2019-2020学年高中数学人教A版必修4学案：2.3.1 平面向量基本定理 .doc

www.ks5u.com2.3.1平面向量基本定理考试标准课标要点学考要求高考要求平面向量基本定理bb平面内所有向量的一组基底aa向量夹角的概念bb知识导图学法指导1.平面向量基本定理既是本节的重点，也是本节的难点2为了更好地理解平面向量基本定理，可以通过改变向量的方向及模的大小作图观察1，2取不同值时的图形特征，得到平面上任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e1，e2表示出来3在ABC中，明确与的夹角与与的夹角互补.1.平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.(2)基底：不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底平面向量基本定理的理解(1)1，2是同一平面内的两个不共线的向量，1，2的选取不唯一，即一个平面可以有多组的基底(2)平面内的任一向量都可以沿基底进行分解(3)基底1，2确定后，实数1、2是唯一确定的2关于两向量的夹角(1)两向量夹角的概念：已知两个非零向量a和b，作a，b，则AOB，叫作向量a与b的夹角范围：向量a与b的夹角的范围是0，180当0时，a与b同向当180时，a与b反向(2)垂直：如果a与b的夹角是90，我们说a与b垂直，记作ab.两向量夹角概念的正确理解(1)由于零向量的方向是任意的，因此，零向量可以与任一向量平行，零向量也可以与任一向量垂直(2)按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，BAC不是向量与向量的夹角，BAD才是向量与向量的夹角小试身手1判断下列命题是否正确. (正确的打“”，错误的打“”)(1)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底()(2)若e1，e2是同一平面内两个不共线向量，则1e12e2(1，2为实数)可以表示该平面内所有向量()(3) 若ae1be2ce1de2(a，b，c，dR)，则ac，bd.()答案：(1)(2)(3)2设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组：与；与；与；与，其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是()ABC D解析：与不共线；，则与共线；与不共线；，则与共线由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故满足题意答案：B3在ABC中，向量，的夹角是指()ACAB BABCCBCA D以上都不是解析：由两向量夹角的定义知，与的夹角应是ABC的补角，故选D.答案：D4如图所示，向量可用向量e1，e2表示为_解析：由图可知，4e13e2.答案：4e13e2类型一平面向量基本定理的理解例1设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：e1与e1e2；e12e2与e22e1；e12e2与4e22e1；e1e2与e1e2.其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是_(写出满足条件的序号)【解析】设e1e2e1，则无解，e1e2与e1不共线，即e1与e1e2能作为一组基底设e12e2(e22e1)，则(12)e1(2)e20，则无解，e12e2与e22e1不共线，即e12e2与e22e1能作为一组基底e12e2(4e22e1)，e12e2与4e22e1共线，即e12e2与4e22e1不能作为一组基底设e1e2(e1e2)，则(1)e1(1)e20，则无解，e1e2与e1e2不共线，即e1e2与e1e2能作为一组基底【答案】由基底的定义知，平面内两个不共线的向量1、2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，要判断所给的两个向量能否构成基底，只要看这两个向量是否共线即可方法归纳对基底的理解(1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线若共线，则不能作基底，反之，则可作基底(2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x1ay1bx2ay2b，则提醒：一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同的基底表示，表达式不一样跟踪训练1下面三种说法：一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底；一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；零向量不可以作为基底中的向量其中正确的说法是()A.BCD解析：平面内向量的基底是不唯一的，在同一平面内任何一组不共线的向量都可作为平面内所有向量的一组基底；零向量可看成与任何向量平行，故零向量不可以作为基底中的向量，故B项正确答案：B平面内任意一对不共线的向量都可以作为该平面内所有向量的基底，一定要注意“不共线”这一条件，在做题时容易忽略此条件而导致错误，同时还要注意零向量不能作基底类型二用基底表示平面向量例2如图所示，在ABCD中，点E，F分别为BC，DC边上的中点，DE与BF交于点G，若a，b，试用a，b表示向量，.【解析】ab.ba.