2019-2020学年高中数学人教A版必修2学案：3.2.2-3 直线的两点式方程 直线的一般式方程 .doc

www.ks5u.com3.2.2直线的两点式方程3.2.3直线的一般式方程知识导图学法指导1.体会直线的两点式方程、截距式方程的推导过程，并由此求直线的方程2明确平面上的直线和二元一次方程的区别与联系3弄清楚直线的一般式方程和其他几种形式之间的关系以及每种形式的适用条件，在解题时注意选择恰当的直线方程4明确利用直线方程的几种形式判断直线平行和垂直问题的方法高考导航1.利用两点坐标求直线的方程或利用直线的截距式求直线的方程是常考知识点，分值5分2由直线的一般式方程判断直线的位置关系或求参数的值也是高考的常考题型，以选择题或填空题为主，分值5分.知识点一直线的两点式、截距式方程两点式截距式条件P1(x1，y1)和P2(x2，y2)在x轴上的截距是a，在y轴上的截距是b图形方程(x2x1，y2y1)1适用范围不表示平行于坐标轴的直线不表示平行于坐标轴的直线及过原点的直线1截距式方程中间以“”相连，右边是1.2a叫做直线在x轴上的截距，aR，不一定有a >0.知识点二线段的中点坐标公式若点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，设P(x，y)是线段P1P2的中点，则知识点三直线的一般式方程1直线与二元一次方程的关系在平面直角坐标系中的直线与二元一次方程的对应关系如下：2直线的一般式方程式子：关于x，y的二元一次方程AxByC0；条件：A，B不同时为零；简称：一般式3直线的一般式方程与其他四种形式的转化认识直线的一般式方程(1)方程是关于x，y的二元一次方程；(2)方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列；(3)x的系数一般不为分数和负数；(4)平面直角坐标系内的任何一条直线都有一个二元一次方程与它相对应，即直线的一般式方程可以表示任何一条直线小试身手1判断下列命题是否正确. (正确的打“”，错误的打“”)(1)不经过原点的直线都可以用方程1表示()(2)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1) (x2x1)(xx1)(y2y1)表示()答案：(1)(2)2经过点A(3,2)，B(4,4)的直线的两点式方程为()A.B.C. D.解析：由方程的两点式可得直线方程为，即.答案：A3在x轴和y轴上的截距分别为2,3的直线方程是()A.1 B.1C.1 D.1解析：由直线的截距式方程，可得直线方程是1.答案：C4直线1化成一般式方程为()Ayx4 By(x3)C4x3y120 D4x3y12解析：直线1化成一般式方程为4x3y120.答案：C类型一利用两点式求直线方程例1已知三角形的顶点是A(5,0)，B(3，3)，C(0,2)，求AC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程【解析】过点A(5,0)，C(0,2)的直线的两点式方程为，整理得2x5y100，这就是AC边所在直线的方程AC边上的中线是顶点B与AC边的中点所连的线段设边AC的中点为D(x，y)，则即D.由两点式得直线BD的方程为，整理可得8x11y90.此即AC边上的中线所在直线的方程.找到直线上两点坐标，利用两点式直接写出两点式方程，并化简得到结论方法归纳求直线的两点式方程的策略以及注意点(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系跟踪训练1在ABC中，A(3,2)，B(5，4)，C(0，2)(1)求BC所在直线的方程；(2)求BC边上的中线所在直线的方程解析：(1)B(5，4)，C(0，2)，BC所在直线方程为，即2x5y100.故BC所在直线的方程为2x5y100.(2)设BC的中点为M(x0，y0)，则x0，y03，M.又BC边上的中线所在直线经过点A(3,2)，由两点式得，即10x11y80.故BC边上的中线所在直线的方程为10x11y80.(1)由两点式直接求BC所在直线的方程；(2)先求出BC的中点，再由两点式求直线方程类型二直线的截距式方程及应用例2(1)过点A(4,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为()Axy5Bxy5Cxy5或x4y0 Dxy5或x4y0(2)两条直线l1：1和l2：1在同一平面直角坐标系中的图象可以是()【解析】(1)当直线过点(0,0)时，直线方程为yx，即x4y0；当直线不过点(0,0)时，可设直线方程为1，把(4,1)代入，解得a5，直线方程为xy5.