广东省版高中数学2.13定积分的概念与微积分基本定.doc

【全程复习方略】广东省版高中数学 2.13定积分的概念与微积分根本定理、定积分的简单应用课时提能演练 理 新人教A版 (45分钟 100分)一、选择题(每题6分，共36分)1 cm，为了将弹簧拉长6 cm，需做功()6 J(C)0.12 J(D)0.28 J2.求曲线yx2与yx所围成图形的面积，其中正确的选项是()(A)S(x2x)dx (B)S(xx2)dx(C)S(y2y)dy (D)S(y)dy3.(·珠海模拟) dx等于()(A)2ln2 (B)2ln2 (C)ln2 (D)ln24.(·韶关模拟)由曲线yx2，yx3围成的封闭图形的面积为()(A) (B) (C) (D)5.求由yex，x2，y1围成的曲边梯形的面积时，假设选择x为积分变量，那么积分区间为()(A)0，e2 (B)0,2 (C)1,2 (D)0,1dxdtba(a，b为常数且a<b)；dxdx；曲线ysinx，x0,2，与直线y0围成的两个封闭区域的面积之和为sinxdx.(A)0 (B)1 (C)2 (D)3二、填空题(每题6分，共18分)7.(·许昌模拟)从如下列图的长方形区域内任取一个点M(x，y)，那么点M取自阴影局部的概率为.8.(易错题)设yf(x)为区间0,1上的连续函数，且恒有0f(x) 1，可以用随机模拟方法近似计算积分f(x)dx，先产生两组(每组N个)区间0,1上的均匀随机数x1，x2，xN和y1，y2，yN，由此得到N个点(xi，yi)(i1,2，N)，再数出其中满足yif(xi)(i1,2，N)的点数N1，那么由随机模拟方法可得积分f(x)dx的近似值为.9.(·沈阳模拟)设函数f(x)ax2c(a0)，假设f(x)dxf(x0)，0x01，那么x0的值为.三、解答题(每题15分，共30分)10.求曲线ylog2x与曲线ylog2(4x)以及x轴所围成的图形的面积.11.(·佛山模拟)yax2bx通过点(1,2)，与yx22x有一个交点，交点横坐标为x1，且a<0.如下列图：(1)求yax2bx与yx22x所围的面积S与a的函数关系.(2)当a，b为何值时，S取得最小值.【探究创新】(16分)在区间0,1上给定曲线yx2，如下列图，试在此区间内确定t的值，使图中的阴影局部的面积S1与S2之和最小.答案解析1.【解析】选A.设Fkx，那么由题可得k100，所以做功就是求定积分100xdx0.18(J).2.【解题指南】根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数.【解析】选B.两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在0,1上，xx2，故曲线yx2与yx所围成图形的面积S(xx2)dx.3.【解析】选D. dx(lnxc)|(ln4c)(ln2c)ln2.4.【解析】选A.由题意得：曲线yx2，yx3的交点坐标为(0,0)，(1,1).故所求封闭图形的面积为 (x2x3)dx×1×1，应选A.5.【解析】选B.求出yex，x2，y1的交点分别为(0,1)，(2,1)，(2，e2)，结合定积分的几何意义知，积分区间为0,2.6.【解析】选B.由定积分的定义知，不正确；由定积分的几何意义知，正确；中两个区域的面积大小相等，用定积分表示时互为相反数，不正确.7.【解析】阴影局部的面积为S阴影3x2dxx3|1，所以点M取自阴影局部的概率P.答案：8.【解题指南】由随机模拟想到几何概型，然后结合定积分的几何意义进行求解.【解析】由题意可知，x，y所有取值构成的区域是一个边长为1的正方形，而满足yif(xi)的点(xi，yi)落在yf(x)、y0以及x1、x0围成的区域内，由几何概型的计算公式可知f(x)dx的近似值为.答案：9.【解析】f(x)dx(ax2c)dx(ax3cx)|caxc，又0x01，x0.答案：10. 【解析】如图，ylog2xf(y)x2y，ylog2(4x) g(y)x42y，所求图形的面积为Sg(y)f(y)dy(42×2y)dy(4y2×2ylog2e)|42log2e.【方法技巧】求由曲线围成图形的面积的一般步骤：(1)根据题意画出图形；(2)找出范围，确定积分上、下限；(3)确定被积函数；(4)将面积用定积分表示；(5)用微积分根本定理计算定积分，求出结果.【变式备选】求由抛物线y28x(y>0)与直线xy60及y0所围成的图形的面积.【解析】由题意，作出图形(如下列图)，解方程组，得或(舍去)，所以y28x(y>0)与直线xy60的交点为(2,4)，所以所求面积为Sdx(6x)dx×x|(6xx2)|(6×6×62)(6×2×22)8.11.【解析】(1)由yax2bx通过点(1,2)可得ab2，即b2a，由yax2bx与yx22x联立方程组，解得x1.那么yax2bx与yx22x所围的面积S与a的函数关系为S(ax2bx)(x22x)dx(ax22xax)(x22x)dx(a1)x3ax2|(a1)()3a()2.(2)求导可得S···由S>0得3<a<1，由S<0得1<a<0或a<3，所以当a3时，S取得极小值，即最小值.此时b2a5，最小值S(3).【探究创新】【解析】面积S1等于边长为t与t2的矩形的面积去掉曲线yx2与x轴、直线xt围成的面积，即S1t·t2x2dxt3.面积S2等于曲线yx2与x轴、xt，x1围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为t2，(1t)，即S2x2dxt2(1t)t3t2.所以阴影局部面积SS1S2t3t2(0t1)，由S(t)4t22t4t(t)0，得t0或t.经验证知，当t时，S最小.