漫谈对称、轴对称图形.doc

漫谈对称、轴对称图形 郑君威数学课程标准（实验稿）（一下简称课程标准）与原教学大纲比，在空间与图形方面增加了许多内容，其中图形与变换的内容很充实，且有层次。第一学段的学习从感知图形变换现象开始，学习特殊方向的平移和直观式地认识轴对称图形；第二学段增加90º旋转和平移、旋转、对称的画图，并初步体会图形的相似；第三学段比较系统地学习图形的轴对称、平移、旋转和相似。这样安排有螺旋上升的味道。小学阶段只是初步认识图形的变换，离定性地认识还有一定的距离，更不用说定量地研究了。在平移、旋转、对称这些概念中，最重要的是对称这一概念。对称在这里仅限于图形。其实对称在数学中占有一定的地位，与对称有关的概念如对称多项式、对称算子、对称空间、对称张量、对称化、对称原理等等都是数学上的重要概念。课程标准中提到的对称，不仅局限于图形，而且是仅指最简单的图形对称。按数学百科全书，所谓对称是“一个改变定向的正交变换”。例如，平面内关于一直线a的一个反射是一个对称。在它之下每一个点M映射到一点M，使得线段MM垂直于直线a且被它平分。a称作对称轴。“对称是一个几何图形的如下性质：在某个变换群G的作用下，被映射到自身上，这个群称为对称群。”（引自数学百科全书第五卷第106页）简单的情形，如果变换群G是一条直线，那么几何图形就是关于直线G的对称图形；如果变换群G是一个点，那么几何图形就是以点G为中心的对称图形。上述定义中“被映射到自身上”可见，对称图形是一个图形，轴对称图形、中心对称图形当然也是一个图形。以点O为中心的对称图形的涵义是，使得关于某点O旋转一个360º/n（n是一个整数）的角时映射到自身上，那么有一个n阶对称，且O称为对称中心。这里的旋转是在图形所在的平面内旋转。如正三角形是以它的重心为中心的3阶对称，推广之，正n边形是以它们的重心为中心的n阶对称。在图1中，n可以是4（旋转90°）或2（旋转180°），当n=2时就是我们课程标准中所说的中心对称图形。同样地，“课程标准”中的轴对称图形是关于一直线的阶对称的最简单的情形。所谓关于一直线的阶对称是“图形关于某直线（对称轴）旋转360º角而映到自身上”（引文同上）。当时，就成了所谓轴对称图形了。这里的旋转不是平面内的旋转，而是空间的旋转。例如立方体（如图）有直线作为对称轴的阶对称，且有直线作为对称轴的阶对称。这里的阶数n，它不是对称轴的个数。如正方形有对称轴4条，但它关于直线的对称只是2阶。立方体图2中，属于3阶对称的对称轴（如AB）有4条，属于4阶对称的对称轴（如CD）有3条。小学里的轴对称图形仅指关于直线的2阶对称，因此轴对称图形是平面图形，且是一个图形。圆是特殊的图形，它是以圆心为对称中心的n阶对称图形；它是以任意一条直径所在的直线为对称轴的2阶对称。球是以任意一条直径所在的直线为对称轴的n阶对称。此外还有平移对称，如图案设计中的二方连续，就属于平移对称；还有由平移和旋转结合起来的对称，如螺旋形的转盘楼就是螺旋对称。这些虽然都不在小学数学学习范围之内，但当学生有可能提到这类现象时，我们不要断然否定它们是对称现象，它们只是不属于轴对称图形和中心对称图形而已。A （图1） （图2） 对轴对称图形的教学，必须按照课程标准的要求进行。数学教学的任务就是要引导学生研究学习内容，解决四个问题：是什么，为什么，有什么用，发展下去能产生什么。小学数学教学不可能完全按照这个思路来组织教学，但至少要使学生了解（理解、掌握）是什么，怎么形成的，为什么要这样说，在现实中有什么作用，等等。按照上面的教学思路，首先要使学生明白概念。如果我们要对轴对称图形下一个定义，可以这样下：一个平面图形围绕直线a旋转180º而映射到自身上。这个定义虽然比较严密，显然不适合小学。对于小学生来说，这个定义难于理解的地方有三处，一是图形和直线是什么关系，二是怎样旋转，三是对“映射到自身上”怎么理解。这三个问题，对小学生来说是很不容易理解的，特别是“映射”，太抽象了。因此在小学里，不必教给学生严密的轴对称图形的定义。但对轴对称图形的涵义应该使学生有所了解。教学时，我们可以用浅近的语言来帮助学生理解，也就是说，我们可以通过对轴对称图形下一个非数学化的定义。如：将一个平面（可以省略“平面”）图形对折，如果折痕两边的图形能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，折痕叫做对称轴。这里的“对折”这一词儿，不是数学概念，用它来代替“围绕直线a旋转180º”。原来的意思是整个图形围绕直线旋转，现在是由折痕将平面图形分成和两部分，或者是其中的一部分围绕折痕旋转180°，或者和都围绕折痕相对旋转，其和是180°，这些都可以。这样就改成部分图形围绕直线旋转，难度降低了。有的中学教材，将围绕直线的旋转说成是围绕直线翻折，这样难度就下降 了。由于小学生对 “对折”，有一定的生活经验（在幼儿园就学过折纸），教师不必作如上解释，只要引导学生反复操作就行，通过操作学生会知道对折是怎么一回事。用“ 折痕两边的图形能完全重合”代替“映射到自身上”，是把抽象的数学术语换成学生比较容易理解的语言，关于“完全重合”，教学时不必作深入的探究，学生能初步的意会。从上面的教学思路说明，小学数学里的概念教学的要求，往往是很低的。如上面说的轴对称图形这一概念的教学，在小学里不是要求学生掌握，也不是理解，只是初步的了解。通过操作，有一点直观性的了解。因为，在小学里，没有教给学生比较严密的轴对称图形的定义，更没有要求学生必须掌握轴对称图形的性质的教学目标。