2020版《微点教程》高考人教A版理科数学一轮复习文档：第六章 第三节　二元一次不等式（组）与简单的线性规划 .docx

三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划2019考纲考题考情1二元一次不等式(组)表示的平面区域2.线性规划中的有关概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由x，y的一次不等式组成的不等式(组)目标函数关于x，y的函数解析式，如zx2y线性目标函数关于x，y的一次解析式续表名称意义可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题3.确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法确定二元一次不等式(组)表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法。(1)直线定界，不等式含等号，直线在区域内，不含等号，直线不在区域内。(2)特殊点定域，在直线上方(下方)取一点，代入不等式成立，则区域就为上方(下方)，否则就是下方(上方)。特别地，当C0时，常把原点作为测试点；当C0时，常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点。在通过求直线zaxby(b0)的截距的最值间接求出z的最值时，要注意：当b>0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；当b<0时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值。 一、走进教材1(必修5P86练习T3改编)不等式组表示的平面区域是()A BC D解析x3y60表示直线x3y60及其右下方部分，xy2<0表示直线xy20左上方部分，故不等式表示的平面区域为选项B。答案B2(必修5P91练习T1(1)改编)已知x，y满足约束条件则z2xy1的最大值、最小值分别是()A3，3B2，4C4，2D4，4解析不等式组所表示的平面区域如图所示，其中A(1，1)，B(2，1)，C，画直线l0：y2x，平移l0过点B时，zmax4，平移l0过点A时，zmin2。故选C。答案C二、走近高考3(2018全国卷)若x，y满足约束条件则z3x2y的最大值为_。解析作出可行域为如图所示的ABC所表示的阴影区域，作出直线3x2y0，并平移该直线，当直线过点A(2,0)时，目标函数z3x2y取得最大值，且zmax32206。答案64(2018北京高考)若x，y满足x1y2x，则2yx的最小值是_。解析作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，令z2yx，作出直线2yx0，平移该直线，当直线过点A(1,2)时，2yx取得最小值，最小值为2213。答案3三、走出误区微提醒：不会用代点法判断平面区域；不明确目标函数的最值与等值线截距的关系；不理解目标函数的几何意义。5下列命题中正确的是()A点(0,1)在区域xy1>0内B点(0,0)在区域xy1<0内C点(1,0)在区域y2x内D点(0,0)在区域xy0内解析将(0,0)代入xy0，成立。故选D。答案D6已知变量x，y满足约束条件则zxy的最大值为_。解析画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作直线xy0，平移直线经过点A(1,0)时，目标函数zxy取得最大值，最大值为1。答案17已知x，y满足条件则z的最大值为_。解析作出可行域如图，问题转化为区域上哪一点与点M(3,1)连线斜率最大，观察知点A，使kMA最大，zmaxkMA3。答案3考点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域【例1】(1)(2019泰安模拟)不等式组所表示的平面区域的面积为()A1 B C.D.(2)(2018北京高考)设集合A(x，y)|xy1，axy>4，xay2，则()A对任意实数a，(2,1)AB对任意实数a，(2,1)AC当且仅当a<0时，(2,1)AD当且仅当a时，(2,1)A解析(1)作出不等式组对应的区域如图中阴影部分所示，由题意知xB1，xC2。由得yA，所以SABC(xCxB)|yA|。故选D。(2)当a1时，集合A(x，y)|xy1，axy>4，xay2(x，y)|xy1，xy>4，xy2，显然(2,1)不满足xy>4，xy2，所以A不正确；当a4时集合A(x，y)|xy1,4xy>4，x4y2，显然(2,1)都满足上述三个不等式，在可行域内，所以B不正确；当a1时，集合A(x，y)|xy1，xy>4，xy2，显然(2,1)不满足xy>4，所以(2,1)A，所以C不正确。故选D。答案(1)D(2)D解决求平面区域面积问题的方法步骤1画出不等式组表示的平面区域。2判断平面区域的形状，并求得直线的交点坐标、图形的边长、相关线段的长(三角形的高、四边形的高)等，若为规则图形则利用图形的面积公式求解；若为不规则图形则利用割补法求解。提醒：求面积时应考虑圆、平行四边形等图形的对称性。 【变式训练】已知不等式组表示的平面区域的面积等于3，则a的值为_。解析由题可推出a>0，依据不等式组画出可行域如图中阴影部分所示，由图可知其表示的平面区域为ABC，所以S2|AC|3，所以|AC|3，即C(2,3)，又点C在直线axy20上，得a。答案考点二 求目标函数的最值微点小专题方向1：求线性目标函数的最值【例2】(2018全国卷)若x，y满足约束条件则zxy的最大值为_。解析画出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示。作出直线xy0，平移该直线，当直线过点A(5,4)时，z取得最大值，zmax549。答案9求目标函数zaxby的最大值或最小值，先准确作出可行域，令目标函数z0，将直线axby0平行移动，借助目标函数的几何意义求目标函数的最值。 方向2：求非线性目标函数问题的最值【例3】已知x，y满足约束条件则z的取值范围是_。解析画出满足条件的平面区域，如图所示：由解得A(1,2)，由解得B(3，1)，而z1，而的几何意义表示过平面区域内的点与C(1，1)的直线的斜率，显然直线AC斜率最大，直线BC斜率最小，kAC，kBC，所以z的最大值是1，最小值为1。答案目标函数不是直线形式时，此类问题常考虑目标函数的几何意义，常见代数式的几何意义主要有：1.表示点(x，y)与原点(0,0)间的距离，表示点(x，y)与点(a，b)间的距离；2.表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率，表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率。 