高中数学高考总复习平面向量的数量积及向量的应用习题及详解.doc
高考总复习高中数学高考总复习平面向量的数量积及向量的应用习题及详解一、选择题1(文)(2010·东北师大附中)已知|a|6，|b|3，a·b12，则向量a在向量b方向上的投影是()A4 B4C2 D2答案A解析a在b方向上的投影为4.(理)(2010·浙江绍兴调研)设a·b4，若a在b方向上的投影为2，且b在a方向上的投影为1，则a与b的夹角等于()A. B.C. D.或答案B解析由条件知，2，1，a·b4，|a|4，|b|2，cosa，b，a，b.2(文)(2010·云南省统考)设e1，e2是相互垂直的单位向量，并且向量a3e12e2，bxe13e2，如果ab，那么实数x等于()A B. C2 D2答案C解析由条件知|e1|e2|1，e1·e20，a·b3x60，x2.(理)(2010·四川广元市质检)已知向量a(2,1)，b(1，2)，且mtab，nakb(t、kR)，则mn的充要条件是()Atk1 Btk1Ct·k1 Dtk0答案D解析mtab(2t1，t2)，nakb(2k,12k)，mn，m·n(2t1)(2k)(t2)(12k)5t5k0，tk0.3(文)(2010·湖南理)在RtABC中，C90°，AC4，则·等于()A16 B8 C8 D16答案D解析因为C90°，所以·0，所以·()·|2·AC216.(理)(2010·天津文)如图，在ABC中，ADAB，|1，则·()A2 B. C. D.答案D解析，·()···，又ABAD，·0，··|·|·cosADB|·cosADB·|.4(2010·湖南省湘潭市)设非零向量a、b、c满足|a|b|c|，abc，则a，b()A150° B120°C60° D30°答案B解析abc，|a|b|c|0，|ab|2|c|2|a|2，|b|22a·b0，|b|22|a|·|b|·cosa，b0，cosa，b，a，b0°，180°，a，b120°.5(2010·四川双流县质检)已知点P在直线AB上，点O不在直线AB上，且存在实数t满足2tt，则()A. B. C2 D3答案B解析2t()t，P在直线AB上，1，t1，2，.6(文)平面上的向量、满足|2|24，且·0，若向量，则|的最大值是()A. B1 C2 D.答案D解析·0，又|2|24，|AB|2，且M在以AB为直径的圆上，如图建立平面直角坐标系，则点A(1,0)，点B(1,0)，设点M(x，y)，则x2y21，(1x，y)，(1x，y)，|22y2x，1x1，x1时，|2取得最大值为，|的最大值是.(理)(2010·山东日照)点M是边长为2的正方形ABCD内或边界上一动点，N是边BC的中点，则·的最大值为()A8 B6 C5 D4答案B解析建立直角坐标系如图，正方形ABCD边长为2，A(0,0)，N(2，1)，(2，1)，设M坐标为(x，y)，(x，y)由坐标系可知·2xy，设2xyz，易知，当x2，y2时，z取最大值6，·的最大值为6，故选B.7如图，ABC的外接圆的圆心为O，AB2，AC3，BC，则·等于()A. B.C2 D3答案B解析··()··，因为OAOB.所以在上的投影为|，所以·|·|2，同理·|·|，故·2.8(文)已知向量a、b满足|a|2，|b|3，a·(ba)1，则向量a与向量b的夹角为()A. B.C. D.答案C解析根据向量夹角公式“cosa，b求解”由条件得a·ba21，即a·b3，设向量a，b的夹角为，则cos，所以.(理)(2010·黑龙江哈三中)在ABC中，·，其面积S，则与夹角的取值范围是()A. B.C. D.答案A解析设，·|·|cos，S|·|·sin()|·|·sin，|·|，·cot，由条件知cot，1cot，·>0，为锐角，.9(文)(2010·云南省统考)如果A是抛物线x24y的顶点，过点D(0,4)的直线l交抛物线x24y于B、C两点，那么·等于()A. B0C3 D答案B解析由题意知A(0,0)，设B(x1，y1)，C(x2，y2)，直线l：ykx4，由消去y得，x24kx160，x1x24k，x1x216，y1·y2(kx14)(kx24)k2x1x24k(x1x2)1616k216k21616，·x1x2y1y20.(理)(2010·南昌市模考)如图，BC是单位圆A的一条直径，F是线段AB上的点，且2，若DE是圆A中绕圆心A运动的一条直径，则·的值是()A BC D不确定答案B解析2，|，·()·()()·()|2|21.10(2010·福建莆田一中)设O为坐标原点，A(1,1)，若点B(x，y)满足，则·取得最小值时，点B的个数是()A1 B2 C3 D无数个答案B解析x2y22x2y10，即(x1)2(y1)21.可行域为图中阴影部分，·|·|·cos，又|为定值，当·cos，取最小值时，·取最小值，ycosx在上为减函数，由图可知，当点B在E、F位置时，AOB最大，|最小，从而·取最小值，故选B.点评可用数量积的坐标表示求解，设B(x，y)，令·xyt，则yxt，当直线yxt过B1、B2两点时，t最小，即tmin3.当·取得最小值时，点B的个数为2.