2019-2020学年高中数学人教A版必修一学案：2.1.2.1 指数函数及其性质 .doc
www.ks5u.com2.1.2指数函数及其性质课标要点课标要点学考要求高考要求1.指数函数的概念bb2.指数函数的图象cc3.指数函数的性质cc4.利用函数图象解决问题cc知识导图学法指导1.明确指数函数的概念，会求指数函数的解析式2借助指数函数的图象来学习函数性质，学会用数形结合的方法解决有关问题3在掌握指数函数的图象与性质的基础上，学会解决与指数函数有关的复合函数问题第1课时指数函数及其性质知识点一指数函数的定义函数yax(a>0且a1)叫做指数函数，其中x是自变量指数函数解析式的3个特征(1)底数a为大于0且不等于1的常数(2)自变量x的位置在指数上，且x的系数是1.(3)ax的系数是1.知识点二指数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域R值域(0，)过定点过点(0,1)，即x0时，y1函数值的变化当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1单调性是R上的增函数是R上的减函数底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”当a>1时，指数函数的图象是“上升”的；当0<a<1时，指数函数的图象是“下降”的小试身手1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)yx2是指数函数()(2)指数函数yax中，a可以为负数()(3)指数函数的图象一定在x轴的上方()答案：(1)(2)(3)2下列各函数中，是指数函数的是()Ay(3)x By3xCy3x1 Dyx解析：根据指数函数的定义yax(a>0且a1)可知只有D项正确答案：D3函数f(x)的定义域为()AR B(0，)C0，) D(，0)解析：要使函数有意义，则2x1>0，2x>1，x>0.答案：B4已知集合Ax|x<3，Bx|2x>4，则AB()A Bx|0<x<3Cx|1<x<3 Dx|2<x<3解析：依据函数y2x是增函数，可得Bx|2x>4x|x>2，则ABx|2<x<3答案：D类型一指数函数概念的应用例1(1)若y(a23a3)ax是指数函数，则有()Aa1或2 Ba1Ca2 Da>0且a1(2)指数函数yf(x)的图象经过点，那么f(4)f(2)等于_【解析】(1)由指数函数的定义得解得a2.(2)设yf(x)ax(a>0，a1)，所以a2，所以a2，所以f(4)f(2)242264.【答案】(1)C(2)64(1)根据指数函数的定义可知，底数a>0且a1，ax的系数是1.(2)先设指数函数为f(x)ax，借助条件图象过点(2，)求a，最后求值方法归纳(1)判断一个函数是指数函数的方法看形式：只需判定其解析式是否符合yax(a>0，且a1)这一结构特征明特征：指数函数的解析式具有三个特征，只要有一个特征不具备，则不是指数函数(2)已知某函数是指数函数求参数值的基本步骤跟踪训练1(1)若函数y(32a)x为指数函数，则实数a的取值范围是_；(2)下列函数中是指数函数的是_(填序号)y2()xy2x1yxyxxy3yx.解析：(1)若函数y(32a)x为指数函数，则解得a<且a1.(2)中指数式()x的系数不为1，故不是指数函数；中y2x12x，指数式2x的系数不为1，故不是指数函数；中底数为x，不满足底数是唯一确定的值，故不是指数函数；中指数不是x，故不是指数函数；中指数为常数且底数不是唯一确定的值，故不是指数函数故填.答案：(1)(，1)(2)(1)指数函数系数为1.(2)底数>0且1.类型二指数函数的图象问题例2(1)如图所示是下列指数函数的图象：yaxybxycx ydx则a，b，c，d与1的大小关系是()Aa<b<1<c<d Bb<a<1<d<cC1<a<b<c<d Da<b<1<d<c(2)当a>0且a1时，函数f(x)ax32必过定点_【解析】(1)可先分为两类，的底数一定大于1，的底数一定小于1，然后再由比较c，d的大小，由比较a，b的大小当指数函数的底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，且当底数越小，图象向下越靠近x轴，故选B.(2)当a>0且a1时，总有f(3)a3321，所以函数f(x)ax32必过定点(3，1)【答案】(1)B(2)(3，1)(1)先由a>1,0<a<1两个角度来判断函数的单调性，确定函数图象(2)由yax过定点(0,1)来求f(x)过定点方法归纳指数函数的图象随底数变化的规律可归纳为：(1)无论指数函数的底数a如何变化，指数函数yax(a>0，a1)的图象与直线x1相交于点(1，a)，由图象可知：在y轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大(2)指数函数的底数与图象间的关系可概括记忆为：在第一象限内，底数自下而上依次增大跟踪训练2(1)已知1>n>m>0，则指数函数ymx，ynx的图象为()(2)若a>1，1<b<0，则函数yaxb的图象一定在()A第一、二、三象限B第一、三、四象限C第二、三、四象限 D第一、二、四象限解析：(1)由于0<m<n<1，所以ymx与ynx都是减函数，故排除A、B，作直线x1与两个曲线相交，交点在下面的是函数ymx的图象，故选C.