§2.1导数的概念.ppt

1第二章第二章微积分学的创始人微积分学的创始人: : 德国数学家德国数学家 Leibniz Leibniz 微分学微分学导数导数描述函数变化快慢描述函数变化快慢微分微分描述函数变化程度描述函数变化程度都是描述物质运动的工具都是描述物质运动的工具 ( (从微观上研究函数从微观上研究函数) )导数与微分导数与微分导数思想最早由法国导数思想最早由法国数学家数学家FermatFermat在研究在研究极值问题中提出极值问题中提出. .英国数学家英国数学家 NewtonNewton2 在许多实际问题中，需要从数量上研究变量的在许多实际问题中，需要从数量上研究变量的变化速度。如物体的运动速度，电流强度，线密变化速度。如物体的运动速度，电流强度，线密度，比热，化学反应速度及生物繁殖率等，所有度，比热，化学反应速度及生物繁殖率等，所有这些在数学上都可归结为函数的变化率问题，即这些在数学上都可归结为函数的变化率问题，即导数。导数。 本章将通过对实际问题的分析，引出微分学中本章将通过对实际问题的分析，引出微分学中两个最重要的基本概念两个最重要的基本概念导数与微分，然后再导数与微分，然后再建立求导数与微分的运算公式和法则，从而解决建立求导数与微分的运算公式和法则，从而解决有关变化率的计算问题。有关变化率的计算问题。3引例引例导数的定义导数的定义导数的几何意义与物理意义导数的几何意义与物理意义可导与连续的关系可导与连续的关系求导举例求导举例小结小结 思考题思考题 作业作业2.1 2.1 导数的概念导数的概念(derivative)第二章第二章 导数与微分导数与微分4例例直线运动的瞬时速度问题直线运动的瞬时速度问题一质点作直线运动一质点作直线运动,已知路程已知路程 s 与时间与时间 t 的的试确定试确定t0时的时的瞬时速度瞬时速度v(t0).00()( ),sf ttf tD=+ D-()vt 这段时间内的这段时间内的平均速度平均速度等于质点在每个时刻的速度等于质点在每个时刻的速度.解解.ts 若运动是若运动是匀速的匀速的, 平均速度就平均速度就一、一、引例引例( ).sf t=关系关系质点走过的路程质点走过的路程,00ttt + +从时刻从时刻自由落体运自由落体运动动221tgs so)(0tf)(tf0tt5此式既是它的定义式此式既是它的定义式,又指明了它的计算又指明了它的计算它越近似的它越近似的定义为定义为 )(0tv,)()(lim000ttsttst + + 并称之为并称之为t0时的时的瞬时速度瞬时速度v(t0).瞬时速度是路程对时间的变化率瞬时速度是路程对时间的变化率.若运动是若运动是非匀速非匀速的的,)( tv 平均速度平均速度是这段是这段时间内运动快慢的平均值时间内运动快慢的平均值,t 越小越小,表明表明 t0 时运动的快慢时运动的快慢. 因此因此, 人们把人们把 t0时的速度时的速度注注方法方法,ts 0lim t6例例割线的极限位置割线的极限位置对于一般曲线如何定义其切线呢对于一般曲线如何定义其切线呢?曲线的切线斜率问题曲线的切线斜率问题若已知平面曲线若已知平面曲线),(xfy )(,(000 xfxM如何作过如何作过的切线呢的切线呢. 初等数学中并没有给出曲线切线的定义初等数学中并没有给出曲线切线的定义.过该点的切线过该点的切线.我们知道与圆周有唯一交点的直线我们知道与圆周有唯一交点的直线即为圆周即为圆周但此定义不适应其它曲线但此定义不适应其它曲线. 如如与抛物线有唯一交点的直线不一定是切线与抛物线有唯一交点的直线不一定是切线.切线位置切线位置.曲线上点曲线上点法国法国数学家费马在数学家费马在1629年提出了如下的定义和求年提出了如下的定义和求法法,P.de Fermat 1601-1665 从而圆满地解决了这个问题从而圆满地解决了这个问题.7割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置8910111213141516170 x处切线的斜率处切线的斜率.),(000yxM已知曲线的方程已知曲线的方程确定点确定点 如果割线如果割线MN绕点绕点M旋转而趋向极限位置旋转而趋向极限位置MT,极限位置即极限位置即, 0MNC在点在点M处的处的切线切线.如图如图,. 