2022年轴对称图形基本念 .pdf

轴对称图形基本念精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页2 作者：日期：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页3 【本讲教育信息 】一、 教学内容：1. 基本概念：轴对称、轴对称图形，线段的垂直平分线。2. 轴对称的性质。3. 线段的垂直平分线的性质及判定4. 尺规作图：轴对称图形的作法；作线段的垂直平分线5. 关于坐标轴对称的点的坐标特点。二、 知识要点：1. 基本概念（1）轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。（2）轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。（3）轴对称和轴对称图形的区别和联系：区别：轴对称图形说的是一个具有特殊形状的图形；轴对称说的是两个图形的一种特殊位置关系。轴对称是对两个图形说的，而轴对称图形是对一个图形说的。联系： 都沿某条直线对折，图形重合。如把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；反过来，把轴对称图形的两部分分别看作两个图形，那么这两个图形成轴对称。（4）线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。2. 轴对称的性质：（1）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。（2）关于某条直线成轴对称的两个图形是全等图形。轴对称图形的性质： （轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页4 3. 线段的垂直平分线的性质及判定（1）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。如图，若 PC是线段 AB的垂直平分线（ AC BC ，PC AB ），则 PA PB （2）与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。如图，若 PA PB ，则点 P在线段 AB的垂直平分线上。4. 尺规作图（1）如何作轴对称图形几何图形都可以看作由点组成， 我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形；对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形。所以作轴对称图形的关键是作点关于直线的对称点（2）作线段的垂直平分线 分别以点 A、B为圆心，以大于 AB的长为半径作弧， 两弧交于 C 、D两点， 作直线 CD 。CD就是线段 AB的垂直平分线。5. 关于坐标轴对称的点的坐标特点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页5 点（x，y）关于 x 轴对称的点的坐标为（ _，_）；点（x，y）关于 y 轴对称的点的坐标为（ _，_）。三、 重点难点：1. 重点：轴对称图形的性质；线段垂直平分线的性质及判定；关于坐标轴对称的点的坐标特点。2. 难点：轴对称图形以及关于坐标轴对称的点的坐标特点。【考点分析】中考对本节内容考查的热点有轴对称图形的概念和性质，以及用轴对称、平移等知识设计图案。试题的难度较小，以基础题为主，题型以填空题、选择题为主，也有简单的作图题。【典型例题】例 1.如图是由两个等边三角形组成的图形， 它是轴对称图形吗？如果不是，请移动其中一个三角形，使它与另一个三角形一起组成轴对称图形，有几种移法？（至少画四种，相同类型的算一种），怎样移动才能使所构成的图形具有尽可能多的对称轴？分析： 每个等边三角形都是轴对称图形，都有三条对称轴。要使两个等边三角形组合的图形仍是轴对称图形，则它们至少有一条对称轴重合， 要使组合后的图形的对称轴尽可能多，则要让这两个等边三角形的三条对称轴都重合。解：不是。 有以下几种移动方法（如图所示），其中，第3 个图的对称轴最多。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页6 评析：看似没有规律的题目，其实往往蕴含着规律，我们要善于发现其中的内在规律，这样解题才不盲目。例 2. 如图所示， C是线段 AB的垂直平分线上的一点，垂足为D，则下列结论中正确的有（）AD BD ；AC BC ；AB；ACD BCD ；ADC BDC 90 A. 2 个 B. 3个 C. 4个 D. 5个分析：由垂直平分线的定义可以直接得出和；由垂直平分线的性质可得出；由 ADC BDC 可得到和。