（整理版）圆锥曲线中的最值与定值问题.doc
圆锥曲线中的最值与定值问题圆锥曲线中的最值问题【考点透视】圆锥曲线的最值问题，常用以下方法解决：当题目的条件和结论能明显表达几何特征及意义，可考虑利用数形结合法解；函数值域求解法：当题目的条件和结论能表达一种明确的函数关系，那么可先建立目标函数，再求这个函数的最值. 利用代数根本不等式，结合参数方程，利用三角函数的有界性。【题型分析】1.P是椭圆在第一象限内的点，A2，0，B0，1，O为原点，求四边形OAPB的面积的最大值 分析：设P,，,点P到直线AB：x+2y=2的距离所求面积的最大值为椭圆参数方程，三角函数，最值问题的结合2.点M(-2，0)，N(2,0)，动点P满足条件.记动点的轨迹为W.求W的方程；假设A，B是W上的不同两点，O是坐标原点，求的最小值.解：依题意，点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，所求方程为： x>0当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为xx0，此时Ax0，Bx0，2 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykxb，代入双曲线方程中，得：(1k2)x22kbxb220依题意可知方程1°有两个不相等的正数根，设A(x1,y1),B(x2,y2)，那么解得|k|>1，又x1x2y1y2x1x2kx1bkx2b1k2x1x2kbx1x2b2>2综上可知的最小值为23.给定点A(-2,2)，B是椭圆上的动点，F是右焦点，当取得最小值时，试求B点的坐标。解：因为椭圆的，所以，而为动点B到左准线的距离。故此题可化为，在椭圆上求一点B，使得它到A点和左准线的距离之和最小，过点B作l的垂线，垂点为N，过A作此准线的垂线，垂点为M，由椭圆定义于是 为定值其中，当且仅当B点AM与椭圆的定点时等点成立，此时B为所以，当取得最小值时，B点坐标为4.椭圆，A4，0，B2，2是椭圆内的两点，P是椭圆上任一点，求：1求的最小值；2求的最小值和最大值分析：1A为椭圆的右焦点。作PQ右准线于点Q，那么由椭圆的第二定义，显然点P应是过B向右准线作垂线与椭圆的交点，最小值为。2由椭圆的第一定义，设C为椭圆的左焦点，那么，根据三角形中两边之差小于第三边，当P运动到与B、C成一条直线时，便可取得最大和最小值。当P到P"位置时，有最大值，最大值为；当P到位置时，有最小值，最小值为.数形结合思想、椭圆定义、最值问题的结合5.P点在圆x2+(y-2)2=1上移动，Q点在椭圆上移动,试求|PQ|的最大值。解：故先让Q点在椭圆上固定，显然当PQ通过圆心O1时|PQ|最大，因此要求|PQ|的最大值，只要求|O1QQ(x，y)，那么|O1Q|2= x2+(y-4)2 因Q在椭圆上,那么x2=9(1-y2) 将代入得|O1Q|2= 9(1-y2)+(y-4)2 因为Q在椭圆上移动，所以-1£y£1，故当时，此时【点睛】1.与圆有关的最值问题往往与圆心有关；2.函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等，值得注意的是函数自变量取值范围的考察不能被无视。6.的面积为， 1设，求正切值的取值范围；2设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q如图， 当 取得最小值时，求此双曲线的方程。解析：1设 2设所求的双曲线方程为，又，当且仅当时，最小，此时的坐标是或 ，所求方程为借助平面向量，将三角形、圆锥曲线最值、求曲线方程、根本不等式等多个知识点有机的结合起来，综合考察学生应用相关知识点解题的能力7.如下图，设点，是的两个焦点，过的直线与椭圆相交于两点，求的面积的最大值，并求出此时直线的方程。分析：，设，那么设直线的方程为代入椭圆方程得即令，利用均值不等式不能区取“利用的单调性易得在时取最小值在即时取最大值为，此时直线的方程为三角形问题、直线方程、最值问题、函数单调性的综合应用从特殊入手，求出定点定值，再证明这个点值与变量无关。