2019-2020学年高中数学人教A版必修2作业与测评：学期综合测评（一） .doc

www.ks5u.com必修2学期综合测评(一) 对应学生用书P103本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟第卷(选择题，共60分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1已知两直线yax2和y(a2)x1互相垂直，则a等于()A2 B1 C0 D1答案D解析由题知(a2)a1a22a1(a1)20，a1，也可以代入检验2圆x2y22x4y0的圆心坐标和半径分别是()A(1，2)，5 B(1，2)，C(1，2)，5 D(1，2)，答案D解析圆的方程化为标准方程为(x1)2(y2)25，其圆心是(1，2)，半径为3已知直线l的方程为2x5y100，且在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则|ab|()A3 B7 C10 D5答案A解析因为直线l的方程为2x5y100，所以令y0，得x5，即a5，令x0，得y2，即b2，所以|ab|52|34某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，最大侧面的面积为()A B C D答案C解析由三视图，知该几何体的直观图如图所示平面AED平面BCDE，四棱锥ABCDE的高为1四边形BCDE是边长为1的正方形，则SAED11，SABCSABE1，SACD1，故选C5某建筑物的上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m，5 m，10 m，四棱锥的高为8 m，若按1500的比例用斜二测画法画出建筑物的直观图，那么在直观图中，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为()A4 cm，1 cm，2 cm，16 cmB4 cm，05 cm，2 cm，08 cmC4 cm，05 cm，2 cm，16 cmD2 cm，05 cm，1 cm，08 cm答案C解析由比例尺，可知长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为4 cm，1 cm，2 cm，16 cm，再结合斜二测画法，则在直观图中，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为4 cm，05 cm，2 cm，16 cm6直线l：ykx1与曲线不相交，则k的取值是()A或3 B C3 D答案A解析曲线表示直线x2y30(去掉点(1，2)，则直线l：ykx1与曲线不相交，即直线l与x2y30平行或直线l过点(1，2)，所以k的取值为或37如图，三棱台ABCABC中，ABAB12，则三棱锥AABC，BABC，CABC的体积之比为()A111B112C124D144答案C解析设棱台的高为h，SABCS，则SABC4S所以VAABCSABChSh，VCABCSABChSh，又V台h(S4S2S)Sh，而VBABCV台VCABCVAABCSh，所以VAABCVBABCVCABC1248直线2xy0与y轴的交点为P，点P把圆(x1)2y225的直径分为两段，这两段长度之比为()A或 B或C或 D或答案A解析数形结合法：点P的坐标是(0，)，圆心坐标为C(1，0)，半径长为5因为|PC|2<5，所以点P在圆内设点P在直径AB上，则|PA|523，|PB|527所以分成的两线段之比为或故选A9如图，三棱锥VABC中，VO平面ABC，OCD，VAVB，ADBD，则下列结论中不一定成立的是()AACBCBVCVDCABVCDSVCDABSABCVO答案B解析因为VAVB，ADBD，所以VDAB因为VO平面ABC，AB平面ABC，所以VOAB又VOVDV，所以AB平面VCD又CD平面VCD ，VC平面VCD，所以ABVC ，ABCD又ADBD，所以ACBC(线段垂直平分线的性质)因为VO平面ABC，所以VVABCSABCVO因为AB平面VCD，所以VVABCVBVCDVAVCDSVCDBDSVCDADSVCD(BDAD)SVCDAB，所以SABCVOSVCDAB，即SVCDABSABCVO综上知，A，C，D正确10如右图，定圆半径为a，圆心为(b，c)，则直线axbyc0与直线xy10的交点在()A第四象限B第三象限C第二象限D第一象限答案B解析解方程组得观察题设中圆的位置，可知a>0，b<0，c>0，且ab<0，bc<0，ac>0，所以x<0，y<011在正三棱柱ABCA1B1C1中，若AB2，AA11，则点A到平面A1BC的距离为()A B C D答案B解析因为ABCA1B1C1是正三棱柱，AB2，所以底面三角形ABC的面积为，所以VA1ABC1如图，在A1BC中，A1BA1C，所以BC的中点M到A1的距离为2，所以SA1BC222设点A到平面A1BC的距离为h，所以SA1BChVA1ABC，解得h12若圆C：x2y22x4y30关于直线2axby60对称，则由点(a，b)所作的圆的切线长的最小值是()A2 B3 C4 D6答案C解析将圆C：x2y22x4y30化为标准方程为(x1)2(y2)22，圆心C(1，2)，半径r圆C关于直线2axby60对称，直线2axby60过圆心，将x1，y2代入直线方程得2a2b60，即ab3点(a，b)与圆心的距离d，由点(a，b)向圆C所作切线长l 