（整理版）一类应用题的统一解法.doc

一类应用题的统一解法有关应用题中最值问题，在实际条件的约束下，不能仅靠使用重要不等式求出最值，需要借助比拟法，把问题转化为与端点值的大小关系问题。例1 某种印刷品，单面印刷，其版面如图中阴影局部排成矩形，版面面积为A，它的左右两边都要留宽为a的空白，上下两边都要留有宽为b的空白，且印刷品左右长度不超过定值l。问：如何选择尺寸纸张也是矩形，才能使印刷品所用纸张面积最小？从而使印刷的总用纸量最小。图1解：设版面左、右长为x，上、下宽为y那么有x>0，y>0设每张印刷品所用纸张面积为S那么1当时，当且仅当时取“=号，解得即此时左右长为，上下宽为2当时因为所以且所以当时取等号，即选择左、右尺寸为l，上、下尺寸为用纸量最小。综上所述，当时，选择左右尺寸为时，上、下尺寸为2b+;当时，选择左、右尺寸为l，上、下尺寸为所用纸量最小。例2 一船由甲地逆水匀速行驶至乙地，甲、乙两地相距s千米，水速为常量p千米/时，船在静水中的最大速度为q千米/时q>p。船每小时燃料费用以元为与船在静水中速度v千米/时的平方成正比，比例系数为k。I把全程燃料费用y元表示为静水中速度v千米/时的函数，并指出这个函数的定义域；II为了使全程燃料费用最小，船的实际前进速度应为多少？解：I依题意知船由甲地匀速行驶至乙地所用的时间为，全程燃料费用为：，故所求函数及其定义域为：II由题意知k、s、v、p、q均为正数，且v>p，故有当且仅当，即时上式取等号假设，那么当时，全程燃料费用y最小。假设2p>q，当时，有因又所以当且仅当v=q时等号成立，即当v=q时，全程燃料费用最小。综上知，为使全程燃料费用最小，当时，船的实际前进速度为p；当2p>q时，船的实际前进速度应为。例3 甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时。汽车每小时的运输本钱以元为由可变局部和固定局部组成：可变局部与速度v千米/时的平方成正比，比例系数为b；固定局部为a元。I把全程运输本钱y元表示为速度v千米/时的函数，并指出这个函数的定义域；II为了使全程运输本钱最小，汽车应以多大速度行驶？解：I依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输本钱为故所求函数及其定义域为：II依题意知s，a，b，v都为正数，故有当且仅当时上式中等号成立假设时上式中等号成立假设时，有因为，故有所以，且仅当v=c时等号成立。也即当v=c时，全程运输本钱y最小。综上知，为使全程运输本钱y最小，当时行驶速度应为；当时行驶速度应为v=c。哈尔滨师范大学150080