2019-2020学年高中数学人教A版必修4学案：1.1.2 弧度制 .doc

www.ks5u.com1.1.2弧度制考试标准课标要点学考要求高考要求弧度制的概念aa弧度与角度的互化bb知识导图学法指导1.熟练掌握弧度制的定义，可以从六十进制与十进制区别角度制与弧度制2由圆周角找出弧度制与角度制的联系，记住常见特殊角对应的弧度数3记忆扇形的面积公式时可将扇形看作三角形来记忆，S底高lR.1.度量角的两种制度角度制定义用度作为单位来度量角的单位制1度的角周角的为1度的角，记作1弧度制定义以弧度为单位来度量角的单位制1弧度的角长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度记作1 rad正确理解弧度与角度的概念区别(1)定义不同；(2)单位不同：弧度制以“ 弧度”为单位，角度制以“ 度”为单位联系(1)不管以“ 弧度”还是以“ 度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的值；(2)“ 弧度”与“角度”之间可以相互转化2弧度数的计算(1)正角：正角的弧度数是一个正数(2)负角：负角的弧度数是一个负数(3)零角：零角的弧度数是0.(4)如果半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，那么，角的弧度数的绝对值是|.3角度制与弧度制的换算角度化弧度弧度化角度3602_rad2 rad360180_rad rad1801 rad0.017 45 rad1 rad57.30度数弧度数弧度数度数角度制与弧度制换算公式的理解(1)弧度制、角度制都是角的度量制，它们之间可以进行换算(2)用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但量度相同(都是0)；用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，量度也不同4扇形的弧长和面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，(0<<2)为其圆心角，则(1)弧长公式：lR.(2)扇形面积公式：SlRR2.小试身手1判断下列命题是否正确. (正确的打“”，错误的打“”)(1)1弧度的角等于1度的角()(2)弧度的计算公式为.()(3)直角的弧度数为.()答案：(1)(2)(3)2下列各种说法中，错误的是()A“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B1的角是周角的，1 rad的角是周角的C根据弧度的定义，180的角一定等于 rad的角D利用弧度制度量角时，它与圆的半径长短有关解析：角的大小只与角的始边和终边的位置有关，而与圆的半径大小无关，故选D.答案：D3将864化为弧度为()A.B.C. D.解析：864864，故选C.答案：C4扇形圆心角为216，弧长为30，则扇形半径为_解析：216216，lrr30，r25.答案：25类型一角度与弧度的换算例1(1)将下列各角进行角度与弧度的互化(角度精确到0.01)：1，2，39，4855.(2)把下列各角化为2k(0<2，kZ)的形式：，315，.(3)在0720范围内，找出与终边相同的角【解析】(1)1180282.86；218015 330；399515.66；4855855.(2)4；315360452；2.(3)18072，终边与相同的角为72k360(kZ)当k0时，72；当k1时，432.故在0720范围内，与终边相同的角为72，432.(1)180 rad是进行“弧度”与“角度”换算的关键(2)表示成2k(0<2，kZ)的形式，调整k使角在0,2)内(3)把弧度换算成角度，写出终边相同的角的集合，调整k使角在0 720 内方法归纳进行角度制与弧度制的互化的原则和方法(1)原则：牢记180 rad，充分利用1rad和1 rad进行换算(2)方法：设一个角的弧度数为，角度数为n，则 rad；nn.提醒：(1)用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写(2)用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少的形式，如无特别要求，不必把写成小数(3)度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度跟踪训练1(1)将下列各角用弧度表示，并指出它们是第几象限角：1510，2750；(2)将下列各角用度表示，并在0360范围内找出与它们终边相同的角：1，2.解析：(1)1 rad，1510510，则12；2750750，则232，1是第二象限角，2是第四象限角(2)1144，设1k360144(kZ)01<360，0k360144<360(kZ)，k0.在0360内，与角1终边相同的角是144角；2330.设2k360330(kZ)02<360，0k360330<360(kZ)，k1.在0360内，与角2终边相同的角是30角角度与弧度的换算只要记住一个公式：.据此可推出n nrad，rad.类型二用弧度制表示角的集合例2已知角2 005.(1)将改写成2k(kZ,0<2)的形式，并指出是第几象限的角；(2)在5，0)内找出与终边相同的角【解析】(1)2 0052 005 rad rad52rad，又<<，角与终边相同，是第三象限的角(2)与终边相同的角为2k(kZ)，由52k<0，kZ知k1，2，3.在5，0)内与终边相同的角是，.(1)用弧度数表示与角终边相同的角连同角在内的集合为|2k，kZ(2)用弧度数表示区域角时，先把角度换算成弧度，再写出与区域角的终边相同的角的集合，最后用不等式表示出区域角的集合，对于能合并的应当合并方法归纳用弧度制表示终边相同的角2k(kZ)时，其中2k是的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用跟踪训练2用弧度表示终边落在如图(1)(2)所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合解析：对于题图(1)，225角的终边可以看作是135角的终边，化为弧度，即，60角的终边即的终边，所求集合为.