解：D 评析：掌握线段垂直平分线的性质，能提供线段相等的思路，用于证明全等等其它问题。例 3. 写出下列各点关于x 轴和 y 轴对称的点的坐标。（2，3），（ 1，2），（ 2，4），（ 0，2）。分析：求已知点关于坐标轴的对称点时，要用关于坐标轴对称的点的横、纵坐标规律。解：（2，3），（1，2），（ 2，4），（0，2）关于 x 轴对称的点的坐标分别为（ 2，3），（ 1，2），（ 2，4），（ 0，2）；关于 y 轴对称的点的坐标分别为（2，3），（ 1，2），（ 2，4），（ 0，2）。评析：点关于 x 轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数； 点关于 y 轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变。例 4. （2007 年烟台）生活中，有人喜欢把传送的便条折成形状，折叠过程是这样的（阴影部分表示纸条的反面）：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页7 如果由信纸折成的长方形纸条（图）长为26cm，宽为xcm，分别回答下列问题：（1）为了保证能折成图的形状（即纸条两端均超出点P），试求 x 的取值范围。（2）如果不但要折成图的形状，而且为了美观，希望纸条两端超出点P的长度相等， 即最终图形是轴对称图形， 试求在开始折叠时起点M与点 A的距离（用 x 表示）。分析：由折叠的意义可知每次折叠后重合的部分是一个正方形，最后两端交叉处重叠了两个正方形， 也就是说在这次折叠中总计有五个正方形，而每个正方形的边长是长方形纸条的宽xcm ，那么由长方形的总长可得05x26，即得 x的取值范围。对于第二小题根据图形得AP BM 265x，而 AM AP PM ，PMx。解：（1）由折纸过程知： 05x26，0 x。（2）图是轴对称图形，AM x13x，即点 M与点 A的距离是（ 13x）cm 。评析：图形的折叠问题是要弄清折叠后有哪些条件可用，并利用好折叠后图形的轴对称性与三角形全等等一些重要性质，本题中的折纸关键是要注意到所折角度应为 45，由到时长方形的长至少不少于宽的5 倍。例 5. 如图所示，已知线段AB ，画出线段 AB关于直线l的对称图形。分析：如果图形是由直线、 射线或线段组成时， 只要画出图形中的特殊点 （如线段的端点、角的顶点等）的对称点，然后连结对称点，就可以画出对称图形。解：（1）画出点 A关于直线 l 的对称点 A；（2）画出点 B关于直线 l 的对称点 B ：（3）连结 AB ，则线段 AB 即为所求。评析：画已知图形关于某直线的对称图形：对称轴是对应点连线的垂直平分线，若对应线段或延长线相交，则交点一定在对称轴上。例 6. 要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水（如图）。修在河边什么地方，可使所用水管最短？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页8 分析：在河岸l上找一点 C，使 AC BC最短，利用轴对称把 A点或 B点变换到 l 的另一侧，而不改变路径的总长度，从而利用“两点之间，线段最短”使问题得到解决。解：设张村为点 A，李庄为点 B，张村和李庄这一侧的河岸为直线l 。（1）作点 B关于直线 l 的对称点，（2）连结，交直线 l 于点 C，点 C就是所求的水泵站的位置。（如图所示）评析： 此类最小值问题解决的方法是：作出其中某一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点的连线的交点，即是所求作的点。依据是利用垂直平分线性质转移线段，利用两点之间线段最短得最短距离。【方法总结】本节从生活中的图形入手，学习图形的对称及其基本性质，欣赏、体验对称在现实生活中的广泛应用。在此基础上，利用对称探索几何图形的性质，培养空间理解能力。在解决实际问题时，要看透其中所包含的几何问题，把我们所掌握的轴对称和线段垂直平分线的知识转化为数学问题。【模拟试题】 （答题时间： 40 分钟）一、 选择题1. 下列说法错误的是（）A. 关于某直线对称的两个图形一定能完全重合B. 全等的两个三角形一定关于某直线对称C. 轴对称图形的对称轴至少有一条D. 线段是轴对称图形2. 轴对称图形的对称轴是（）A. 直线 B. 线段 C. 射线 D. 以上都有可能3. 下面各组点关于y 轴对称的是（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页9 A. （0，10）与（ 0，10） B. （3，2）与（3，2）C. （3，2）与（ 3，2） D. （3，2）与（ 3，2）*4. 