0 NMT),(xfy x TxyO)(xfy CN M18),(00yxM设设00tanxxyy ,)()(00 xxxfxf N tan k00)()(xxxfxf ).,(yxN割线割线MN的斜率为的斜率为,0 xx 切线切线MT的斜率为的斜率为C沿曲线沿曲线,M0 xx TxyO)(xfy CN M0limxx19),(xfy 就其实际意义来说各不相同就其实际意义来说各不相同, 关系上确有如下的共性关系上确有如下的共性:但在数量但在数量1. 在问题提法上在问题提法上,都是已知一个函数都是已知一个函数求求y关于关于x在在x0处的变化率处的变化率.2. 计算方法上计算方法上,(1) 当当y随随 x均匀变化时均匀变化时,用除法用除法.(2) 当变化是非均匀的时当变化是非均匀的时,需作平均变化率的需作平均变化率的xyx 0lim 在现实生活中在现实生活中,凡涉及变化率的问凡涉及变化率的问题题,其精确描述和计算都离不开此式所其精确描述和计算都离不开此式所规定的这一运算规定的这一运算.上述两例上述两例,分别属于运动学、几何学中的问题分别属于运动学、几何学中的问题,xxfxxfx + + )()(lim000极限运算极限运算:20定义定义的某个邻域内的某个邻域内在点在点设函数设函数0)(xxfy xxfxxfxy + + )()(00的的称为称为)(xf,00时时变到变到当自变量从当自变量从xxx + +)()()(00 xfxxfyxfy + + 的增量的增量函数函数之比之比变量的增量变量的增量 x 与自与自平均变化率平均变化率. .二、导数的定义二、导数的定义,有定义有定义21, 0 x如如处可导处可导在在并说并说0)(xxf,0 xxy )(0 xf 中的任何一个表示中的任何一个表示, )(0 xfxy 存在存在,如如平均变化率的极限平均变化率的极限:)1()()(lim000 xxfxxfx + + 0lim x.)(0处的导数处的导数在在xxf或或,dd0 xxxy 0d)(dxxxxf xxfxxfx )()(lim000 + +函数在一点函数在一点 处的变化率处的变化率0 x(derivative)或有导数或有导数. 可用下列记号可用下列记号则称此极限值为则称此极限值为22处不可导或导数不存在处不可导或导数不存在.特别当特别当(1)式的极限为式的极限为有时也说在有时也说在x0处导数是正处导数是正(负负)无无注注要注意要注意导数定义可以写成多种形式导数定义可以写成多种形式:,)()(lim)(0000 xfxfxf + + .)()(lim)(0000 xfxfxf 当极限当极限(1)式不存在时式不存在时, 就说函数就说函数 f (x)在在x0在利用导数的定义证题或计算时在利用导数的定义证题或计算时,正正(负负)无穷时无穷时,穷大穷大,但这时但这时导数不存在导数不存在.)1()()(lim)(0000 xxfxxfxfx + + x x x hhhh h h 23 )(0 xf关于导数的说明关于导数的说明或或如果如果 x0= 0,可以写成可以写成)0(f 特别特别是是,xxfxxfxfx + + )()(lim)(0000 xx + +0,)()(lim000 xxxfxfxx .)0()(lim0 xfxfx 0 xx (1) 点导数是因变量在点点导数是因变量在点x0处的变化率处的变化率,它反映了它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度因变量随自变量的变化而变化的快慢程度.(2) 如果函数如果函数y = f (x)在开区间在开区间 I 内的每点处都可内的每点处都可导导,就称函数就称函数 f (x)在开区间在开区间 I 内可导内可导.24xxfxxfyx + + )()(lim0.)()(lim)(0hxfhxfxfh + + 注注 )(0 xf,y 记作记作),(xf xydd.d)(dxxf或或即即或或)(xf 0 xx (3) 对于任一对于任一都对应着都对应着 f (x)的一个确定的的一个确定的, Ix 导数值导数值.这个函数叫做原来函数这个函数叫做原来函数f (x)的的导函数导函数.25例例 用导数表示下列极限用导数表示下列极限.5)()3(lim,)()1(0 xafxafaxxfx + + 求求可导可导在在设设解解xafxafx5)()3(lim)1(0 + +)()3(lim0afxafx + + xafxafx3)()3(lim530 + + x3 35).