8设椭圆方程为，过点M0，1的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足，点N的坐标为，当l绕点M旋转时，求1动点P的轨迹方程；2的最小值与最大值.【专家解答】1法1：直线l过点M0，1设其斜率为k，那么l的方程为y=kx+1.记A(x1,y1),B(x2,y2)，由题设可得点A、B的坐标 (x1,y1)、 (x2,y2)是方程组 的解. 将代入并化简得(4+k2)x2+2kx-3=0，所以于是设点P的坐标为(x,y), 那么消去参数k得4x2+y2-y=0 当k不存在时，A、B中点为坐标原点0，0，也满足方程，所以点P的轨迹方程为4x2+y2-y=0 解法二：设点P的坐标为(x,y)，因A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上，所以 得，所以当时，有 并且 将代入并整理得 4x2+y2-y=0 当x1=x2时，点A、B的坐标为0，2、0，2，这时点P的坐标为0，0也满足，所以点P的轨迹方程为 2由点P的轨迹方程知所以 故当，取得最小值，最小值为当时，取得最大值，最大值为9.椭圆E的中心在原点O，焦点在轴上，其离心率, 过点C1,0的直线与椭圆E相交于A、B两点，且满足点C分向量的比为2.1用直线的斜率k ( k0 ) 表示OAB的面积；2当OAB的面积最大时，求椭圆E的方程。解：1设椭圆E的方程为( ab0 )，由e =a2=3b2 故椭圆方程x2 + 3y2 = 3b2 设A(x1,y1)、B(x2,y2),由于点C1，0分向量的比为2， 即 由消去y整理并化简得 (3k2+1)x2+6k2x+3k23b2=0由直线l与椭圆E相交于Ax1,y1, B(x2,y2)两点得： 而SOAB 由得:x2+1=，代入得：SOAB = 2因SOAB=,当且仅当SOAB取得最大值此时 x1 + x2 =1, 又 =1 x1=1,x2 =2将x1,x2及k2 = 代入得3b2 = 5 椭圆方程x2 + 3y2 = 5 10.我们把由半椭圆 与半椭圆 合成的曲线称作“果圆，其中， 如图，设点，是相应椭圆的焦点， ，和，是“果圆 与，轴的交点，是线段的中点（1） 假设是边长为1的等边三角形，（2） 求该“果圆的方程； 2设是“果圆的半椭圆上任意一点求证：当取得最小值时，在点或处；3假设是“果圆上任意一点，求取得最小值时点的横坐标解：1 ，于是，yO.Mx.所求“果圆方程为， 2设，那么， ， 的最小值只能在或处取到 即当取得最小值时，在点或处 3，且和同时位于“果圆的半椭圆和半椭圆上，所以，由2知，只需研究位于“果圆的半椭圆上的情形即可 当，即时，的最小值在时取到，此时的横坐标是 当，即时，由于在时是递减的，的最小值在时取到，此时的横坐标是 综上所述，假设，当取得最小值时，点的横坐标是；假设，当取得最小值时，点的横坐标是或11. P、Q、M、N四点都在椭圆上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点。与共线，与共线，且。求四边形PMQN的面积的最小值和最大值。分析：显然，我们只要把面积表示为一个变量的函数，然后求函数的最值即可。解：如图，由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F0，1，且PQMN，直线PQ、MN中至少有一条存在斜率，不妨设PQ的斜率为k，又PQ过点F0，1，故PQ方程为。代入椭圆方程得设P、Q两点的坐标分别为，那么：从而当时，MN的斜率为，同上可推得故四边形面积令，得因为，此时，且S是以u为自变量的增函数，所以。当时，MN为椭圆长轴，综合知，四边形PMQN面积的最大值为2，最小值为。12. 抛物线，过Ma，0且斜率为1的直线与抛物线交于不同的两点A、B，。1求a的取值范围；2假设线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求NAB面积的最大值。分析：这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题，对于1，可以设法得到关于a的不等式，通过解不等式求出a的范围，即“求范围，找不等式。