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第3节 运动图像追及相遇问题【例1】(·模拟)物体A、B的x-t图象如下图,由图可知( )A.从第3 s起,两物体运动方向相同,且vA>vBB.两物体由同一位置开始运动,但物体A比B迟3 s才开始运动C.在5 s内物体的位移相同,5 s末A、B相遇D.5 s内A、B的平均速度相等【答案】选A.【详解】x-t图象的斜率的大小表示物体运动的速度大小,斜率的正负表示物体运动的方向,由题图可知,A对；B物体的出发点在离原点5 m处,A物体的出发点在原点处,B错；物体B在5 s内的位移为10 m-5 m=5 m,物体A在3 s5 s内的位移为10 m,故C、D均错.【例2】A、B两列火车，在同一轨道上同向行驶，A车在前，其速度vA=10 m/s，B车在后，速度vB=30 m/s，因大雾能见度很低，B车在距A车x0=75 m时才发现前方有A车，这时B车立即刹车，但B车要经过180 m才能停止，问：B车刹车时A车仍按原速率行驶，两车是否会相撞？假设会相撞，将在B车刹车后何时相撞？假设不会相撞，那么两车最近距离是多少？【答案】见详解【详解】B车刹车至停下来过程中，由 得 解法(一)：物理分析法假设不相撞，依题意画出运动过程示意图，如下图设经过时间t两车速度相等，对B车有：vA=vB+aBt 解得 此时B车的位移有 A车的位移有xA=vAt=10×8=80 m 因xBx0+xA，故两车会相撞 设经过时间t两车相撞，那么有代入数据解得，t1=6 s，t2=10 s(舍去) 【例3】小汽车从静止开始以3m/s2的加速度行驶，恰有一自行车一6m/s的速度从车边匀速驶过。小汽车从运动到追上自行车之前经过多长时间两者相距最远？此时距离是多少？什么时候追上自行车，此时汽车的速度是多少？解法一：物理分析法汽车开动时速度由零逐渐增大，而自行车速度是定值，当汽车速度还小于自行车速度是，两者的距离越来越大，当汽车的速度大于自行车速度时，两者距离越来越小，所以当两车的速度相等时，两车的距离最大，有，所以， 解法二：极值法设汽车追上自行车之前t时刻相距最远利用二次函数求极值条件知：解法三：图像法画出汽车和自行车的v-t图，当ts时两车速度相等，解法四：相对运动法以自行车为参考系，汽车追上自行车之前初速度大小为6m/s，方向向后，加速度为大小为3m/s2，方向向前。经分析汽车先远离自行车做匀减速直线运动末速度为零时相距最远，在靠近自行车做匀加速直线运动。由第一问第三种方法中可以知道当t=4s时汽车追上自行车。【稳固练习】1.·物理·T8一物体自t=0时开始做直线运动，其速度图线如下图。以下选项正确的选项是 A.在06s内，物体离出发点最远为30m B.在06s内，物体经过的路程为40mC.在04s内，物体的平均速率为/sD. 56s内，物体所受的合外力做负功【答案】选BC。【题文】根据图像可知，前5s物体沿正方向运动，第6s物体沿负方向运动，所以物体离出发点最远的时刻是第5s末，前5s的位移m，第6s内的位移大小m。所以离出发点最远为35m，故A错误；6s内的路程m，故B正确；前4s内的位移是m，平均速度m/s，故C正确；在56s内，物体的速度逐渐增大，动能逐渐增大，合外力做正功，故D错误。2.·新课标全国卷·T24甲乙两辆汽车都从静止出发做加速直线运动，加速度方向一直不变。在第一段时间间隔内，两辆汽车的加速度大小不变，汽车乙的加速度大小是甲的两倍；在接下来的相同时间间隔内，汽车甲的加速度大小增加为原来的两倍，汽车乙的加速度大小减小为原来的一半。