(53af .2)()(lim, 2)()2(0hafhafafh 求求已知已知解解hafhafh2)()(lim)2(0 )()(lim0afhafh )(21af 211 h hxfhxfxfh)()(lim)(0000 + + 26则令,0hxt原式原式htfhtfh2)()2(lim0+)(lim0tfh)(0 xf 是否可按下述方法作是否可按下述方法作: :设设)(0 xf 存在存在, , 求极限求极限.2)()(lim000hhxfhxfh+解解: : 原式原式0limhhhxf2)(0+)(0 xfhhxf2)( 0+)(0 xf)(210 xf )(210 xf +)(0 xf )( 2 )(0hhxf+)(0 xf27右导数右导数4. 单侧导数单侧导数 左导数左导数 )(0 xf + +)(0 xf;)()(lim000 xxfxxfx + + .)()(lim000 xxfxxfx + + + + )0(0 xf)0(0+ + xf又分别可以解释为曲线又分别可以解释为曲线)(xfy )(,(00 xfx在在 点的左切线的斜率与右切线的斜率点的左切线的斜率与右切线的斜率.000)()(lim0 xxxfxfxx 000)()(lim0 xxxfxfxx + +从几何上从几何上(left derivative)(right derivative)28 例例 求函数求函数f(x)| |x|在在x 0处的导数处的导数 f(x)在0 x处的左导数 f(x)在0 x处的右导数处的左导数hxfhxfxfh)()(lim)(00+ 处的右导数hxfhxfxfh)()(lim)(00+ 1|lim) 0()0(lim) 0(00+hhhfhffhh 因为因为f (0) f + +(0) 解 1|lim) 0()0(lim) 0(00+hhhfhffhh 解解 所以函数所以函数f(x) |x|在在x 0处不可导处不可导 1|lim)0()0(lim)0(00+hhhfhffhh 1|lim) 0()0(lim) 0(00+hhhfhffhh 单侧导数单侧导数29axf)(0axfxf+)()(00好像见过面啊！30处的可导性处的可导性.)(af+ + 且且)(bf 和和.,)(上可导上可导在闭区间在闭区间就说就说baxf处可导处可导在在0)(xxf,)()(00都存在都存在和右导数和右导数左导数左导数xfxf+ + 且相等且相等此性质常用于判定此性质常用于判定分段函数分段函数在在分段点分段点如果如果)(xf在开区间在开区间),(ba内可导内可导,都存在都存在,31求增量求增量)1(算比值算比值)2(求极限求极限)3(例例.)()(的导数的导数为常数为常数求函数求函数CCxf 解解hxfhxfxfh)()(lim)(0 + + 0lim h. 0 0)( C三、求导举例三、求导举例( (几个基本初等函数的导数几个基本初等函数的导数) ) 步步 骤骤 );()(xfxxfy + + ;)()(xxfxxfxy + + .lim0 xyyx 即即CC h 导数的定义不仅给出了导数的概念导数的定义不仅给出了导数的概念,也提供了计算方法也提供了计算方法.因而它也属于双重意因而它也属于双重意义的定义义的定义.0)( C32例例,sin)(xxf 设函数设函数解解hxhxxhsin)sin(lim)(sin0 + + 22sin)2cos(lim0hhhxh + + .cos x .cos)(sinxx 4)(sin xx.22 .)(sin)(sin4 xxx 及及求求4cos xx即即同理可得同理可得.sin)(cosxx 自己练习自己练习33例例.)(的导数的导数为正整数为正整数求函数求函数nxyn 解解hxhxxnnhn + + )(lim)(0! 2)1(lim1210 + + + + + nnnhhhxnnnx1 nnx1)( nnnxx更一般地更一般地)(.)(1Rxx )( x如如12121 xx21 )(1 x11)1( x21x 即即34例例.)1, 0()(的导数的导数求函数求函数 aaaxfx解解haaaxhxhx + +0lim)(haahhx1lim0 .lnaax aaaxxln)( .)(xxee 即即35例例.)1, 0(log的的导导数数求求函函数数 aaxya解解hxhxyaahlog)(loglim0 + + exxaalog1)(log .1)(lnxx xxhxhah1)1(loglim0 + + hxahxhx)1(loglim10+ + .log1exa 即即361.