或者将a表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a的范围。对于2首先要把NAB的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值。解：1直线的方程为：，将代入抛物线方程，设得设直线与抛物线两交点的坐标分别为，那么，并且又所以 解得：2令AB中点为Q，即NAB的面积的最大值为。圆锥曲线中的定值问题【热点透析】在圆锥曲线中，某些几何量在特定的关系结构中，不受相关变元的制约而恒定不变，那么称该变量具有定值特征解答此类问题的根本策略有以下两种：1、把相关几何量的变元特殊化，在特例中求出几何量的定值，再证明结论与特定状态无关2、把相关几何量用曲线系里的参变量表示，再证明结论与求参数无关【题型分析】1.过抛物线：0的焦点作直线交抛物线于两点，假设线段与的长分别为，那么的值必等于 A B C D解法1：特殊值法令直线与轴垂直，那么有：，所以有解法2：参数法如图1，设，且，分别垂直于准线于，图1抛物线0的焦点，准线 ：又由，消去得， 【难点突破】2.假设AB是过椭圆中心的一条弦,M是椭圆上任意一点,且AM,BM与坐标轴不平行,分别表示直线AM,BM的斜率,那么=( ) A. B. C. D.【答案】B【解析】此题可用特殊值法不妨设弦AB为椭圆的短轴M为椭圆的右顶点，那么A(0，b)，B(0，b)，M(a，0)所以应选B3.F1、F2是两个定点，点P是以F1和F2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且PF1PF2，e1和e2分别是上述椭圆和双曲线的离心率，那么有 A.+=4 B.+=212+e22=4 12+e22=2【答案】B 设椭圆长轴长为2a1,双曲线实轴长为2a2,焦距均为2c,|PF2|=a1+a2,|PF1|=a1-a2.PF1与PF2垂直,|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2.(a1+a2)2+(a1-a2)2=4c2,2a12+2a22=4c2.+=2.4.定圆O1、O2的半径分别为r1、r2,圆心距|O1O2|=2,动圆C与圆O1、O2都相切,圆心C的轨迹为如下图的两条双曲线,两条双曲线的离心率分别为e1、e2,那么的值为 1+r2 1和r2中的较大者1和r2中的较小者 D.|r1-r2|【答案】B 假设动圆与O1，O2外切或内切，那么2a=|r1-r2|,2c=2,当r1r2时，=;当r1r2,那么=.假设动圆与O1和O2内切与外切，那么2a=r1+r2,2c=2,=.r1r2时，=+=+=r1;r2r1时，=+=+=r2,应选B. 5.如图2所示，F为双曲线C:=1的左焦点，双曲线C上的点Pi与P7-i(i=1,2,3)关于y轴对称，那么|P1F|+|P2F|+|P3F|-|P4F|-|P5F|-|P6F|的值是 图2 【答案】C 取双曲线右焦点记为F2,P3与P4关于y轴对称,|P4F|=|P3F2|.|P3F|-|P4F|=|P3F|-|P3F2|=2a=6.同理,|P2F|-|P5F|=|P1F|-|P6F|=6.|P1F|+|P2F|+|P3F|-|P4F|-|P5F|-|P6F|=18.6双曲线-y2=1的虚轴端点与一个焦点连线的中点恰在双曲线的一条准线上,PQ是双曲线的一条垂直于实轴的弦,O为坐标原点,那么·等于 【答案】答案：C解析:由题意知2=c得c2=2a2,又c2=a2+b2=a2+1,a2=1.双曲线为x2-y2=1.设P(x0,y0),那么Q(x0,-y0).故=(x0,y0),=(x0,-y0),·=x02-y02=1.7过点M(p,0)任作一条直线交抛物线y2=2px(p0)于P、Q两点,那么+的值为 A. B. C. D.【答案】答案:D【解析】不妨取PQx轴,那么P(p,p),Q(p,-p),|MP|=p,|MQ|=p.+=.8椭圆C1：+=1(ab0)的左准线为l，左右焦点分别为F1、F2，抛物线C2的准线为l，一个焦点为F2，C1与C2的一个交点为P，那么-等于( ) D.