求甲乙两车各自在这两段时间间隔内走过的总路程之比。【答案】【详解】设汽车甲在第一段时间间隔末时刻t0的速度为v，第一段时间间隔内行驶的路程为s1，加速度为a，在第二段时间间隔内行驶的路程为s2，由运动学公式有，v=a t0 s1=a t02 s2=v t02a t02 设汽车乙在时刻t0的速度为v，在第一、二段时间间隔内行驶的路程分别为s1、s2，同理有，v=2a t0 s1=2a t02 s2=v t0a t02 设甲、乙两车行驶的总路程分别为s、s，那么有s= s1s2 s= s1s2 联立以上各式解得，甲、乙两车各自行驶路程之比为=解答此题时可由运动学公式分别写出两汽车的速度和位移方程，再根据两车加速度的关系，求出两车路程之比。3.·高考图是某质点运动的速度图像，由图像得到的正确结果是 A01 s内的平均速度是2m/s B. 02s内的位移大小是3 mC. 01s内的加速度大于24s内的加速度D01s内的运动方向与24s内的运动方向相反【答案】选BC。【详解】由v-t图像的面积可求得01s的位移s=1m,时间t=1s，由平均速度定义得： ，故A选项错误；由v-t图像的面积可求得02s的位移s=3m，故B选项正确；利用图像斜率求出 0-1s的加速度：a1=2m/s2、2-4s的加速度a2=1m/s2、因而：a1> a2，故C选项正确；由图像可见0-1s、2-4s两个时间段内速度均为正，说明速度都为正向，运动方向相同，故D选项错误；4.·高考质点做直线运动的v-t图像如下图，规定向右为正方向，那么该质点在前8s内平均速度的大小和方向分别为( )A/s 向右B/s 向左C1m/s 向右D1m/s 向左【答案】选B.【详解】由图线可知0-3s内的位移为：，方向为正方向；3-8s内的位移为：，方向为负方向；0-8s内的位移为：；该段时间内的平均速度为：，负号表示方向是向左的。故B正确，A.C.D错误.30602-110图12a/ms-2t/s5.·全国高考汽车由静止开始在平直的公路上行驶，060s内汽车的加速度随时间变化的图线如右图12所示。画出汽车在060s内的v-t图线；求在这60s内汽车行驶的路程。【答案】速度图像为上图13所示, 900m【详解】(1)由加速度图像可知前10s汽车做匀加速直线运动，中间30s汽车做匀速直线运动,后20s汽车做匀减速直线运动到停止. 由a-t图和匀变速直线运动的公式,得vm=a1t1= 20m/s。 建立v-t坐标系,根据上面所求可画出速度图像如右图13所示. (2)由速度图像的面积可求出汽车作匀加速、匀速、匀减速三段运动的位移之和, 即: m 6.09··17某物体做直线运动的v-t图象如图甲所示，据此判断图乙F表示物体所受合力，x表示物体的位移四个选项中正确的选项是 B 解析：由图甲可知前两秒物体做初速度为零的匀加速直线运动，所以前两秒受力恒定，2s-4s做正方向匀加速直线运动，所以受力为负，且恒定，4s-6s做负方向匀加速直线运动，所以受力为负，恒定，6s-8s做负方向匀减速直线运动，所以受力为正，恒定，综上分析B正确。考点：v-t图象、牛顿第二定律提示：在v-t图象中倾斜的直线表示物体做匀变速直线运动，加速度恒定，受力恒定。速度时间图象特点：因速度是矢量，故速度时间图象上只能表示物体运动的两个方向，t轴上方代表的“正方向，t轴下方代表的是“负方向，所以“速度时间图象只能描述物体做“直线运动的情况，如果做曲线运动，那么画不出物体的“位移时间图象；“速度时间图象没有时间t的“负轴，因时间没有负值，画图要注意这一点；“速度时间图象上图线上每一点的斜率代表的该点的加速度，斜率的大小表示加速度的大小，斜率的正负表示加速度的方向；“速度时间图象上表示速度的图线与时间轴所夹的“面积表示物体的位移。