综上可知，直线方程为xy5或x4y0.(2)两条直线方程化成截距式为l1：1，l2：1，则l1与x轴交于(a,0)，与y轴交于(0，b)，l2与x轴交于(b,0)，与y轴交于(0，a)综合各选项，先假定l1的位置，判断出a，b的正负，然后确定l2的位置，知A项符合【答案】(1)C(2)A(1)用直线的截距式方程解题时要注意截距式方程存在的条件，特别是要考虑直线过原点的情况(2)先将直线方程化为截距式的标准形式，然后结合图形来判断方法归纳用截距式方程解决问题的优点及注意事项(1)由截距式方程可直接确定直线与x轴和y轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便(2)在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式(3)但当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为零在这两种情况下都不能用截距式，故解决问题过程中要注意分类讨论跟踪训练2求过点(4，3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l的方程解析：设直线l在x轴、y轴上的截距分别为a，b.当a0，b0时，设l的方程为1.点(4，3)在直线上，1，若ab，则ab1，直线方程为xy1.若ab，则a7，b7，直线方程为xy7.当ab0时，直线过原点，且过点(4，3)，直线的方程为3x4y0.综上所述，所求直线方程为xy10或xy70或3x4y0.当所给条件涉及直线的横、纵截距求直线方程时，可考虑用直线的截距式方程但要特别注意截距式方程使用的条件是横、纵截距都存在且不为零，当截距有可能为零时，要注意分类讨论，防止漏解类型三直线的一般式方程例3(1)设直线l的方程为2x(k3)y2k60(k3)，若直线l的斜率为1，则k_；若直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0，则k_；(2)设直线l的方程为(a1)xy2a0(aR)，若l不经过第二象限，则实数a的取值范围是_【解析】(1)因为直线l的斜率存在，所以直线l的方程可化为yx2，由题意得1，解得k5.直线l的方程可化为1，由题意得k320，解得k1.(2)将直线l的方程化为y(a1)xa2.则或a1.【答案】(1)51(2)(，1一般式方程化成斜截式方程或截距式方程建立关于参数的方程(或不等式)求解即得参数的值(或取值范围)方法归纳解决直线的一般式方程的有关问题的方法(或思路)1直线的一般式方程AxByC0中要求A，B不同时为0.2由直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程去分母、移项就可以转化为直线的一般式方程(化为一般式方程后原方程的限制条件就消失了)；反过来，也可以由直线的一般式方程化为斜截式、截距式方程，注意斜截式、截距式方程的使用条件3解决直线的图象问题时，常通过把直线的一般式方程化为斜截式，利用直线的斜率和纵截距作出判断跟踪训练3已知直线经过点A(5,6)和点B(4,8)，求该直线的一般式、斜截式和截距式方程解析：直线过点A(5,6)，B(4,8)，由两点式得，整理得2xy160，即为直线的一般式方程方程2xy160移项，得y2x16，即为直线的斜截式方程方程2xy160移项，得2xy16，两边同除以16，整理得1，即为直线的截距式方程先写出直线的两点式方程，然后将其变形写出直线的其他形式方程基础巩固(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)12019河南省实验中学检测一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程()A可以写成两点式或截距式B可以写成两点式或斜截式或点斜式C可以写成点斜式或截距式D可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式解析：当直线过原点时，不能写成截距式，故B正确答案：B2过点A(5,6)和点B(1,2)的直线的两点式方程是()A. B.C. D.解析：根据直线的两点式方程，得.答案：B32019武汉检测直线1过第一、三、四象限，则()Aa>0，b>0 Ba>0，b<0Ca<0，b>0 Da<0，b<0解析：因为直线过第一、三、四象限，所以它在x轴上的截距为正，在y轴上的截距为负，即a>0，b<0.