下列图形中，不是轴对称图形的是（）A. 一条线段 B. 两条相交直线C. 有公共端点的两条相等的线段 D. 有公共端点的两条不相等的线段5. （2007 年河南）如图， ABC 与ABC 关于直线 l 对称，则 B的度数为（）A. 30 B. 50 C. 90 D. 100 6. （2008 年江苏苏州）下列图形中，是轴对称图形的是（）*7. （2008年武汉）如图，六边形 ABCDEF 是轴对称图形， CF所在的直线是它的对称轴，若AFC BCF 150，则AFE BCD 的大小是（）A. 150 B. 300 C. 210 D. 330 *8. （2008年全国数学竞赛浙江预赛）如图，直线l1与直线 l2相交，60，点 P在 内（不在 l1，l2上）。 小明用下面的方法作P的对称点：先以 l1为对称轴作点 P关于 l1的对称点 P1，再以 l2为对称轴作 P1关于 l2的对称点P2，然后再以 l1为对称轴作 P2关于 l1的对称点 P3，以 l2为对称轴作 P3关于 l2的对称点 P4，如此继续，得到一系列点P1，P2，P3，。 若与 P重合，则 n 的最小值是（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页10 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、 填空题9. （2006 年宜昌）从汽车的后视镜中看见某车车牌的后5 位号码是，该车牌的后 5 位号码实际是 _。10. 如图所示，是用笔尖扎重叠的纸得到成轴对称的图案，请根据图形写出：（1）两组对应点 _和_；（2）两组对应线段 _ 和_ ；（3）两组对应角 _和_。11. 点 A（5，6）与点 B（5，6）关于 _对称。*12. （2007 年四川内江）已知点A（m 1，3）与点 B（2，n1）关于 x 轴对称，则 m _ ，n_。三、 解答题13. 画出下列各图形的所有对称轴。14. 如图所示，作出 ABC关于直线 l 的对称三角形 ABC 。*15. （1）回答问题：到线段两端点的距离相等的点在_上；到角的两边距离相等的点在_上。（2）根据（ 1）中的结论作图。如图所示，求作一点P，使 PC PD ，且使点 P到AOB的两边的距离相等。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页11 *16. 如图所示， ABC中，DE垂直平分线段 AB ，AE 5cm ，ACD 的周长为17cm ，求 ABC 的周长。四、 应用与探究题17. 观察下图中的图形，虚线是不是它们的对称轴？你是如何验证的？*18. 如图，草原上两个居民点A、B在河流 l 的同侧，一辆汽车从A出发到B，途中需到河边加水，汽车在哪一点加水，可使行驶的路程最短？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页12 【试题答案】一、 选择题1. B 2. A 3. B 4 。 D 5 。 D 6 。 D 7 。B 8 。 B 二、 填空题9. BA629 10. 答案不唯一， （1）A与 D ，B与 E（2）AB与 DE ，AC与 DF （3）A与D，B与E 11. y轴 12. 3 ，4 三、 解答题13. 如图所示：14. 如图所示：15. （1）这条线段的垂直平分线；这个角的平分线。（2）连结 CD ，作线段 CD的垂直平分线 a，作 AOB 的平分线 OM ，OM 交 a 于点 P。 点 P就是所求作的点。16. 解：DE垂直平分线段 AB ，DA DB ，AE BE 。 AE 5cm ，BE 5cm ，AB AE BE 10cm。 ABC 的周长 CA CD DB AB ，ACD 的周长 CACD AD CA CD DB 17cm ， ABC的周长 171027cm 。四、 应用与探究题17. 将这些图形分别沿图中的虚线对折，如果折叠后两边能够完全重合， 那么这个图形就是轴对称图形，这条虚线就是它的对称轴；如果折叠后两边不能够完全重合， 那么这条虚线就不是它的对称轴（不一定不是轴对称图形， 如图（2）不是轴对称图形，图（ 3）是轴对称图形）。 用上述方法验证得：图（ 1）和（3）中的虚线是它们各自的对称轴，图（2）和（ 4）中的虚线不是它们各自的对称轴。18. 如图所示，作点B关于直线 l 的对称点，连结，交直线 l 于点 C. 点 C就是所求的点。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页13 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页