7.09·全国卷·15两物体甲和乙在同一直线上运动，它们在00.4s时间内的v-t图象如下图。假设仅在两物体之间存在相互作用，那么物体甲与乙的质量之比和图中时间t1分别为 B A和0.30s B3和0.30s C得,根据牛顿第二定律有,得,由,得t=0.3s,B正确。8.09·物理·9如下图，两质量相等的物块A、B通过一轻质弹簧连接，B足够长、放置在水平面上，所有接触面均光滑。弹簧开始时处于原长，运动过程中始终处在弹性限度内。在物块A上施加一个水平恒力，A、B从静止开始运动到第一次速度相等的过程中，以下说法中正确的有 BCD A当A、B加速度相等时，系统的机械能最大B当A、B加速度相等时，A、B的速度差最大C当A、B的速度相等时，A的速度到达最大D当A、B的速度相等时，弹簧的弹性势能最大解析：处理此题的关键是对物体进行受力分析和运动过程分析，使用图象处理那么可以使问题大大简化。对A、B在水平方向受力分析如图，F1为弹簧的拉力；当加速度大小相同为a时，对有，对有，得，在整个过程中的合力加速度一直减小而的合力加速度一直增大，在到达共同加速度之前A的合力加速度一直大于的合力加速度，之后A的合力加速度一直小于的合力加速度。两物体运动的v-t图象如图，tl时刻，两物体加速度相等，斜率相同，速度差最大，t2时刻两物体的速度相等，速度到达最大值，两实线之间围成的面积有最大值即两物体的相对位移最大，弹簧被拉到最长；除重力和弹簧弹力外其它力对系统正功，系统机械能增加，tl时刻之后拉力依然做正功，即加速度相等时，系统机械能并非最大值。9.09·物理·3某物体运动的速度图像如图，根据图像可知 AC 1m/s210mC.第1s末与第3s末的速度方向相同 D.第1s末与第5s末加速度方向相同 解析：v-t 图像反映的是速度v随时t 的变化规律，其斜率表示的是加速度，A正确；图中图像与坐标轴所围成的梯形面积表示的是0-5s内的位移为7m，在前5s内物体的速度都大于零，即运动方向相同，C正确；0-2s加速度为正，4-5s加速度为负，方向不同。10.09·物理·7一物体在外力的作用下从静止开始做直线运动，合外力方向不变，大小随时间的变化如下图。设该物体在和时刻相对于出发点的位移分别是和，速度分别是和，合外力从开始至时刻做的功是，从至时刻做的功是,那么 AC A BC D11.09·物理·8甲乙两车在一平直道路上同向运动，其图像如下图，图中和的面积分别为和.初始时，甲车在乙车前方处。 ABC A假设，两车不会相遇B假设，两车相遇2次C假设，两车相遇1次D假设，两车相遇1次12.09·理科根底·3图1是甲、乙两物体做直线运动的v一t图象。以下表述正确的选项是 A A乙做匀加速直线运动 B0一ls内甲和乙的位移相等 C甲和乙的加速度方向相同 D甲的加速度比乙的小解析：甲乙两物体在速度图象里的图形都是倾斜的直线说明两物体都是匀变速直线,乙是匀加速，甲是匀减速,加速度方向不同A对C错；根据在速度图象里面积表示位移的方法可知在0一ls内甲通过的位移大于乙通过的位移.B错；根据斜率表示加速度可知甲的加速度大于乙的加速度，D错。13.09·理科根底·9物体在合外力作用下做直线运动的v一t图象如下图。