2020版《微点教程》高考人教A版理科数学一轮复习文档：第四章 第四节　数系的扩充与复数的引入 .docx

第四节数系的扩充与复数的引入2019考纲考题考情1复数的有关概念(1)复数的概念：形如abi(a，bR)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部。若b0，则abi为实数；若b0，则abi为虚数；若a0且b0，则abi为纯虚数。(2)复数相等：abicdiac且bd(a，b，c，dR)。(3)共轭复数：abi与cdi共轭ac，bd(a，b，c，dR)。(4)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面。x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数。(5)复数的模：向量的模r叫做复数zabi(a，bR)的模，记作|z|或|abi|，即|z|abi|。2复数的几何意义(1)复数zabi复平面内的点Z(a，b)(a，bR)。(2)复数zabi平面向量(a，bR)。3复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)则：加法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i。减法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i。乘法：z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i。除法：(cdi0)。(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3C，有z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3)。1复数abi(a，bR)数系表复数2i的乘方具有周期性in(kZ)。3复数的模与共轭复数的关系：z|z|2|2。 一、走进教材1(选修22P106A组T2改编)若复数(a23a2)(a1)i是纯虚数，则实数a的值为()A1B2C1或2D1解析依题意，有解得a2。故选B。答案B2(选修22P112A组T5(3)改编)复数2的共轭复数是()A2iB2iC34iD34i解析22(2i)234i，所以其共轭复数是34i。故选C。答案C二、走近高考3(2018全国卷)()AiBiCiDi解析因为i。故选D。答案D4(2018全国卷)(1i)(2i)()A3iB3iC3iD3i解析(1i)(2i)2i2ii23i。答案D三、走出误区微提醒：复数的几何意义不清致误；复数的运算方法不当致使出错；z与的不清致误。5在复平面内，复数65i，23i对应的点分别为A，B。若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()A48iB82iC24iD4i解析因为A(6,5)，B(2,3)，所以线段AB的中点C(2,4)，则点C对应的复数为z24i。故选C。答案C6若a为实数，且3i，则a()A4B3C3D4解析由3i，得2ai(3i)(1i)24i，即ai4i，因为a为实数，所以a4。故选D。答案D7已知(12i)43i，则z_。解析因为2i，所以z2i。答案2i考点一 复数的有关概念【例1】(1)(2019河北衡水中学模拟)已知i为虚数单位，a为实数，复数z满足z3iaai，若复数z是纯虚数，则()Aa3Ba0Ca0Da<0(2)(2019山东枣庄模拟)设复数z(其中i为虚数单位)，则复数z的实部为_，虚部为_。解析(1)由z3iaai，得za(a3)i，又因为复数z是纯虚数，所以解得a0。故选B。(2)z2i，所以复数z的实部为2，虚部为1。答案(1)B(2)21复数的分类、复数相等、复数的模、共轭复数的概念都与复数的实部和虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即abi(a，bR)的形式，再根据题意列方程(组)求解。 【变式训练】(1)已知复数z1i，则下列说法中正确说法的个数为()|z|；1i；z的虚部为i；z在复平面上对应的点在第一象限。A1B2 C3D4(2)复数z的共轭复数是()A14iB14iC14iD14i(3)若复数(1ai)22i(i为虚数单位)是纯虚数，则实数a()A0B1 C1D1解析(1)因为复数z1i，所以|z|，1i，z的虚部为1，z在复平面上对应的点(1,1)在第一象限，即中的说法正确，中的说法错误。故选C。(2)z14i，所以复数z的共轭复数是14i。故选A。(3)(1ai)22i1a22ai2i，因为(1ai)22i是纯虚数，所以即a1。故选D。答案(1)C(2)A(3)D考点二 复数的几何意义【例2】(1)复数z(i为虚数单位)，z在复平面内所对应的点在()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限(2)设复数z(x1)yi(x，yR)，若|z|1，则yx的概率为()ABC.D.解析(1)因为zi，所以z在复平面内所对应的点在第一象限。故选A。(2)由|z|1知复数z在复平面内对应的点构成的区域是以(1,0)为圆心，1为半径的圆及其内部，如图中阴影部分表示在圆内(包括边界)且满足yx的区域，该区域的面积为11，故满足yx的概率为。故选D。答案(1)A(2)D1复数z、复平面上的点Z及向量一一对应，即zabi(a，bR)Z(a，b)。2由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观。 【变式训练】(1)如图，若向量对应的复数为z，则z表示的复数为()A13iB3iC3iD3i(2)已知复数zxyi(x，yR，x0)且|z2|，则的取值范围是_。解析(1)由题图可得Z(1，1)，即z1i，所以z1i1i1i1i22i3i。故选D。(2)因为|z2|x2yi|，|z2|，所以(x2)2y23。设k，则ykx。联立化简为(1k2)x24x10。因为直线ykx与圆有公共点，所以164(1k2)0，解得k，所以的取值范围为，。答案(1)D(2)，考点三 复数的运算【例3】(1)(2018全国卷)设z2i，则|z|()A0B C1D.(2)(2018天津高考)i是虚数单位，复数_。(3)(2018江苏高考)若复数z满足iz12i，其中i是虚数单位，则z的实部为_。解析(1)因为z2i2i2ii，所以|z|1。故选C。解析：因为z2i，所以|z|1，故选C。(2)4i。(3)复数z(12i)(i)2i的实部是2。答案(1)C(2)4i(3)21复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算。2复数除法运算的关键是分子、分母同乘分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式。 【变式训练】(1)若复数z满足(2i)z|12i|，则z的虚部为()ABi C1Di(2)(2019昆明质检)设复数z满足1i，则z()A1iB1iC1iD1i(3)已知复数z，则复数z在复平面内对应点的坐标为_。解析(1)由题意可知zi，故其虚部为。故选A。(2)由题意得z1i。(3)因为i4n1i4n2i4n3i4n4ii2i3i40，而201845042，所以zi，对应的点为(0,1)。答案(1)A(2)C(3)(0,1)