二、填空题11(2010·苏北四市)如图，在平面四边形ABCD中，若AC3，BD2，则()·()_.答案5解析设AC与BD相交于点O，则()·()()()·()()()·()()()|2|25.12(文)(2010·江苏洪泽中学月考)已知O、A、B是平面上不共线三点，设P为线段AB垂直平分线上任意一点，若|7，|5，则·()的值为_答案12解析，由条件知，|249，|225，|，|2|2，即|2|22·|2|22·，·()12，·()12.(理)(2010·广东茂名市)O是平面上一点，A、B、C是平面上不共线的三点，平面内的动点P满足()，则时，·()的值为_答案0解析由已知得()，即()，当时，得()，2，即，0，·()·00，故填0.13(2010·安徽巢湖市质检)已知A1，A2分别是椭圆1的左、右顶点，P是过左焦点F且垂直于A1A2的直线l上的一点，则·_.答案20解析由条件知A1(5,0)，A2(5,0)，F(3,0)，设P(3，y0)，则(10,0)，(2，y0)，·20.14(2010·福建厦门质检)已知向量an(cos，sin)(nN*)，|b|1.则函数y|a1b|2|a2b|2|a3b|2|a141b|2的最大值为_答案284解析|b|1，设b(cos，sin)，an2cos2sin21(nN)，an·bcoscossinsin，y|a1b|2|a2b|2|a141b|2(|a1|2|a2|2|a141|2)141|b|22(a1·ba2·ban·b)2822coscoscoscos2sin2822coscos2sinsin2822cos284.三、解答题15(山东省潍坊市质检)已知函数f(x)sin2xcos2x，xR.(1)求函数f(x)的最小值和最小正周期；(2)设ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c，f(C)0，若向量m(1，sinA)与向量n(2，sinB)共线，求a，b的值解析(1)因为f(x)sin2xsin(2x)1，所以f(x)的最小值是2，最小正周期是T.(2)由题意得f(C)sin(2C)10，则sin(2C)1，0<C<，0<2C<2，<2C<，2C，C，向量m(1，sinA)与向量n(2，sinB)共线，由正弦定理得，由余弦定理得，c2a2b22abcos，即3a2b2ab由解得，a1，b2.16(文)(延边州质检)如图，在四边形ABCD中，AD8，CD6，AB13，ADC90°且·50.(1)求sinBAD的值；(2)设ABD的面积为SABD，BCD的面积为SBCD，求的值解析(1)在RtADC中，AD8，CD6，则AC10，cosCAD，sinCAD，又·50，AB13，cosBAC，0<BAC180°，sinBAC，sinBADsin(BACCAD).(2)SBADAB·ADsinBAD，SBACAB·ACsinBAC60，SACD24，则SBCDSABCSACDSBAD，.(理)点D是三角形ABC内一点，并且满足AB2CD2AC2BD2，求证：ADBC.分析要证明ADBC，则只需要证明·0，可设m，c，b，将用m，b，c线性表示，然后通过向量的运算解决证明：设c，b，m，则mc，mb.AB2CD2AC2BD2，c2(mb)2b2(mc)2，即c2m22m·bb2b2m22m·cc2，m·(cb)0，即·()0，·0，ADBC.17(文)(2010·江苏)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，2)，B(2,3)，C(2，1)(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t满足(t)·0，求t的值解析(1)由题设知(3,5)，(1,1)，则(2,6)，(4,4)所以|2，|4.故所求的两条对角线长分别为4，2.(2)由题设知(2，1)，t(32t,5t)由(t)·0得，(32t,5t)·(2，1)0，所以t.(理)(安徽巢湖质检)已知A(，0)，B(，0)，动点P满足|4.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点(1,0)作直线l与曲线C交于M、N两点，求·的取值范围解析(1)动点P的轨迹C的方程为y21；(2)解法一：当直线l的斜率不存在时，M(1，)，N(1，)，·；当直线l的斜率存在时，设过(1,0)的直线l：yk(x1)，代入曲线C的方程得(14k2)x28k2x4(k21)0.设M(x1，y1)、N(x2，y2)，则x1x2，x1x2.·x1x2y1y2x1x2k2(x11)(x21)(1k2)x1x2k2(x1x2)k2<.又当k0时，·取最小值4，4·<.根据、得·的取值范围为4，解法二：当直线l为x轴时，M(2,0)，N(2,0)，·4.当直线l不为x轴时，设过(1,0)的直线l：xy1，代入曲线C的方程得(42)y22y30.设M(x1，y1)、N(x2，y2)，则y1y2，y1y2.·x1x2y1y2(21)y1y2(y1y2)14(4，4·.·的取值范围为4，含详解答案