以下表述正确的选项是 A A在01s内，合外力做正功 B在02s内，合外力总是做负功 C在12s内，合外力不做功D在03s内，合外力总是做正功解析：根据物体的速度图象可知，物体0-1s内做匀加速合外力做正功，A正确；1-3s内做匀减速合外力做负功。根据动能定理0到3s内，12s内合外力做功为零。14.09年卷21.如图甲，在水平地面上固定一倾角为的光滑绝缘斜面，斜面处于电场强度大小为E、方向沿斜面向下的匀强电场中。一劲度系数为k的绝缘轻质弹簧的一端固定在斜面底端，整根弹簧处于自然状态。一质量为m、带电量为qq>0的滑块从距离弹簧上端为s0处静止释放，滑块在运动过程中电量保持不变，设滑块与弹簧接触过程没有机械能损失，弹簧始终处在弹性限度内，重力加速度大小为g。1求滑块从静止释放到与弹簧上端接触瞬间所经历的时间t12假设滑块在沿斜面向下运动的整个过程中最大速度大小为vm，求滑块从静止释 放到速度大小为vm过程中弹簧的弹力所做的功W；3从滑块静止释放瞬间开始计时，请在乙图中画出滑块在沿斜面向下运动的整 个过程中速度与时间关系v-t图象。图中横坐标轴上的t1、t2及t3分别表示滑块第一次与弹簧上端接触、第一次速度到达最大值及第一次速度减为零的时刻，纵坐标轴上的v1为滑块在t1时刻的速度大小，vm是题中所指的物理量。本小题不要求写出计算过程答案：1; 2; (3) 解析：此题考查的是电场中斜面上的弹簧类问题。涉及到匀变速直线运动、运用动能定理处理变力功问题、最大速度问题和运动过程分析。1滑块从静止释放到与弹簧刚接触的过程中作初速度为零的匀加速直线运动，设加速度大小为a，那么有 qE+mgsin=ma 联立可得 2滑块速度最大时受力平衡，设此时弹簧压缩量为，那么有 从静止释放到速度到达最大的过程中，由动能定理得 联立可得 s3如图 15.09·物理·2414分如图，光滑的平行金属导轨水平放置，电阻不计，导轨间距为l，左侧接一阻值为R的电阻。区域cdef内存在垂直轨道平面向下的有界匀强磁场，磁场宽度为s。一质量为m，电阻为r的金属棒MN置于导轨上，与导轨垂直且接触良好，受到F0.5v0.4Nv为金属棒运动速度的水平力作用，从磁场的左边界由静止开始运动，测得电阻两端电压随时间均匀增大。l1m，m1kgWW，s1m1分析并说明该金属棒在磁场中做何种运动；2求磁感应强度B的大小；3假设撤去外力后棒的速度v随位移x的变化规律满足vv0 x， 且棒在运动到ef处时恰好静止，那么外力F作用的时间为多少？4假设在棒未出磁场区域时撤去外力，画出棒在整个运动过程中速度随位移的变化所对应的各种可能的图线。解析：1金属棒做匀加速运动，R两端电压UµIµeµv，U随时间均匀增大，即v随时间均匀增大，加速度为恒量；2F代入得0.5v0.4aa与v无关，所以a/s2，0.50得B0.5T 3x1at2，v0x2at，x1x2s，所以at2ats得：0.2t20.8t10，t1s，4可能图线如下：【考点模拟演练】1.某人骑自行车在平直道路上行进，图中的实线记录了自行车开始一段时间内的v-t图象.某同学为了简化计算，用虚线作近似处理，以下说法正确的选项是()A.在t1时刻，虚线反映的加速度比实际的大B.在0-t1时间内，由虚线计算出的平均速度比实际的大C.在t1-t2时间内，由虚线计算出的位移比实际的大D.在t3-t4时间内，虚线反映的是匀速运动【答案】BD【详解】v-t图象的斜率表示加速度的大小，在t1时刻虚线斜率小，反映的加速度小，所以A错误.v-t图象包围的面积表示位移的大小，0t1时间内虚线包围面积大，那么求得平均速度大，所以B正确，同理C错误.