几何意义几何意义表示表示)(0 xf 特别地特别地:)( ,tan)(0为倾角为倾角 xf)(xfy 曲线曲线,)(,(00切线的斜率切线的斜率处的处的在点在点xfxM即即四、导数的几何意义与物理意义四、导数的几何意义与物理意义0 x xyO)(xfy CT M)(,()(, 0)()1(000 xfxxfyxf在点在点则曲线则曲线若若 ;轴轴的切线平行于的切线平行于Ox37).)(000 xxxfyy .0)()()(10000 xfxxxfyy,)()2(0 xf若若)(,()(00 xfxxfy在点在点则曲线则曲线 .轴轴的切线垂直于的切线垂直于Ox:)(,()(00处的切线方程为处的切线方程为在点在点曲线曲线xfxxfy :)(,()(00的法线方程为的法线方程为在点在点曲线曲线xfxxfy 38例例,)2 ,21(1斜率斜率处的切线的处的切线的在点在点求等边双曲线求等边双曲线xy 解解得切线斜率为得切线斜率为21 xyk21)1( xx2121 xx. 4 所求切线方程为所求切线方程为法线方程为法线方程为),21(42 xy),21(412 xy. 044 + + yx. 01582 + + yx.方方程程和和法法线线方方程程并并写写出出在在该该点点处处的的切切线线由由导数的几何意义导数的几何意义,即即即即)(000 xxxfyy )()(1000 xxxfyy 39例 9 求曲线xxy的通过点(0 4)的切线方程 练习练习 设切点的横坐标为设切点的横坐标为x0 解解 0212302323)()(0 xxxxfxx于是所求切线的方程可设为于是所求切线的方程可设为 )(230000 xxxxxy 已知点已知点(0 4)在切线上在切线上 所以所以 )0(2340000 xxxx 解之得解之得x0 4 ) 4(42344xy 即 3xy40 于是所求切线的方程为于是所求切线的方程为则切线的斜率为则切线的斜率为 0212302323)()(0 xxxxfxx0212302323)()(0 xxxxfxx ) 4(42344xy 即 3xy40 402.物理意义物理意义 非均匀变化量的瞬时变化率非均匀变化量的瞬时变化率.路程对时间的导数为物体的瞬时速度路程对时间的导数为物体的瞬时速度;.ddlim)(0tststvt 电量对时间的导数为电流强度电量对时间的导数为电流强度;.ddlim)(0tqtqtit 为物体的线为物体的线(面面,体体)密度密度.变速直线运动变速直线运动交流电路交流电路非均匀的物体非均匀的物体 质量对长度质量对长度(面积面积,体积体积)的导数的导数41该点必连续该点必连续. .证证,)(可导可导在点在点设函数设函数xxf)(lim0 xfxyx + + )(xfxyxxxfy + + )(0lim x0 .)(连续连续在点在点函数函数xxf)0(0 x 定理定理如果函数如果函数则函数在则函数在五、可导与连续的关系五、可导与连续的关系在点在点x处可导处可导, ,)(xf即即函数极限与无穷小的关系函数极限与无穷小的关系所以所以, ,lim0 x42如如, ,0处不可导处不可导但在但在 x该定理的逆定理不一定成立该定理的逆定理不一定成立.注注,0)(处处连连续续在在 xxxf.)(0的角点的角点为为xfx 连续是可导的必要条件连续是可导的必要条件, ,不是可导的充分条件不是可导的充分条件. .xy xyO43例例.0,0, 00,1sin)(处的连续性与可导性处的连续性与可导性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解,1sin是有界函数是有界函数x01sinlim0 xxx.0)(处处连连续续在在 xxf,0处处在在 x xy,1sinx ,0时时当当 x.0)(处不可导处不可导在在 xxf0)(lim)0(0 xffx.11之间振荡而极限不存在之间振荡而极限不存在和和在在 xy + + + +xx01sin)0(x 044 连续但不可导的函数连续但不可导的函数例 7 函数3)(xxf在区间(, +)内连续 但在点但在点x 0处不可导处不可导 例例 hfhfh) 0()0(lim0+hhh0lim30hfhfh) 0()0(lim0+hhh0lim30hfhfh) 0()0(lim0+hhh0lim30 这是因为函数在点这是因为函数在点x 0处导数为无穷大处导数为无穷大 45 + + .,)(002xxbaxxxxxf当当当当设设为了使为了使 f(x) 在在x0处可导处可导, 解解 首先函数必须在首先函数必须在x0处连续处连续.