（整理版）张家港外国语学校高二数学周日测试5.doc

51. 如果复数其中i为虚数，b为实数的实部和虚部互为相反数，那么b= .2. 从8名女生4名男生中，选出3名学生组成课外小组，如果按性别比例分层抽样，那么不同的抽取方法数为 ;3. 设，那么的值为 .4. 在面积为S的正三角形ABC中，E是边AB上的动点，过点E作EF/BC，交AC于点F，当点E运动到离边BC的距离为高的时，的面积取得最大值为类比上面的结论，可得，在各棱条相等的体积为V的四面体ABCD中，E是棱AB上的动点，过点E作平面EFG/平面BCD，分别交AC、AD于点F、G，那么四面体EFGB的体积的最大值等于 5. 设长方体的长、宽、高分别为、，其顶点都在一个球面上，那么该球的外表积为 6. 在正方体中,分别是的中点,给出以下四个结论:； /平面； 与相交； 与异面其中正确结论的序号是 .7.错误 .的子集有3个；“假设“为真是“为真的必要不充分条件；“，均有的否认是：“使得8. 以下“假设，那么形式的命题中，是的充分而不必要条件的有 个. 假设或，那么； 假设关于的不等式的解集为R，那么 假设是有理数，那么是无理数9. =，在区间上任取三个不同的数,均存在以 为边长的三角形，那么的取值范围是 10. 设分别是椭圆的左、右焦点，过的直线与相交于两点，且成等差数列，那么= .11. 过双曲线的左焦点，作圆的切线，切点为E，延长FE交曲线右支于点P，假设，那么双曲线的离心率为 .12. 抛物线方程为，直线的方程为，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为，P到直线的距离为，那么的最小值为 .13. 是直线上的动点，是圆的切线，是切点， 是圆心，那么四边形面积的最小值是 14. 曲线：与轴的交点关于原点的对称点称为“望点，以“望点为圆心，但凡与曲线C有公共点的圆，皆称之为“望圆，那么当a=1，b=1时，所有的“望圆中，面积最小的“望圆的面积为 15. 如下图，圆O：x2y24，直线m：kxy10.(1)求证：直线m与圆O有两个相异交点；(2)设直线m与圆O的两个交点为A、B，求AOB面积S的最大值16. 如图，在圆锥PO中，PO，O的直径AB2，C是弧的中点，D为AC的中点(1)证明：平面POD平面PAC；(2)求二面角BPAC的余弦值17. 函数a，b是不同时为零的常数，其导函数为.1当时，假设不等式对任意恒成立，求b的取值范围；2假设函数为奇函数，且在处的切线垂直于直线，关于x的方程在上有且只有一个实数根，求实数t的取值范围.18. 抛物线的焦点为，抛物线上一点的横坐标为，过点作抛物线的切线交轴于点，交轴于点，交直线于点，当时，求证：为等腰三角形，并求抛物线的方程；假设位于轴左侧的抛物线上，过点作抛物线的切线交直线于点，交直线于点，求面积的最小值，并求取到最小值时的值19. 设分别是椭圆的左、右焦点1假设椭圆上的点到两点的距离之和等于4，写出椭圆的方程和焦点坐标；2设点是1中所得椭圆上的动点，求的最大值；3椭圆具有性质：假设是椭圆上关于原点对称的两个点，点是椭圆上任意一点，当直线的斜率都存在，并记为、时，那么与之积是与点位置无关的定值。试对双曲线写出具有类似特性的性质，并加以证明。20. 函数 () 当时，求证：；() 在区间上恒成立，求实数的范围。() 当时，求证：高二数学加试题1.ABC，A(1，0)，B(3，0)，C(2，1)，对它先作关于x轴的反射变换，再将所得图形绕原点逆时针旋转90°1分别求两次变换所对应的矩阵M1，M2；2求点C在两次连续的变换作用下所得到的点的坐标2. O1和O2的极坐标方程分别为1把O1和O2的极坐标方程化为直角坐标方程；2求经过O1，O2交点的直线的直角坐标方程3求O1，O2的公共弦弦长.3. 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高低岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训工程的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响(1)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；(2)任选3名下岗人员，记X为3人中参加过培训的人数，求X的概率分布和期望4. 数列的首项为， .1假设为常数列，求的值；2假设为公比为的等比数列，求的解析式；3数列能否成等差数列，使得对一切都成立.假设能，求出数列的通项公式；假设不能，试说明理由.参考答案：1. ；2. 112；3. ；4. ；5. ；6. 134；7.；8.0个；9. m6 ；9解析：=，求导 由得到或者，知道在0,2内，函数先减小后增加，计算两端及最小值 ，在0,2上任取三个数，均存在以为边的三角形，三个不同的数对应的可以有两个相同。由三角形两边之和大于第三边，可知最小边长的二倍必须大于最大边长。由题意知， 1 ，得到 2，得到 3由123得到为所求10. ；11. ；12. ：由抛物线的定义，PF， ，显然当PF垂直于直线时，最小。此时为F到直线的距离为的最小值为13. ，14. ：因为曲线：与轴的交点关于原点的对称点称为“望点，以“望点为圆心，但凡与曲线C有公共点的圆，皆称之为“望圆，所以当时望圆的方程可设为，面积最小的“望圆的半径为0,1到上任意点之间的最小距离，所以半径，最小面积为15. 