4，当且仅当b1时切线长最小，最小值为4第卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13如图，已知平面平面，l，Al，Bl，AC，BD，ACl，BDl，且AB4，AC3，BD12，则CD_答案13解析连接BC(图略)，因为ACl，AC3，AB4，所以BC5因为BDl，l，BD，所以BD又BC，所以BDBC在RtBDC中，CD1314四边形ABCD中，A(0，0)，B(1，0)，C(2，1)，D(0，3)，若四边形ABCD绕y轴旋转一周，则所得旋转体的体积为_答案5解析如右图所示，V圆锥r2h1222，V圆台h2(r2R2Rr)1(221221)，VV圆锥V圆台515在ABC中，高AD与高BE所在直线的方程分别是x5y30和xy10，AB边所在直线的方程是x3y10，则ABC的顶点坐标分别是A_；B_；C_答案(2，1)(1，0)(2，5)解析高AD与边AB所在直线的交点即为顶点A，联立得A(2，1)高BE与边AB所在直线的交点即为顶点B，联立得B(1，0)因为直线AC过点A，且与直线BE垂直，所以直线AC的方程为y1x2，即yx3，同理，直线BC的方程为y5(x1)，联立两直线方程得C(2，5)16如图，正三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于点G，已知AED是AED绕DE翻折过程中的一个图形，现给出下列四个命题：动点A在平面ABC上的射影在线段AF上；恒有平面AGF平面BCED；三棱锥AFED的体积有最大值；直线AE与BD不可能垂直其中正确命题的序号是_答案解析对于命题，由题意，知AGDE，FGDE，AGFGG，故DE平面AFG又DE平面ABC，所以平面AFG平面ABC，故该命题正确；对于命题，由可知正确；对于命题，当AG平面ABC时，三棱锥AFED的体积有最大值，故命题正确；对于命题，当AE在平面ABC上的射影与直线BD垂直时，易证AE与BD垂直，故该命题不正确三、解答题(本大题共6小题，共70分)17(本小题满分10分)已知直线l：kxy12k0(kR)(1)证明：直线l过定点；(2)若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，且|OA|OB|，求k的值解(1)证法一：直线l的方程可化为y1k(x2)，故无论k取何值，直线l总过定点(2，1)证法二：设直线过定点(x0，y0)，则kx0y012k0对任意kR恒成立，即(x02)ky010恒成立，所以解得x02，y01，故直线l总过定点(2，1)(2)因直线l的方程为ykx2k1，则直线l在y轴上的截距为12k，在x轴上的截距为2，依题意12k2>0，解得k1或k(经检验，不符合题意)，所以所求k118(本小题满分12分)如图所示是一个长方体截去一个角得到的几何体的直观图及正视图和侧视图(单位：cm)(1)画出该多面体的俯视图，并标上相应的数据；(2)按照给出的数据，求该几何体的体积解(1)该几何体的俯视图如图所示(2)该几何体的体积VV长方体V三棱锥446222(cm3)19(本小题满分12分)已知动点M到点A(2，0)的距离是它到点B(8，0)的距离的一半，求：(1)动点M的轨迹方程；(2)若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹解(1)设动点M(x，y)为轨迹上任意一点，则点M的轨迹就是集合P由两点间距离公式，点M适合的条件可表示为 平方后再整理，得x2y216可以验证，这就是动点M的轨迹方程(2)设动点N的坐标为(x，y)，M的坐标是(x1，y1)由于A(2，0)，且N为线段AM的中点，所以x，y所以有x12x2，y12y由(1)知，M是圆x2y216上的点，所以M的坐标(x1，y1)满足xy16将代入整理，得(x1)2y24所以N的轨迹是以(1，0)为圆心，2为半径的圆20(本小题满分12分)如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABC60，PAABBC，ACCD，E，F分别是PC，AC的中点证明：(1)BF平面PCD；(2)AE平面PCD证明(1)因为ABC60，ABBC，所以ABC为等边三角形又F是AC的中点，所以BFAC又CDAC，且BF，CD，AC都在平面ABCD内，所以BFCD因为CD平面PCD，BF平面PCD，所以BF平面PCD(2)由(1)知，ABC为等边三角形，且PAAB，所以PAAC又E为PC的中点，所以AEPC因为PA底面ABCD，CD平面ABCD，所以PACD又CDAC，PAACA，所以CD平面PAC又AE平面PAC，所以CDAE又PCCDC，所以AE平面PCD21(本小题满分12分)如图，圆锥SO中，AB，CD为底面圆的两条直径，ABCDO，且ABCD，SOOB2，P为SB的中点(1)求证：SA平面PCD；(2)求圆锥SO的表面积；(3)求异面直线SA与PD所成角的正切值解(1)证明：连接PO，P，O分别为SB，AB的中点，POSA，PO平面PCD，SA平面PCD，SA平面PCD(2)圆锥的底面半径r2，母线长lSB2，S底面r24，S侧面lr4，S圆锥表面S底面S侧面4(1)(3)POSA，DPO为异面直线SA与PD所成的角或其补角，ABCD，SOCD，ABSOO，CD平面SOBPO平面SOB，ODPO，在RtDOP中，OD2，OPSASB，tanDPO异面直线SA与PD所成角的正切值为22(本小题满分12分)已知圆O：x2y24，点P是直线l：x4上的动点(1)若从点P到圆O的切线长为2，求点P的坐标以及两条切线所夹的劣弧长；(2)若点A(2，0)，B(2，0)，直线PA，PB与圆O的另一交点分别为M，N，求证：直线MN经过定点Q(1，0)解(1)依题意，设P(4，t)设两切点分别为C，D，则OCPC，ODPD由题意可知|PO|2|OC|2|PC|2，即42t222(2)2，解得t0，所以点P的坐标为(4，0)在RtPOC中，可求得POC60，所以DOC120，所以所求两条切线所夹的劣弧长为22(2)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)依题意，可得直线PA的方程为y(x2)，由得(t236)x24t2x4t21440因为直线PA经过点A(2，0)，M(x1，y1)，所以2，x1是上述方程的两个根，则2x1，即x1，代入直线方程y(x2)，得y12同理，可得直线PB的方程为y(x2)由得(t24)x24t2x4t2160因为直线PB经过点B(2，0)，N(x2，y2)，所以2，x2是上述方程的两个根，则2x2，即x2，代入直线方程y(x2)，得y22若x11，则t212，此时x21，显然M，N在直线x1上，所以直线MN经过定点Q(1，0)若x11，则t212，x21，由kMQ，kNQ，可知kMQkNQ，所以M，Q，N三点共线，即直线MN经过定点Q(1，0)综上所述，直线MN经过定点Q(1，0)必修2学期综合测评(二)