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数学能力训练111设是两个不共线的向量。，假设A，B，D三点共线，求k的值。2函数f(x)=ax2+bx+c(abc)的图象上有两点Am，f(m1)、B(m2，f(m2)，满足f(1)=0且a2+(f(m1)+f(m2)·a+f(m1)·f(m2)=0. 求证：b0；求证：f(x)的图象被x轴所截得的线段长的取值范围是2，3；3某化装品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在度进行一系列的促销活动，经过市场调查和测算，化装品的年销量x万元和年促销t万件之间满足：3x与t+1成反比例；如果不搞促销活动，化装品的年销量只能是1万件，生产化装品的固定投资为3万元，每生产1万件化装品需要投资32万元，当将每件化装品的售额定为“年平均本钱的150%与“年平均每件所占促销费的一半之和，那么当年的产销量相等。 将的年利润y万元表示为促销费y万元的函数。 该企业的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？注：利润=收入生产本钱促销费4直四棱柱ABCDA1B1C1D1的侧棱AA1=a,底面ABCD是边长AB=2a,BC=a的矩形，E为C1D1的中点.求证：平面BCE平面BDE； 求二面角EBDC的大小； 求三棱锥B1BDE的体积. 5 函数f(x)= (x<-2)()求f(x)的反函数f-1(x); ()设a1=1,=-f-1(an)(nN),求an; ()设Sn=a12+a22+an2,bn=Sn+1-Sn是否存在最小正整数m,使得对任意nN,有bn<成立？假设存在，求出m的值；假设不存在说明理由. 6函数f(x)=求证：函数y=f(x)的图象关于点，对称； 求f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值； 假设，求证：对任何自然数n，总有成立.7椭圆为锐角的焦点在x轴上，A是它的右顶点，这个椭圆与射线y=x(x0)的交点是B，以A为焦点且过点B，开口向左的抛物线顶点为(m,0)，当椭圆的离心率e时，求m的变化范围。答案1 解：A，B，D三点共线与共线，一定存在实数使得 不共线，可作为平面向量的一组基底。由平面向量根本定理，得 。2证明：因f(m1),f(m2)满足a2+f(m1)+f(m2)a+f(m1)f(m2)=0即a+f(m1)a+f(m2)=0f(m1)=-a或f(m2)=-a,m1或m2是f(x)=-a的一个实根，0即b24a(a+c).f(1)=0,a+b+c=0且abc,a0,c0,3a-c0,b0。()证明：设f(x)=ax2+bx+c=0两根为x1,x2,那么一个根为1，另一根为,又a0,c0，0,abc且b=-a-c0,a-a-cc,-2-12|x1-x2|3。3解：由题意得：3x= 将x=1,t=0代入：得 k=2x=3年生产本钱为32x+3=32(3)+3万元年收入为：150%32(3)+3+t年利润为：y=150%32(3)+3+t32(3)+3t =(+) =50(+)502=42万元当且仅当=，即t=7时，y=42万元当促销费为7万元时，利润最大。4证明：E是C1D1的中点，C1E=D1E=a,又由直四棱柱的性质得：BC面CC1D1D，EC=a,BE=a,DE=a,又BD=a,BDE是直角三角形,DEC也是直角三角形,DEEC,DEBE,DE面BEC，又DE平面BDE 平面BCE平面BDE()解：取CD的中点E EE面ABCD，BED在面AC内的射影是EBD,设二面角EBDC的大小为,cos= 又SBDE=DE·BE=a2，SBED=a2,cos= =arccos。()解：VBDE=VDBE=VBE=D1E·SBE=a·a=a3.故VBDE=a3。5()证明：设P(x,y)是y=f(x)的图象上任意一点，关于，对称点的坐标为，由y=那么,f(1-x)-f，即函数f的图象关于点，对称. ()解：由()有f(1-x)=-1-f(x)即f(x)+f(1-x)=-1f(-2)+f(3)=-1,f(-1)+f(2)=-1,f(0)+f(1)=-1那么f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=-3 。 ()证明：bb不等式b即为下面用数学归纳法证明当n=1时，左，右，不等式成立当n=2时，左，右，不等式成立令n=k(k不等式成立即那么时，左··右当，N时，上式恒为正值那么左右，即，所以对任何自然数n，总有成立，即对任何自然数n，总有b成立。6解：由可得：A1，0， ， 由, 由m0，抛物线焦准距p=2(m-1) 设抛物线为y2=-4(m-1)(x-m), ,即 令t=,那么, 令,f(t)在上有解。 对称轴t=-0 只须满足, 。