在t3t4时间内，虚线是一段与时间轴平行的直线，反映速度不变，所以是匀速运动，那么D正确.1500kg的汽车在平直的公路上运动，v-t图象如下图.由此可求()D.1525s内合外力对汽车所做的功【答案】ABD【详解】由题图知，汽车25s内的位移为故前25s内汽车平均速度可求，A正确；由题图知前10s内汽车做初速度为0的匀加速直线运动，B正确；结合题图分析，因牵引力未知，故前10s内汽车所受阻力无法求得，C错误；由题干条件和动能定理可知，故1525s内合外力对汽车所做的功可求得，D正确.3.(·模拟)如下图，有一质点从t0时刻开始，由坐标原点出发沿v轴的方向运动，那么以下说法不正确的选项是( )A.t1 s时，离开原点的位移最大B.t2 s时，离开原点的位移最大C.t4 s时，质点回到原点D.0到1 s与3 s到4 s的加速度相同【答案】选A.【详解】根据v-t图象在各阶段为直线，可知质点在各阶段均做匀变速直线运动：在01 s内沿v轴正方向的速度不断增加，故做初速度为零的匀加速直线运动；在1 s2 s内沿v轴正方向做匀减速直线运动，2 s时离原点最远，A错B对；在2 s3 s内沿v轴负方向做匀加速直线运动；在3 s4 s内沿v轴负方向做匀减速直线运动，4 s时回到原点，C对；在01 s和3 s4 s内加速度大小和方向均相同，D正确.应选A. 4.(·模拟)如图是一辆汽车做直线运动的x-t图象，对线段OA、AB、BC、CD所表示的运动，以下说法正确的选项是( )D.运动4 h汽车的位移大小为30 km【答案】选C.【详解】由图象的斜率可知CD段的运动方向与初始运动方向相反且速度最大，A错C对；AB段表示汽车处于静止状态，B错；运动4h汽车的位移为零，D错.5.(·模拟)在平直公路上，自行车与同方向行驶的一辆汽车在t=0时同时经过某一个路标，它们的位移随时间变化的规律为：汽车x=10t-t2，自行车x=5t，(x的单位为m，t的单位为s)，那么以下说法正确的选项是( )A.汽车做匀加速直线运动，自行车做匀速直线运动B.经过路标后的较短时间内自行车在前，汽车在后C.在t=2.5 s时，自行车和汽车相距最远D.当两者再次同时经过同一位置时，它们距路标12.5 m【答案】选C.【详解】由汽车和自行车位移随时间变化的规律知，汽车做匀减速运动，v0=10 m/s，a=-2 m/s2，自行车做匀速直线运动，v=5 m/s，故A、B错误.当汽车速度和自行车速度相等时，相距最远.根据v=v0+at，t=2.5 s，C正确.当两车位移相等时再次经过同一位置,故10t-t2=5t,解得t=5 s,x=25 m，故D错误.6. (·一中高三第一次月考)如右图所示是某质点做直线运动的vt图象，由图可知这个质点的运动情况是()A前5 s做的是匀速运动B5 s15 s内做匀加速运动，加速度为1 m/s2C15 s20 s内做匀减速运动，加速度为3.2 m/s2D质点15 s末离出发点最远，20秒末回到出发点【答案】A【详解】由图象可知前5 s做的是匀速运动，A正确；5 s15 s内做匀加速运动，但加速度为0.8 m/s2，B错误；15 s20 s做匀减速运动，其加速度为(16/5)m/s23.2 m/s2，C错误；质点在20 