【答案】答案：B【解析】因为C为抛线上的点，所以P到其焦点F2的距离|PF2|与其到准线l的距离d相等，因为P也是椭圆上的点，P到其准线l的距离也是d，由椭圆第二定义，得再由椭圆第一定义，得|PF1|+|PF2|=2a，由两式解得|PF1=|，故=1.9双曲线C:-=1(ab0)中，F1、F2是它的焦点，设抛物线l的焦点与双曲线C的右焦点F2重合，l的准线与C的左准线重合，P是C与l的一个交点，那么=_. 【答案】【解析】设|PF1|=m,|PF2|=n,由抛物线定义有|PF2|=|PN|(N为点P在左准线上的射影), 又=e,=e=, 又|PF1|-|PF2|=2a， 即m-n=2a. 由得m=.原式=-=e-2c·=1.答案：110设抛物线的顶点为O，经过抛物线的焦点垂直于轴的直线和抛物线交于两点B、C，经过抛物线上任一点P垂直于轴的直线和轴交于点Q，假设|PQ|2=|BC|·|OQ|，那么的值为 A. 【答案】答案：B 设抛物线方程为y2=2px(p0)，那么BC为抛物线的通径，故|BC|=2p；设P(,y0)，那么Q(,0)，于是|PQ|2=y02，|OQ|=，又由|PQ|2=|BC|·|OQ|得y02=×2p×，解得=1.11.知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A，B两点，A，B在抛物线准线上的射影分别是A1，B1，点M是A1B1的中点，假设|AF|=m，|BF|=n，那么|MF|= ( ) A.m+n B. C. 【答案】答案：C【解析】此题考查抛物线的定义及性质和图像等知识.如图,连接AlF、BlF,由抛物线的定义,有AAl=AF,BBl=BF,那么有AA1F=AFA1,BB1F=BFB1,容易证明AlFB1=90°.所以MF为直角三角形A1FB1在直角梯形AA1B1B中,构造直角三角形可解得|A1B1|=12经过抛物线y2=2px(p0)的焦点作一条直线与该抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，那么y1·y2的值为( ) 2 Bp2 C-2P2 D-p2【答案】D 2=2px(p0)的焦点坐标为(，0)，设过焦点的直线方程为：y=k(x-),那么有，代入抛物线方程有：y2=2P()即 y1·y2=-p2.13.椭圆=1(ab0)上两点A、B与中心O的连线互相垂直，那么的值为 A. B. C. D.【答案】D解析:假设A、B为椭圆的长轴和短轴的顶点，那么=.排除选项A、B、C，选D.14.【3分】过点M(-2,0)的直线l与椭圆x2+2y2=2交于P1、P2两点,线段P1P2的中点为P,设直线l的斜率为k1(k10),直线OP的斜率为k2,那么k1·k2的值为 C. 【答案】【解析】设P1(x1,y1)、P2(x2,y2),中点P(x0,y0),那么k1=,k2=. 将P1、P2两点坐标代入椭圆方程x2+2y2=2,相减得=-. k1·k2=· =-.答案：D15点P是双曲线(a0,b0)右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，H为PF1F2的内心，假设成立，那么的值为_. 【答案】【解析】设R为PF1F2内切圆的半径,且,故|PF1|=|PF2|+|F1F2|,即|PF1|PF2|=|F1F2|,.16F1、F2是双曲线-y2=1的两个焦点,P在双曲线上,当F1PF2的面积为1时,·的值为_. 【答案】答案：0 由F1(,0),F2(,0),P(),PF1的斜率k1=,PF2的斜率k2=,k1k2=-1,PF1PF2,即=0.17过抛物线y2=2px(p0)的焦点的直线x-my+m=0与抛物线交于A、B两点,且OAB(O为坐标原点)的面积为,那么m6+m4=_. 【答案】【解析】直线x-my+m=0过焦点,m=.直线方程为2x+py-p=0.解方程组消去x,得y2+p2y-p2=0.设A、B的纵坐标为y1、y2,y1、y2为方程的两根,y1-y2=.S=×y1-y2=.p6+4p4=16×8.又p=-2m,26m6+26m4=27.m6+m4=2.答案：218.