由于由于 + +)(lim0 xfxx )(lim0 xfxx )(0 xf故应有故应有.200 xbax + +又因又因,20 x,0bax + +.20 x )(0 xf00)()(lim0 xxxfxfxx 02020limxxxxxx02x应如何选取应如何选取a,b ?46 + +)(0 xf00)()(lim0 xxxfxfxx + +020)(lim0 xxxbaxxx + + + +00)()(lim0 xxbaxbaxxx + + + + + +200 xbax + + + +000limxxaxaxxxa从而从而,当当)(0 xf 02x ,20 xa f(x) 在在x0处可导处可导.,20 xb + + .,)(002xxbaxxxxxf当当当当设设应如何选取应如何选取a,b?为了使为了使 f(x) 在在x0处可导处可导, 47导数的实质导数的实质: 增量比的极限增量比的极限;导数的几何意义导数的几何意义: 切线的斜率切线的斜率;函数可导一定连续，但连续不一定可导函数可导一定连续，但连续不一定可导; 求导数最基本的方法求导数最基本的方法: 由定义求导数由定义求导数.判断可导性判断可导性不连续不连续,一定不可导一定不可导.连续连续直接用定义直接用定义;看左右导数是否存在且相等看左右导数是否存在且相等.六、小结六、小结;)()()(000axfxfaxf + + 48思考题思考题 函函数数)(xf在在某某点点0 x处处的的导导数数)(0 xf 与与导导函函数数)(xf 有有什什么么区区别别与与联联系系？49思考题解答思考题解答50练习题练习题)(0 xf 存在存在 , , 则则._)()(lim000hxfhxfh2.2. 已知已知,)0(,0)0(0kff则则._)(lim0 xxfx)(0 xf 1. 设设3. 设)(xf 存在, 且, 12)1 () 1 (lim0 xxffx求).1 (f 0k0,0,sin)(xxaxxxf, ,问问a a 取何值时取何值时, ,)(xf 在在),(+都存在都存在 , , 并求出并求出. )(xf 4. 设设51解解: 因为3. 设)(xf 存在, 且, 12)1 () 1 (lim0 xxffx求).1 (f xxffx2)1 () 1 (lim0所以. 2) 1 ( fxfxfx2) 1 ()1 (lim0)() 1 ()(1 (lim210 xfxfx+1) 1 (21f520,0,sin)(xxaxxxf, ,问问a a 取何值时取何值时, ,)(xf 在在),(+都存在都存在 , , 并求出并求出. )(xf 解解: :)0(f00sinlim0 xxx1+)0(f00lim0+xxaxa故故1a时时,1)0( f此时此时)(xf 在在),(+都存在都存在, , )(xf0,cosxx0,1x显然该函数在显然该函数在 x x = 0 = 0 连续连续 . .4. 设设53)(xf在在 0 x处连续处连续, 且且xxfx)(lim0存在，存在，证明证明:( )f x在在0 x处可导处可导.证：证：因为因为xxfx)(lim0存在，存在， 则有则有0)(lim0 xfx又又)(xf在在0 x 处连续处连续,0)0(f所以所以0( )limxf xx即即)(xf在在0 x处可导处可导.1. 设设xfxfx)0()(lim0(0)f 故故附加题附加题 54作业作业习题习题2-1(852-1(85页页) )6. 7. 11. 14. 15. 17. 18. 55Newton(1642 1727)伟大的英国数学家 , 物理学家, 天文学家和自然科学家. 他在数学上的卓越贡献是创立了微积分. 1665年他提出正流数 (微分) 术 , 次年又提出反流数(积分)术,并于1671年完成流数术与无穷级数一书 (1736年出版). 他还著有自然哲学的数学原理和广义算术等 .导数的概念导数的概念56Leibniz(1646 1716)德国数学家, 哲学家.他和Newton同为微积分的创始人 , 他在学艺杂志上发表的几篇有关微积分学的论文中,有的早于牛顿, 所用微积分符号也远远优于牛顿 . 他还设计了作乘法的计算机 , 系统地阐述二进制计数法 , 并把它与中国的八卦联系起来 .导数的概念导数的概念