(2)a>1，且1<b<0，故其图象如右图所示答案：(1)C(2)A,由底数的范围判断函数图象类型三指数函数的定义域、值域问题例3(1)函数y 的定义域是()A2，)B1，)C(，1 D(，2(2)已知f(x)3xb(2x4，b为常数)的图象经过点(2,1)，则f(x)的值域为()A9,81 B3,9C1,9 D1，)【解析】(1)由题意得2x1270，所以2x127，即2x13，又指数函数yx为R上的单调减函数，所以2x13，解得x1.(2)由f(x)的图象过点(2,1)可知b2，由f(x)3x2在2,4上是增函数，可知f(x)minf(2)1，f(x)maxf(4)9，可知C正确【答案】(1)C(2)C(1)首先根式有意义，然后根据函数的单调性解指数不等式(2)根据函数的单调性求值域方法归纳 (1)对于yaf(x)这类函数，定义域是指使f(x)有意义的x的取值范围值域问题，应分以下两步求解：由定义域求出uf(x)的值域；利用指数函数yau的单调性或利用图象求得此函数的值域(2)对于y(ax)2baxc这类函数，定义域是R.值域可以分以下两步求解：设tax，求出t的范围；利用二次函数yt2btc的配方法求函数的值域跟踪训练3(1)求函数y的定义域与值域(2)函数f(x)ax(a>0，a1)在1,2上的最大值比最小值大，求a.解析：(1)由x20，得x2，所以定义域为x|x2当x2时，0，又因为0<<1，所以y的值域为y|0<y1(2)若a1，则f(x)在1,2上单调递增，最大值为a2，最小值为a，所以a2a，即a或a0(舍去)若0a1，则f(x)在1,2上单调递减，最大值为a，最小值为a2，所以aa2，即a或a0(舍去)综上所述，a的值为或.(1)偶次根式被开方数大于等于0.(2)先判断函数单调性，再求最值.基础巩固(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1若函数f(x)ax是指数函数，则f的值为()A2 B2C2 D2解析：函数f(x)是指数函数，a31，a8.f(x)8x，f82.答案：D2在同一坐标系中，函数y2x与yx的图象之间的关系是()A关于y轴对称 B关于x轴对称C关于原点对称 D关于直线yx对称解析：由作出两函数图象可知，两函数图象关于y轴对称，故选A.答案：A3当x1,1时，函数f(x)3x2的值域是()A. B1,1C. D0,1解析：因为指数函数y3x在区间1,1上是增函数，所以313x31，于是3123x2312，即f(x)1.故选C.答案：C4如果指数函数f(x)(a1)x是R上的单调减函数，那么a的取值范围是()Aa<2 Ba>2C1<a<2 D0<a<1解析：由题意知0<a1<1，即1<a<2.答案：C5在同一平面直角坐标系中，函数f(x)ax与g(x)ax的图象可能是()解析：需要对a讨论：当a>1时，f(x)ax过原点且斜率大于1，g(x)ax是递增的；当0<a<1时，f(x)ax过原点且斜率小于1，g(x)ax是减函数，显然B正确答案：B二、填空题(每小题5分，共15分)6若指数函数yf(x)的图象经过点，则f_.解析：设f(x)ax(a>0且a1)因为f(x)过点，所以a2，所以a4.所以f(x)4x，所以f4.答案：7函数f(x)的值域为_解析：由1ex0得，ex1，故函数f(x)的定义域为x|x0，所以0<ex1，1ex<0,01ex<1，函数f(x)的值域为0,1)答案：0,1)8已知函数f(x)4ax1(a>0且a1)的图象恒过定点P，则点P的坐标是_解析：令x10，得x1，此时f(1)5.所以函数f(x)4ax1(a>0且a1)的图象恒过定点P(1,5)答案：(1,5)三、解答题(每小题10分，共20分)9设f(x)3x，g(x)x.(1)在同一坐标系中作出f(x)，g(x)的图象；(2)计算f(1)与g(1)，f()与g()，f(m)与g(m)的值，从中你能得到什么结论？解析：(1)函数f(x)与g(x)的图象如图所示：(2)f(1)313，g(1)13；f()3，g()3；f(m)3m，g(m)m3m.从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y轴对称10求下列函数的定义域和值域：(1)y21；(2)y解析：(1)要使y21有意义，需x0，则21；故21>1且210，故函数y21的定义域为x|x0，函数的值域为(1,0)(0，)(2)函数y的定义域为实数集R，由于2x20，则2x222.故0<9，所以函数y的值域为(0,9能力提升(20分钟，40分)11函数yax在区间0,1上的最大值和最小值的和为3，则函数y3ax1在区间0,1上的最大值是()A6 B1C5 D.解析：由于函数yax在0,1上为单调函数，所以有a0a13，即a2.所以函数y3ax1，即y6x1在0,1上单调递增，其最大值为y6115.故选C.答案：C12若关于x的方程2xa10有负根，则a的取值范围是_解析：因为2xa1有负根，所以x<0，所以0<2x<1.所以0<a1<1.所以1<a<2.答案：(1,2)13求函数yx3x2，x2,2的值域解析：yx3x22x3x2，令tx，则yt23t22.x2,2，tx4，当t时，ymin；当t4时，ymax6.函数yx3x2，x2,2的值域是，614若函数f(x)ax1(a>0，a1)的定义域和值域都是0,2，求实数a的值解析：当a>1时，f(x)在0,2上递增，即a.又a>1，a；当0<a<1时，f(x)在0,2上递减，即解得a.综上所述，实数a的值为.