过抛物线0上一定点0，作两条直线分别交抛物线于，求证：与的斜率存在且倾斜角互补时，直线的斜率为非零常数【解析】设直线的斜率为，直线的斜率为由 相减得，故 同理可得， 由倾斜角互补知： 由 相减得， 直线的斜率为非零常数19,椭圆C经过点A(1,),两个焦点为(1,0),(1,0). (1)求椭圆C的方程;(2)E,F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数,证明直线EF的斜率为定值,并求出这个定值.【答案】解:(1)由题意,c1,可设椭圆方程为,因为A在椭圆上,所以,解得b23,(舍去).所以椭圆方程为.(2)设直线AE方程:,代入得(3+4k2)x2+4k(32k)x+4()2120.设E(xE,yE),F(xF,yF),因为点A(1,)在椭圆上,所以,.又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数,在上式中以k代k,可得,.所以直线EF的斜率,即直线EF的斜率为定值,其值为. 20.定点在抛物线：0上，动点且求证：弦必过一定点【解析】设所在直线方程为：与抛物线方程联立，消去得设，那么 由得，即 式可化为，即将代入得，直线方程化为：直线恒过点21是经过椭圆 右焦点的任一弦，假设过椭圆中心的弦，求证：是定值解析：对于此题，,分别为中心弦和焦点弦，可将其倾斜角退到0°，此时有，,定值下面再证明一般性设平行弦、的倾斜角为，那么斜率，的方程为代入椭圆方程，又即得 ，另一方面，直线方程为同理可得 由可知定值关于式也可直接由焦点弦长公式得到22设上的两点，向量，,假设m·n=0且椭圆的离心率短轴长为2，为坐标原点. ()求椭圆的方程； 假设直线AB过椭圆的焦点F0，c，c为半焦距，求直线AB的斜率k的值；试问：AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.【答案】 解：由题意知 椭圆的方程为 由题意，设AB的方程为由得： () 1当直线AB斜率不存在时，即,由m·n=0得 又 在椭圆上，所以，所以S =所以三角形AOB的面积为定值 2.当直线AB斜率存在时：设AB的方程为y=kx+b, 由 所以三角形的面积为定值. 23.过抛物线y2=2px(p0)的对称轴上的定点M(m,0)(m0),作直线AB与抛物线相交于A,B两点. (1)试证明A,B两点的纵坐标之积为定值;(2)假设点N是定直线l:x=m上的任意一点,分别记直线AN,MN,BN的斜率为k1,k2,k3,试探求k1,k2,k3之间的关系,并给出证明.【答案】证明：(1)设A(x1,y1),B(x2,y2)有y1y2=2pm,下证之: 设直线AB的方程为:x=ty+m与y2=2px联立得,消去x得y22pty2pm=0,由韦达定理得y1y2=2pm.(2)三条直线AN,MN,BN的斜率成等差数列,下证之:设点N(m,n),那么直线AN的斜率为;直线BN的斜率为,.又直线MN的斜率为kAN+kBN=2kMN,即直线AN,MN,BN的斜率成等差数列. 24.如图,在直角坐标系xOy中,AiBiAi+1 (i=1,2,n,)为正三角形,|AiAi+1|=2i1(i=1,2,3,n,). (1)求证:点B1,B2,Bn,在同一条抛物线上,并求该抛物线C的方程;(2)设直线l过坐标原点O,点B1关于l的对称点B在y轴上,求直线l的方程;(3)直线m过(1)中抛物线C的焦点F并交C于M、N,假设(0),抛物线C的准线n与x轴交于E,求证:与的夹角为定值.【答案】解：(1)设Bn(x,y),那么 消去n得y2=3x.所以点B1,B2,Bn,在同一条抛物线y2=3x上.(2)解1:由(1)得,所以,因为点B与点B1关于直线l对称,那么,所以所求直线方程为(3)设M,N在直线n上的射影为M,N,那么有: ,.由于,所以.因为,所以所以与的夹角为90°(定值)25.如图，椭圆1(ab0)过点(1，)，离心率为，左、右焦点分别为F1、F2.点P为直线l：xy2上且不在x轴上的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D，O为坐标原点 (1)求椭圆的标准方程(2)设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2.()证明：2.