2022年递推数列数列通项各种求解方法大全 .pdf

学习必备欢迎下载递推数列通项求解方法类型一：1nnapaq（1p）思路 1（递推法）：123()nnnnapaqp paqqp p paqqq121(1npaqpp211)11nnqqpappp。思路 2（构造法）：设1nnap a，即1pq得1qp，数列na是以1a为首项、p为公比的等比数列，则1111nnqqaappp，即1111nnqqaappp。例 1 已知数列na满足123nnaa且11a，求数列na的通项公式。类型二：1( )nnaaf n思路 1（递推法）：123(1)(2)(1)(3)(2)(1)nnnnaaf naf nf naf nf nf n111( )niaf n。思路 2（叠加法）：1(1)nnaaf n，依次类推有：12(2)nnaaf n、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页学习必备欢迎下载23(3)nnaaf n、21(1)aaf，将各式叠加并整理得111( )nniaaf n，即111( )nniaaf n。例 2 已知11a，1nnaan，求na。类型三：1( )nnaf na思路 1（递推法）：123(1)(1)(2)(1)(2)(3)nnnnaf naf nf naf nf nf na(1)(2)(3)fff1(2)(1)f nf na。思路 2（叠乘法）：1(1)nnaf na，依次类推有：12(2)nnaf na、23(3)nnaf na、21(1)afa，将各式叠乘并整理得1(1)(2)(3)nafffa(2)(1)f nf n，即(1)(2)(3)nafff1(2)(1)f nf na。例 3 已知11a，111nnnaan，求na。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页学习必备欢迎下载类型四：11nnnapaqa思路（特征根法） ：为了方便，我们先假定1am、2an。递推式对应的特征方程为2xpxq，当特征方程有两个相等实根时，12nnpacnd(c、d为待定系数，可利用1am、2an求得 ) ；当特征方程有两个不等实根时1x、2x时，1112nnnaexfx(e、f为待定系数，可利用1am、2an求得 ) ；当特征方程的根为虚根时数列na的通项与上同理，此处暂不作讨论。例 4 已知12a、23a,116nnnaaa, 求na。类型五：1nnnaparq（0pq）思路（构造法） ：11nnnaparq，设11nnnnaaqq，则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页学习必备欢迎下载11nnqpqrq， 从而解得pqrpq。 那么nnarqpq是以1arqpq为首项，pq为公比的等比数列。例 5 已知11a，112nnnaa，求na。类型六：1( )nnapaf n（0p且1p）思路（转化法） ：1(1 )nnapaf n，递推式两边同时除以np得11(1)nnnnnaaf nppp，我们令nnnabp，那么问题就可以转化为类型二进行求解了。例6 已知12a，1142nnnaa，求na。类型七：1rnnapa（0na）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页学习必备欢迎下载思路（转化法） ：对递推式两边取对数得1logloglogmnmnmarap，我们令lognmnba，这样一来，问题就可以转化成类型一进行求解了。例7 已知110a，21nnaa，求na。类型八：1nnnc aapad（0c）思路（转化法） ：对递推式两边取倒数得11nnnpadac a，那么111nndpacac，令1nnba，这样，问题就可以转化为类型一进行求解了。例8 已知14a，1221nnnaaa，求na。类型九：1nnna abac ad（0c、0adbc）思路（特征根法）：递推式对应的特征方程为axbxcxd即2()0cxda xb。当精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页学习必备欢迎下载特征方程有两个相等实根12xx时，数列1na即12nadac为等差数列，我们可设11122nnadadaacc（为待定系数，可利用1a、2a求得） ；当特征方程有两个不等实根1x、2x时，数列12nnaxax是以1112axax为首项的等比数列，我们可设1111212nnnaxaxaxax（为待定系数，可利用已知其值的项间接求得）；当特征方程的根为虚根时数列na通项的讨论方法与上同理，此处暂不作讨论。例 9 已知112a，11432nnnaaa（2n） ，求na。家庭作业1. 已知na中，31a，nnnaa21，求na。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页学习必备欢迎下载2. 已知na中，11a，231nnaa（2n）求na。3. 已知na中，11a，nnnaa221（2n）求na。4. 已知na中，41a，144nnaa（2n）求na。5. 已知na中，11a，其前n项和nS与na满足1222nnnSSa（2n）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页学习必备欢迎下载（1）求证：1nS为等差数列（2）求na的通项公式6. 已知在正整数数列na中，前n项和nS满足2)2(81nnaS（1）求证：na是等差数列（2）若nb3021na求nb的前 n 项和的最小值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页