解决此类问题的关键在于以一组不共线的向量为基底，通过向量的加、减、数乘以及向量共线的结论，把其他相关的向量用这一组基底表示出来 方法归纳用基底表示向量的两种方法(1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止(2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解跟踪训练2(1)本例条件不变，试用基底a，b表示；(2)若本例中的基向量“，”换为“，”即若a，b，试用a，b表示向量，.解析：(1)由平面几何知识知BGBF，故aabaab.(2)222ba.222ab.用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则类型三向量的夹角例3已知|a|b|，且a与b的夹角为120，求ab与a的夹角及ab与a的夹角【解析】如图，作a，b，AOB120，以，为邻边作平行四边形OACB，则ab，ab.因为|a|b|，所以平行四边形OACB为菱形所以与的夹角AOC60，与的夹角即为与的夹角ABC30.所以ab与a的夹角为60，ab与a的夹角为30.作图，由图中找到与的夹角，利用三角形、四边形的知识求角方法归纳两个向量夹角的实质及求解的关键(1)实质：两个向量的夹角，实质上是从同一起点出发的两个非零向量构成的角(2)关键：求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个向量的起点重合，然后按照“一作二证三算”的步骤，并结合平面几何知识求出两个向量的夹角跟踪训练3已知|a|b|2，且a与b的夹角为60，求ab与a的夹角，ab与a的夹角解析：如图，作a，b，且AOB60，以OA，OB为邻边作OACB，则ab，ab，a.因为|a|b|2，所以OAB为正三角形所以OAB60ABC.即ab与a的夹角为60.因为|a|b|，所以OACB为菱形所以OCAB，所以COA906030.即ab与a的夹角为30.作出向量，利用平面几何知识求解2.3.1基础巩固(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1已知向量ae12e2，b2e1e2，其中e1，e2不共线，则ab与c6e12e2的关系是()A不共线 B共线C相等 D不确定解析：ab3e1e2，c2(ab)ab与c共线答案：B2当向量a与b共线时，则这两个向量的夹角为()A0 B90C180 D0或180解析：当向量a与b共线，即两向量同向时夹角0，反向时夹角180.答案：D3已知AD是ABC的中线，a，b，以a，b为基底表示，则()A.(ab) B2baC.(ba) D2ba解析：如图，AD是ABC的中线，则D为线段BC的中点，从而()，则22ba.答案：B4在正方形ABCD中，与的夹角等于()A45 B90C120 D135解析：如图所示，将平移到，则与的夹角即为与的夹角，夹角为135.答案：D5若D点在三角形ABC的边BC上，且4rs，则3rs的值为()A. B.C. D.解析：4rs，()rs，r，s.3rs.答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6已知向量a，b是一组基底，实数x，y满足(3x4y)a(2x3y)b6a3b，则xy的值为_解析：因为a，b是一组基底，所以a与b不共线，因为(3x4y)a(2x3y)b6a3b，所以解得所以xy3.答案：37已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足20，若a，b，用a，b表示向量，则_.解析：，20，2()()0，22ab.答案：2ab8在正方形ABCD中，E是DC边上的中点，且a，b，则_.解析：ba.答案：ba三、解答题(每小题10分，共20分)9已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a3e12e2，b2e1e2，c7e14e2，试用向量a和b表示c.解析：因为a，b不共线，所以可设cxayb，则xaybx(3e12e2)y(2e1e2)(3x2y)e1(2xy)e27e14e2.又因为e1，e2不共线，所以解得所以ca2b.10如图所示，设M，N，P是ABC三边上的点，且，若a，b，试用a，b将、表示出来解析：ab，b(ab)ab，()(ab)能力提升(20分钟，40分)11设非零向量a，b，c满足|a|b|c|，abc，则向量a，b的夹角为()A150 B120C60 D30解析：设向量a，b的夹角为，作a，b，则cab(图略)，a，b的夹角为180C.|a|b|c|，C60，120.答案：B12.如图，在ABC中，已知AB2，BC3，ABC60，AHBC于H，M为AH的中点，若，则_.解析：因为AB2，ABC60，AHBC，所以BH1，又M为AH的中点，BC3，所以()()，所以.答案：13如图，在OAB中，AD与BC交于点M，设a，b，试以a，b为基底表示.解析：根据平面向量基本定理可设manb(m，nR)，则(m1)anb，baab，A、M、D三点共线，(为实数)，ab，消去得m2n1.而anb，baab，C、M、B三点共线，(为实数)，ab，消去得4mn1.由解得ab.14在ABC中，AB，BC1，AC2，D是AC的中点求：(1)与夹角的大小；(2)与夹角的大小解析：(1)如图所示，在ABC中，AB，BC1，AC2，所以AB2BC2()2122AC2，所以ABC为直角三角形因为tanA，所以A30.又因为D为AC的中点，所以ABDA30，.在ABD中，BDA180AABD1803030120，所以与的夹角为120.(2)因为，所以与的夹角也为120.