()问直线l上是否存在点P，使得直线OA、OB、OC、OD的斜率kOA、kOB、kOC、kOD满足kOAkOBkOCkOD0？假设存在，求出所有满足条件的点P的坐标；假设不存在，说明理由【答案】 (1)解：因为椭圆过点(1，)，e， 所以1，.又a2b2c2，所以a，b1，c1.故所求椭圆方程为y21.(2)()证明：方法一：由于F1(1,0)、F2(1,0)，PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，且点P不在x轴上，所以k1k2，k10，k20.又直线PF1，PF2的方程分别为yk1(x1)，yk2(x1)，联立方程解得所以P(，)由于点P在直线xy2上，所以2.因此2k1k23k1k20，即2，结论成立方法二：设P(x0，y0)，那么k1，k2.因为点P不在x轴上，所以y00.又x0y02，所以2.因此结论成立()解：设A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，D(xD，yD)联立直线PF1与椭圆的方程得化简得(2k1)x24kx2k20，因此xAxB，xAxB，由于OA，OB的斜率存在，所以xA0，xB0，因此k0,1.因此kOAkOB2k1k1k1(2).相似地，可以得到xC0，xD0，k0,1，kOCkOD，故kOAkOBkOCkOD2()2.假设kOAkOBkOCkOD0，须有k1k20或k1k21.当k1k20时，结合()的结论，可得k22，所以解得点P的坐标为(0,2)；当k1k21时，结合()的结论，解得k23或k21(此时k11，不满足k1k2，舍去)，此时直线CD的方程为y3(x1)，联立方程xy2得x，y.因此P(，)综上所述，满足条件的点P的坐标分别为(0,2)，(，)26.在平面直角坐标系xOy中，如图，椭圆1的左、右顶点为A、B，右焦点为F.设过点T(t，m)的直线TA，TB与此椭圆分别交于点M(x1，y1)、N(x2，y2)，其中m0，y10，y20. (1)设动点P满足PF2PB24，求点P的轨迹；(2)设x12，x2，求点T的坐标；(3)设t9，求证：直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)【答案】解：由题设得A(3,0)，B(3,0)，F(2,0) (1)设点P(x，y)，那么PF2(x2)2y2，PB2(x3)2y2.由PF2PB24，得(x2)2y2(x3)2y24，化简得x.故所求点P的轨迹为直线x.(2)由x12，1及y10，得y1，那么点M(2，)，从而直线AM的方程为yx1；由x2，1及y20，得y2，那么点N(，)，从而直线BN的方程为y.由所以点T的坐标为(7，)(3)由题设知，直线AT的方程为y (x3)，直线BT的方程为y (x3)点M(x1，y1)满足得.因为x13，那么，解得x1，从而得y1.点N(x2，y2)满足.假设x1x2，那么由及m0，得m2，此时直线MN的方程为x1，过点D(1,0)假设x1x2，那么m2，直线MD的斜率kMD，直线ND的斜率kND，得kMDkND，所以直线MN过D点因此，直线MN必过x轴上的点(1,0) 27.如图，椭圆1(ab0)的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1、F2为顶点的三角形的周长为4(1)，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D. (1)求椭圆和双曲线的标准方程；(2)设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明：k1·k21；(3)是否存在常数，使得|AB|CD|AB|·|CD|恒成立？假设存在，求的值；假设不存在，请说明理由【答案】解：(1)设椭圆的半焦距为c，由题意知：， 2a2c4(1)，所以a2，c2.又a2b2c2，因此b2.故椭圆的标准方程为1.由题意设等轴双曲线的标准方程为1(m0)，因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以m2，因此双曲线的标准方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，那么k1，k2.