双曲线 1(a0，b0)，双曲线斜率，双曲线斜率 大于零的渐近线大于零的渐近线l交双曲线的右准线于交双曲线的右准线于P点，点，F(c,0)为右为右 焦点焦点 (1)求证：直线求证：直线PF与渐近线与渐近线l垂直；垂直； (2)延长延长FP交左准线于交左准线于M，交双曲线左支于，交双曲线左支于N，使，使M为为 PN的中点，求双曲线的离心率的中点，求双曲线的离心率解：解：(1)证明：右准线为证明：右准线为x 由对称性不妨设渐近线由对称性不妨设渐近线l为为y则则P 又又F(c,0)，kPF又又k1 kPFk11，PFl.(2)PF的方程为的方程为y (xc)，又，又xM又又M是是PN的中点，的中点，NN在双曲线上，在双曲线上，即即令令te2，则，则t210t250，t5，即，即e 双曲线的定义、标准方程、渐近线与离心率问题双曲线的定义、标准方程、渐近线与离心率问题一直是历年高考的命题热点，尤其是离心率问题，几乎一直是历年高考的命题热点，尤其是离心率问题，几乎是每年必考内容，在考查中多借助于几何性质建立是每年必考内容，在考查中多借助于几何性质建立a、b、c关系求解关系求解.2009年江西卷考查了双曲线的离心率年江西卷考查了双曲线的离心率(2009江西高考江西高考)设设F1和和F2为双曲线为双曲线 (a0，b0)的两个焦点，若的两个焦点，若F1，F2，P(0,2b)是正三角形的三个顶点，则是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为双曲线的离心率为 ()A. B2C. D3解析解析法一：法一：P(0,2b)，F1(c,0)，PF1F2为正三角形，为正三角形，KPF1 = 4b23c24(c2a2)3c2e2.法二：法二：在在RtPF2O中，中，tanPF2O= (下同法一下同法一)法三：法三：PF1F2为正三角形，为正三角形，|PF1|2c，即，即4(c2a2)3c2e2.答案答案B本例中的三种解法都充分挖掘了条件中的几何性质，其本例中的三种解法都充分挖掘了条件中的几何性质，其目的是建立目的是建立a、b、c关系，从而变形得出关系，从而变形得出e.若若P在在y轴上，轴上，PF1F2为等腰直角三角形，求双曲线的离心率为等腰直角三角形，求双曲线的离心率