s末离出发点最远，质点一直做的是方向不变的直线运动，D错误7. (·省级示范高中名校联考)甲、乙两辆汽车，同时在一条平直的公路上自西向东运动，开始时刻两车平齐，相对于地面的vt图象如下图，关于它们的运动，以下说法正确的选项是()A甲车中的乘客说，乙车先以速度v0向西做匀减速运动，后向东做匀加速运动B乙车中的乘客说，甲车先以速度v0向西做匀减速运动，后做匀加速运动C根据vt图象可知，开始乙车在前，甲车在后，两车距离先减小后增大，当乙车速度增大到v0时，两车恰好平齐D根据vt图象可知，开始甲车在前，乙车在后，两车距离先增大后减小，当乙车速度增大到v0时，两车恰好平齐【答案】A【详解】甲车中的乘客以甲车为参考系，相当于甲车静止不动，乙车以初速度v0向西做减速运动，速度减为零之后，再向东做加速运动，所以A正确；乙车中的乘客以乙车为参考系，相当于乙车静止不动，甲车以初速度v0向东做减速运动，速度减为零之后，再向西做加速运动，所以B错误；以地面为参考系，当两车速度相等时，距离最远，所以C、D错误8. (·东北三校联考)从同一地点同时开始沿同一直线运动的两个物体、的速度时间图象如下图在0t2时间内，以下说法中正确的选项是()A物体所受的合外力不断增大，物体所受的合外力不断减小B在第一次相遇之前，t1时刻两物体相距最远Ct2时刻两物体相遇D、两个物体的平均速度大小都是【答案】B【详解】速度时间图象中物体的斜率逐渐减小，即物体的加速度逐渐减小，所以物体所受合外力不断减小，A错误；在0t1时间内，物体的速度始终大于物体的速度，所以两物体间距离不断增大，当两物体速度相等时，两物体相距最远，B正确；在速度时间图象中图线与坐标轴所围面积表示位移，故到t2时刻，物体速度图线所围面积大于物体速度图线所围面积，两物体平均速度不可能相同，C、D错误9. 汽车的加速性能是反映汽车性能的重要指标速度变化得越快，说明它的加速性能越好图为研究甲、乙、丙三辆汽车加速性能得到的vt图象，根据图象可以判定()A甲车的加速性能最好B乙比甲的加速性能好C丙比乙的加速性能好D乙、丙两车的加速性能相同【答案】BD【详解】图象的斜率表示加速度，加速度越大，加速性能越好，由图象可知B、D正确10 m/s的速度沿平直公路匀速运动，司机发现前方有障碍物立即减速，以0.2 m/s2的加速度做匀减速运动，减速后一分钟内汽车的位移是( )A.240 m B.250 m C.260 m D.90 m【答案】选B.解得50 s内的位移为250 m，故B正确.11.(·模拟)(12分)如下图，公路上一辆汽车以v1=10 m/s的速度匀速行驶，汽车行至A点时，一人为搭车，从距公路30 m的C处开始以v2=3 m/s的速度正对公路匀速跑去，司机见状途中刹车，汽车做匀减速运动,结果车和人同时到达B点,AB=80 m，问：汽车在距A点多远处开始刹车，刹车后汽车的加速度有多大？【答案】60 m 2.5 m/s2【详解】人从C到B用时这一时间内汽车由A到B且停在B点，设车从A经t1，开始刹车.v1t1+(t-t1) =xAB (3分)代入数据解得：t1=6 s (3分)所以x1=v1t1=60 m， (3分) (3分)12. 在十字路口，汽车以/s2的加速度从停车线起动做匀加速直线运动时，恰有一辆自行车以5m/s的速度匀速驶过停车线与汽车同方向行驶，求：1什么时候它们相距最远；最大距离是多少；2在什么地方汽车追上自行车；追到时汽车速度是多少.【答案】见详解【详解】1初始阶段，自行车速度大于汽车速度，只要汽车速度小于自行车速度，两车距离总是在不断增大.当汽车速度增大到大于自行车速度时，两车距离逐渐减小，所以两车速度相等时，距离最大.1设自行车速度为v，汽车加速度为a，经时间t两车相距最远.那么v=at，所以t=最大距离(2)假设经过时间t,汽车追上自行车，那么vt=at2解得追上自行车时汽车的速度v=at×20=10m/s.