因为点P在双曲线x2y24上，所以xy4.因此k1·k2·1，即k1·k21. (3)由于PF1的方程为yk1(x2)，将其代入椭圆方程得(2k1)x28kx8k80，显然2k10，显然0.由韦达定理得x1x2，x1x2.所以|AB|.同理可得|CD|.那么，又k1·k21，所以.故|AB|CD|AB|·|CD|.因此存在，使|AB|CD|AB|·|CD|恒成立28、双曲线C:(a0,b0)的离心率为,右准线方程为. ()求双曲线C的方程;()设直线l是圆O:x2+y2=2上动点P(x0,y0)(x0y00)处的切线,l与双曲线C交于不同的两点A,B,证明AOB的大小为定值.【答案】分析：由以及易求第()问结论,第()问圆x2+y2=2上点P(x0,y0)处切线方程为x0x+y0y=2,代入椭圆中,利用根与系数的关系求解=0即证.解法一:()由题意得解得a=1,.所以b2=c2-a2=2.所以双曲线C的方程为.()点P(x0,y0)(x0y00)在圆x2+y2=2上,圆在点P(x0,y0)处的切线l的方程为,化简得x0x+y0y=2.由及x02+y02=2,得(3x02-4)x2-4x0x+8-2x02=0.因为切线l与双曲线C交于不同的两点A,B且0x022,所以3x02-40,且=16x02-4(3x02-4)(8-2x02)0.设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),那么,.因为,且=x1x2+y1y2=,所以AOB的大小为90°.解法二:()同解法一.()点P(x0,y0)(x0y00)在圆x2+y2=2上,圆在点P(x0,y0)处的切线l的方程为,化简得x0x+y0y=2.由及x02+y02=2,得(3x02-4)x2-4x0x+8-2x02=0,(3x02-4)y2+8y0y-8+2x02=0.因为切线l与双曲线C交于不同的两点A，B,所以3x02-40.设A，B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),那么,.所以=x1x2+y1y2=0.所以AOB的大小为90°.(因为x02+y02=2且x0y00,所以0x022,0y022,从而当3x02-40时,方程与方程的判别式均大于0)29双曲线的左、右焦点分别为、，过点的动直线与双曲线相交于两点. I假设动点满足其中为坐标原点，求点的轨迹方程；II在轴上是否存在定点，使·为常数？假设存在，求出点的坐标；假设不存在，请说明理由.【答案】解：由条件知，设，.解法一：I设，那么，由得即于是的中点坐标为.当不与轴垂直时，即.又因为两点在双曲线上，所以，两式相减得，即.将代入上式，化简得.当与轴垂直时，求得，也满足上述方程.所以点的轨迹方程是.II假设在轴上存在定点，使为常数.当不与轴垂直时，设直线的方程是.代入有.那么是上述方程的两个实根，所以，于是.因为是与无关的常数，所以，即，此时=.当与轴垂直时，点的坐标可分别设为、，此时.故在轴上存在定点，使为常数.解法二：I同解法一的I有当不与轴垂直时，设直线的方程是.代入有.那么是上述方程的两个实根，所以. 由、得.当时，由、得，将其代入有.整理得.当时，点的坐标为，满足上述方程.当与轴垂直时，求得，也满足上述方程.故点的轨迹方程是.II假设在轴上存在定点点，使为常数，当不与轴垂直时，由I有，.以下同解法一的II.30.动圆过定点，且与直线相切，其中.I求动圆圆心的轨迹的方程；II设A、B是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标【答案】I如图，设为动圆圆心，为记为，过点作直线的垂线，垂足为，由题意知：即动点到定点与定直线的距离相等，由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线，所以轨迹方程为；II如图，设，由题意得，又直线OA,OB的倾斜角满足，故，所以直线的斜率存在，否那么，OA,OB直线的倾斜角之和为从而设AB方程为，显然，将与联立消去，得由韦达定理知由，得1=