方向3：含参数的线性规划问题【例4】变量x，y满足约束条件若z2xy的最大值为2，则实数m等于()A2 B1 C1 D2解析对于选项A，当m2时，可行域如图，直线y2xz的截距可以无限小，z不存在最大值，不符合题意，故A项错误；对于选项B，当m1时，mxy0等同于xy0，可行域如图，直线y2xz的截距可以无限小，z不存在最大值，不符合题意，故B项错误；对于选项C，当m1时，可行域如图，当直线y2xz过点A(2,2)时截距最小，z最大为2，满足题意，故C项正确；对于选项D，当m2时，可行域如图，直线y2xz与直线OB平行，截距最小值为0，z最大为0，不符合题意，故D项错误。故选C。答案C由目标函数的最值求参数。求解线性规划中含参数问题的基本方法有两种：一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围；二是先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数。 【题点对应练】1(方向1)若x，y满足约束条件则zx3y的最小值是_，最大值是_。解析由题可得，该约束条件表示的平面区域是以(2,2)，(1,1)，(4，2)为顶点的三角形及其内部区域(图略)。由线性规划的知识可知，目标函数zx3y在点(2,2)处取得最大值，在点(4，2)处取得最小值，则最小值zmin462，最大值zmax268。答案282(方向2)若x，y满足约束条件则zx22xy2的最小值为()A B C D解析画出约束条件对应的平面区域，如图中阴影部分所示，zx22xy2(x1)2y21，其几何意义是平面区域内的点(x，y)到定点(1,0)的距离的平方再减去1，观察图形可得，平面区域内的点到定点(1，0)的距离的最小值为，故zx22xy2的最小值为zmin1。故选D。答案D3(方向3)已知实数x，y满足约束条件若z2xy的最小值为3，则实数b()AB C1D.解析作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分所示。由z2xy得y2xz，平移直线y2x，由图可知当直线y2xz经过点A时，直线y2xz的截距最小，此时z最小，为3，即2xy3。由解得即A，又点A也在直线yxb上，即b，所以b。故选A。答案A考点三 线性规划的实际应用【例5】(2017天津高考)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告。已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：连续剧播放时长(分钟)广告播放时长(分钟)收视人次(万)甲70560乙60525已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍。分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数。(1)用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？解(1)由已知，x，y满足即该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中的阴影部分边界及内部整点：(2)设总收视人次为z万，则目标函数为z60x25y。考虑z60x25y，将它变形为yx，这是斜率为，随z变化的一组平行直线。为直线在y轴上的截距，当取得最大值时，z的值最大。又因为x，y满足约束条件，所以由图可知，当直线z60x25y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大。解方程组得点M的坐标为(6,3)。所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多。利用线性规划解决实际问题的一般步骤1审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制条件，借助表格或图形理清变量之间的关系。2设元：设问题中起关键作用的(或关联较多的)量为未知量x，y，并列出相应的不等式组和目标函数。3作图：准确作出可行域，平移找点(最优解)。4求解：代入目标函数求解(最大值或最小值)。5检验：根据结果，检验反馈。 【变式训练】某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克。每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元。公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A，B原料都不超过12千克。通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是()A1 800元B2 400元C2 800元D3 100元解析设该公司生产甲产品x桶，生产乙产品y桶，获利为z元，则x，y满足的线性约束条件为目标函数z300x400y。作出可行域，如图中四边形OABC的边界及其内部整点。作直线l0：3x4y0，平移直线l0经可行域内点B时，z取最大值，由得B(4,4)，满足题意，所以zmax430044002 800(元)。故选C。答案C1(配合例1使用)不等式组的解集记为D。有下面四个命题：p1：(x，y)D，x2y2；p2：(x，y)D，x2y3；p3：(x，y)D，x2y；p4：(x，y)D，x2y2。其中的真命题是()Ap2，p3Bp1，p4Cp1，p2Dp1，p3解析不等式组表示的可行域为如图所示的阴影部分，由解得所以M。由图可知，当直线zx2y过点M处时，z取得最小值，且zmin2，所以真命题是p2，p3。故选A。答案A2(配合例3使用)已知实数x，y满足则的最小值为_。解析不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，表示可行域内的点(x，y)与原点连线的斜率，设k，由可行域可知k取得最小值时曲线yx4与直线ykx相切，设此时切点为P(x0，y0)(x0>0)，由yx4可得yx3，所以切线方程为yy0x(xx0)，又y0x，所以切线方程可化为yxxxx，即yxxx，又该切线过原点O(0,0)，所以有x1，所以x01，切线的斜率为x，则min。答案3(配合例4使用)若实数x，y满足使zaxy取得最大值的最优解有两个，则maxy1的最小值为()A0B2C1D1解析如图所示，画出不等式组所表示的区域。因为zaxy取得最大值的最优解有两个，所以a1，即a1，所以当x1，y0或x0，y1时，zaxyxy有最小值1，所以axy1的最小值是0。故选A。答案A