一道2010年江苏高考题的推广.doc

一道2010年江苏高考题的推广张元方（四川省宜宾市商职校 644000）2010年江苏高考题第18题为：在平面直角坐标系中，已知椭圆的左,右顶点为，右焦点为.设过点的直线与此椭圆分别交于点，其中.（1） 略；（2） 略；（3） 设，求证：直线必过轴上的一定点（其坐标与无关）.经笔者研究发现以上第（3）问的结论可以推广到一般的圆锥曲线.本文将给出如下推广结论（ 以下皆为任意常数）.结论1如图1，已知椭圆的左,右顶点为.设是直线上任一点，过点的直线与此椭圆分别交于点，则直线必过轴上的定点.证明 当时，易知直线过轴上的定点，即.当时，由题设知，直线的方程为，直线的方程为.点满足，代入得，即，因为，则，整理得，从而得，即，同理可得.又由两点式得直线的方程为，令，得直线与轴的交点横坐标为.将的坐标分别代入得.即直线必过轴上的定点.所以结论1成立.结论2如图2，已知双曲线的左,右顶点为.设是直线上任一点，过点的直线与此双曲线分别交于点，则直线必过轴上的定点.证明 当时，易知直线过轴上的定点，即.当时，由题设知，直线的方程为，直线的方程为.点满足，代入得，即，因为，则，整理得，从而得，即，同理可得.又由两点式得直线的方程为，令，得直线与轴的交点横坐标为.将的坐标分别代入得.即直线必过轴上的定点.所以结论2成立.结论3如图3，已知抛物线的顶点为.设是直线上任一点，过点的直线与此抛物线交于点，平行于轴，与此抛物线交于点，则直线必过轴上的定点.证明 当时，易知直线过轴上的定点，即.当时，直线的方程为，的方程为.的坐标满足，得，因为，则，从而，即，容易知道，将的坐标代入得.即直线必过轴上的定点.所以结论3成立.特别地，当结论1,2，3中的直线分别是椭圆，双曲线，抛物线的准线时，我们得到如下特殊情况：结论4已知椭圆的左,右顶点为.设是右准线（或左准线）上任一点，过点的直线与此椭圆分别交于点，则直线必过右焦点(或左焦点).结论5已知双曲线的左,右顶点为.设是右准线（或左准线）上任一点，过点的直线与此双曲线分别交于点，则直线必过右焦点(或左焦点).结论6已知抛物线的顶点为.设是准线上任一点，过点的直线与此抛物线交于点，平行于轴，与此抛物线交于点，则直线必过焦点.作者简介：本人张元方，男，74年9月出生，98年毕业于重庆师范大学数学系，现在四川省宜宾市商职校从事数学教学，中学一级教师。通讯地址：四川省宜宾市翠屏区南岸长江大道中段20号区社保局 张妍收 邮编：644000联系电话：13778932060 Email：zyf780206