对于题图(2)，同理可得，所求集合为2k<<2k，kZ2k<<2k，kZ.本题考查区域角的表示，关键是要确定好区域的起止边界.类型三与扇形弧长、面积相关的问题例3(1)若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角(0，)的弧度数为()A.B.C.D2(2)一个扇形OAB的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，求圆心角的弧度数和弦长AB.【解析】(1)设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为r，所以rr，所以.(2)设扇形的半径为r cm，弧长为l cm，则解得所以圆心角2.如图，过点O作OHAB于点H，则AOH1 rad.所以AH1sin 1sin 1(cm)，所以AB2sin 1(cm)，所以圆心角的弧度数为2，弦长AB为2sin 1 cm.【答案】(1)C(2)见解析(1)圆的半径r与圆的内接正三角形的边长a的关系是ar，再求.(2)设出扇形的弧长和半径，列出方程组求解方法归纳扇形的弧长和面积的求解策略(1)记公式：弧度制下扇形的面积公式是SlRR2(其中l是扇形的弧长，是扇形圆心角的弧度数，0<<2)(2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解跟踪训练3(1)已知扇形的圆心角为120，半径为 cm，则此扇形的面积为_ cm2；(2)已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数解析：(1)设扇形弧长为l，因为120120 rad(rad)，所以lR(cm)所以SlR(cm2)故填.(2)设扇形圆心角的弧度数为(0<<2)，弧长为l，半径为R，依题意有代入得R25R40，解之得R11，R24.当R1时，l8(cm)，此时，8 rad>2 rad舍去当R4时，l2(cm)，此时，(rad)综上可知，扇形圆心角的弧度数为rad.答案：(1)(2)见解析求扇形面积的关键是求出扇形的圆心角、半径、弧长这三个量中的任意两个量也可由扇形的面积结合其他条件，求扇形的圆心角、半径、弧长解题时要注意公式的灵活变形及方程思想的运用1.1.2基础巩固(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)11 920的角化为弧度数为()A. B.C. D.解析：1rad，1 9201 920rad rad.答案：D25弧度的角的终边所在的象限为()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：因为<5<2，所以5弧度的角的终边在第四象限答案：D3把表示成2k(kZ)的形式，使|最小的值是()A B2C D解析：22(1).答案：A4一个扇形的弧长与面积的数值都是6，则这个扇形的圆心角是()A1 B2C3 D4解析：设扇形的圆心角的弧度数为，半径为R，由题意，得，解得3，故选C.答案：C5圆弧长度等于其所在圆内接正三角形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为()A. B.C. D2解析：如图，设圆的半径为R，则圆的内接正三角形的边长为R，所以圆弧长度为R的圆心角的弧度数.答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6下列四个角：1,60，由大到小的排列为_解析：只需把60化成弧度数，因为6060，所以四个角为1，.所以60>1>.答案：60>1>7若三角形三内角之比为3：4：5，则三内角的弧度数分别是_解析：设三角形三内角弧度数分别为3k,4k,5k，则由3k4k5k，得k，所以3k，4k，5k.答案：，8弧长为3，圆心角为135的扇形的半径为_，面积为_解析：135，所以扇形的半径为4，面积为346.答案：46三、解答题(每小题10分，共20分)9将下列角度与弧度进行互化：(1)20；(2)15；(3)；(4).解析：(1)20.(2)15.(3)()(180)105.(4)()(180)396.10如图，扇形OAB的面积是4 cm2，它的周长是8 cm，求扇形的圆心角及弦AB的长解析：设扇形圆心角的弧度数为(0<<2)，弧长为l cm，半径为R cm，依题意有由得R2，l4，2.过O作OCAB，则OC平分BOA，又BOA2 rad，BOC1 rad，BCOBsin 12sin 1(cm)，AB2BC4sin 1(cm)故所求扇形的圆心角为2 rad，弦AB的长为4sin 1 cm.能力提升(20分钟，40分)11集合中的角所表示的范围(如图中阴影部分所示)是()解析：当k2m，mZ时，2m2m，mZ；当k2m1，mZ时，2m2m，mZ，故选C.答案：C12如果一扇形的弧长变为原来的倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的_解析：由于SlR，若ll，RR，则SlRlRS.答案：13已知800.(1)把改写成2k(kZ,0<2)的形式，并指出的终边在第几象限；(2)求角，使与的终边相同，且.解析：(1)8003360280，又280，(3)2，与的终边相同，角的终边在第四象限(2)与角终边相同的角可以表示为2k，kZ，又与的终边相同，.又，<2k<，易知当且仅当k1时，不等式成立，2.14已知一扇形的圆心角为(>0)，所在圆的半径为R.(1)若60，R10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；(2)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？解析：(1)设弧长为l，弓形面积为S，则60，R10 cm，l10(cm)，SS扇S10102cm2.(2)设扇形的弧长为l，则l2R20，即l202R(0<R<10)，扇形的面积SlR(202R)RR210R(R5)225.当R5 cm时，S有最大值25 cm2，此时l10 cm，2 rad.因此，当2 rad时，这个扇形的面积最大