解析(1)证明直线m：kxy10可化为y1kx，故该直线恒过点(0,1)，而(0,1)在圆O：x2y24内部，所以直线m与圆O恒有两个不同交点(2)圆心O到直线m的距离为d，而圆O的半径r2，故弦AB的长为|AB|22，故AOB面积S|AB|×d×2×d.而d2，因为1k21，所以d2(0,1，显然当d2(0,1时，S单调递增，所以当d21，即k0时，S取得最大值，此时直线m的方程为y10.16. 如下图，连接OC，因为OAOC，D是AC的中点，所以ACOD.又PO底面O，AC底面O，所以ACPO.因为OD，PO是平面POD内的两条相交直线，所以AC平面POD，而AC平面PAC，所以平面POD平面PAC.(2)在平面POD中，过O作OHPD于H，由(1)知，平面POD平面PAC，所以OH平面PAC.又PA平面PAC，所以PAOH.在平面PAO中，过O作OGPA于G，连接HG，那么有PA平面OGH.从而PAHG，故OGH为二面角BPAC的平面角在RtODA中，ODOA·sin 45°.在RtPOD中，OH.在RtPOA中，OG.在RtOHG中，sinOGH.所以cosOGH.故二面角BPAC的余弦值为.解法二(1)证明如下图，以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，那么O(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，P(0,0，)，D.设n1(x1，y1，z1)是平面POD的一个法向量，那么由n1·0，n1·0，得所以z10，x1y1.取y11，得n1(1,1,0)设n2(x2，y2，z2)是平面PAC的一个法向量，那么由n2·0，n2·0，得所以x2z2，y2z2.取z21，得n2(，1)因为n1·n2(1,1,0)·(，1)0，所以n1n2.从而平面POD平面PAC.(2)因为y轴平面PAB，所以平面PAB的一个法向量为n3(0,1,0)由(1)知，平面PAC的一个法向量为n2(，1)设向量n2和n3的夹角为，那么cos .由图可知，二面角BPAC的平面角与相等，所以二面角BPAC的余弦值为.17. 1当时，分依题意即恒成立，解得所以b的取值范围是分2因为为奇函数，所以，所以，.又在处的切线垂直于直线，所以，即.6分1Oy-1x在，上是单调递增函数，在上是单调递减函数，由解得，7分法一:如下图，作与的图像，假设只有一个交点，那么x当时，y即，解得；-1xyOO-1t当时，解得；当时，不成立；-1txy当时，txOy即，解得；当时，yO解得；tx当时，.分综上t的取值范围是或或.分法二：由.作与的图知交点横坐标为，当时，过图象上任意一点向左作平行于轴的直线与都只有唯一交点，当取其它任何值时都有两个或没有交点。所以当时，方程在上有且只有一个实数根.18. (1)设，那么切线的方程为，所以，所以，所以为等腰三角形 3分且为中点，所以，得，抛物线方程为 7分II设，那么处的切线方程为由，同理，所以面积 设的方程为，那么由，得代入得：，使面积最小，那么得到 令，得，所以当时单调递减；当单调递增，所以当时，取到最小值为，此时，所以，即 15分19. 解：1椭圆的焦点在轴上，由椭圆上的点到两点的距离之和是4，得即，又在椭圆上，解得，于是所以椭圆的方程是，焦点设，那么，又，当时，类似的性质为：假设是双曲线上关于原点对称的两个点，点是双曲线上任意一点，当直线的斜率都存在，并记为时，那么与之积是与点位置无关的定值。设点，那么点，其中，设点，那么由，得，将代入上式得：20. I证明:设 那么,那么,即在处取到最小值, 那么,即原结论成立. 4分II解:由得 即,另, 另,那么单调递增,所以 因为,所以,即单调递增,那么的最大值为 所以的取值范围为.8分III证明:由第一问得知那么 那么 12分加试题参考答案1. 解 1M1，M2；2因为MM2 M1 ，所以M 故点C在两次连续的变换作用下所得到的点的坐标是(1，2)1O1的直角坐标方程为；O2的直角坐标方程为233. 解：任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训为事件A，“该人参加过计算机培训为事件B，由题设知，事件A与B相互独立，且，(1)解法一：任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是：P1P(·)P()·P(×，所以该人参加过培训的概率是解法二：任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是：P3P(A·)P(·××，该人参加过两项培训的概率是P4P(A·×，所以该人参加过培训的概率是(2)因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数X服从二项分布B(3，0.9)，P(Xk)C·0.9k·0.13k，k0，1，2，3，即X的概率分布如表：X0123P0. 243433答：略4. 解:1为常数列，.4分2为公比为的等比数列，.6分，故.10分3假设数列能为等差数列，使得对一切都成立，设公差为，那么， 且，12分相加得 ，.恒成立，即恒成立，.15分故能为等差数列，使得对一切都成立，它的通项公式为.16分其它方法相应给分