答案：B4光线从A(3,4)点射出，到x轴上的B点后，被x轴反射，这时反射光线恰好过点C(1,6)，则BC所在直线的方程为()A5x2y70 B2x5y70C5x2y70 D2x5y70解析：点A(3,4)关于x轴的对称点A(3，4)在反射光线所在的直线上，所以所求直线为，即5x2y70.答案：A5已知直线l1：xay10与直线l2：x2y20垂直，则a的值为()A2 B2C D.解析：直线l2可化为yx1，所以其斜率k2，所以直线l1的斜率存在，即a0且k1.由k1k21，解得a.答案：D二、填空题(每小题5分，共15分)6已知M(1,2)，N(3，4)，线段MN的中点坐标为(a，b)，则a_，b_.解析：由中点坐标公式可得即答案：117直线(2a27a3)x(a29)y3a20的倾斜角为45，则实数a_.解析：由题意斜率存在，倾斜角为45，则k1.所以1，解得a或3.当a3时，2a27a3与a29同时为0，所以应舍去，所以a.答案：8若直线l经过点P(1,2)，且在y轴上的截距与直线2x3y90在y轴上的截距相等，则直线l的方程为_解析：直线2x3y90在y轴上的截距等于3，即直线l经过点M(0,3)，则直线l的斜率k1，故直线l的方程为yx3，即xy30.答案：xy30三、解答题(每小题10分，共20分)9已知ABCD的顶点A(1,2)，B(2，1)，C(3，3)，求直线BD的方程解析：因为平行四边形ABCD两对角线AC与BD的交点M为AC的中点，所以M，直线BM的方程为x2，即直线BD的方程为x20.10若直线经过点A(1,4)，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，求直线的方程解析：当直线经过坐标原点时，直线在x轴、y轴上的截距都是0，符合题意，设其方程为ykx，又直线经过点A(1,4)，所以4k，即方程为y4x；当直线不经过坐标原点时，设其方程为1，又直线经过点A(1,4)，所以1，解得a，此时直线方程为1，即x2y90.故所求直线方程为y4x或x2y90.能力提升(20分钟，40分)11直线l1：axyb0，l2：bxya0(ab0)的图象只可能是()解析：因为ab0，则当a>0，b>0时，其图象可能为：此时没有符合的当a>0，b<0时，其图象可能为：因此B符合当a<0，b>0时，其图象可能为：没有符合的当a<0，b<0时，其图象可能为：也没有符合的综上，选B.答案：B12如果AC<0，且BC<0，那么直线AxByC0不经过第_象限解析：由题意知ABC0，直线方程变形为yx.AC<0，BC<0，AB>0，其斜率k<0，又y轴上的截距b>0.直线过第一、二、四象限，不经过第三象限答案：三13已知点A关于B(2,1)的对称点为C(4,3)，C关于D的对称点为E(6，3)，求A，D的坐标及线段AD中点的坐标解析：设A(x1，y1)，由题意知AC的中点为B，所以2，1，所以x18，y11，所以A(8，1)设D(x2，y2)，由题意知D为CE的中点，所以x25，y20，所以D(5,0)所以线段AD中点的坐标为，即.14已知直线l的方程为3x4y120，求直线l的方程，使l满足：(1)过点(1,3)，且与l平行；(2)过点(1,3)，且与l垂直；(3)l与l垂直，且l与两坐标轴围成的三角形面积为4.解析：(1)方法一由题设，l的方程可化为yx3，l的斜率为，l与l平行，l的斜率为.又l过点(1,3)，由点斜式得直线方程为y3(x1)，即3x4y90.方法二由l与l平行，可设l的方程为3x4ym0(m12)，将点(1,3)代入上式得m9.所求直线方程为3x4y90.(2)方法一由题设，l的方程可化为yx3，l的斜率为，由l与l垂直，得l的斜率为.又l过点(1,3)，由点斜式得直线方程为y3(x1)，即4x3y130.方法二由l与l垂直，可设l的方程为4x3yn0，将(1,3)代入上式得n13.所求直线方程为4x3y130.(3)方法一由题设l的方程可化为yx3，l的斜率为，ll，kl.设l在y轴上的截距为b，直线l的方程为yxb，则l在x轴上的截距为b，由题意可知，围成的三角形面积S|b|4，b.直线l的方程为yx或yx.即4x3y40或4x3y40.方法二由l与l垂直，可设直线l的方程为4x3yp0，则l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为，由题意可知，围成的三角形面积S4，得p4.直线l的方程为4x3y40或4x3y40.