积分变换第二章课件6.ppt
第第2 2页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出第第2 2页页LaplaceLaplace变换的概念变换的概念对函数对函数 取取FourierFourier变换变换, ,可得可得0( )( )edstF sf tt j( )( ) ( )eedttGt u tt (j)00( )ed( )edtstf ttf ttj,( )( ) ( ).sf tt u t( )jsF sG 其中其中若再设若再设则得则得 ( ) ( )e0tt u t 第第3 3页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出第第3 3页页LaplaceLaplace变换的概念变换的概念设函数设函数 当当 时有定义时有定义, , 而且积分而且积分0( )e dstf tt 在在s的某一域内收敛的某一域内收敛, 则由此积分所确定则由此积分所确定的函数可写为的函数可写为0( )( )e dstF sf tt ( )f t0t ( (s s为一个复参量为一个复参量) )函数函数( )f t的的LaplaceLaplace变换式变换式第第4 4页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出第第4 4页页记作记作: : ( )F s称为称为 的的LaplaceLaplace变换变换. .-1( )( )f tF s . .L ( ) ( ),F sf t L( )f t ( )F s若若 是是 的的LaplaceLaplace变换变换, ,则称则称( )f t( )f t ( )F s为为 的的LaplaceLaplace逆变换逆变换. .记作记作: :LaplaceLaplace变换的概念变换的概念第第5 5页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出第第5 5页页1122 ( )( ),( )( ) , f tF sf tF sLL 1212-1-1-11212( )( )( )( )( )( )( )( )f tftf tftF sF sF sF s L L L L L L 一、线性性质一、线性性质设设 ， 是常数是常数, , 则则LaplaceLaplace变换的性质变换的性质 二、微分性质二、微分性质 ( )( ),f tF s 如果L ( )( )0ftsF sf L有有第第6 6页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出第第6 6页页如如果果( )( ),f tF s L 2( )( )00fts F ssff L 112( )( )000nnnnnfts F ssfsff L 110( )0 Reninniis F ssfsc LaplaceLaplace变换的性质变换的性质 则则 第第7 7页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出第第7 7页页 10000nfff 特特别别得得，当当 时时，有有 ( )( )f tF L ss 2( )( )f tF L ss ( )( )nnftF L ss 此性质可以使我们有可能将此性质可以使我们有可能将 的微分方程的微分方程转化为转化为 的代数方程的代数方程. f t F sLaplaceLaplace变换的性质变换的性质 第第8 8页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出第第8 8页页象函数的微分性质象函数的微分性质: : ( )( )f tF s ，L ( )( ) ReF stf tsc L 若若则则推论推论: : ( )( )1( ) RennnnFst ftsc L LaplaceLaplace变换的性质变换的性质 第第9 9页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出第第9 9页页三、积分性质三、积分性质 ( ),f tF s 如如果果则则 L d d01( )tf ttF ss LLaplaceLaplace变换的性质变换的性质 0001dd( )d( )tttnttf ttF ssn 次L( )dd( )dnsssnf tssF sst 次L第第1010页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出第第1010页页若若L L f (t)=F (s), 则有则有L L eat f (t)=F (s-a) (Re (s-a)c) 四、位移性质四、位移性质LaplaceLaplace变换的性质变换的性质 五、延迟性质五、延迟性质 若若L L f (t)= F( s), 又又t0时时f (t)=0, 则对于任一则对于任一非负数非负数t t 0, 0, 有有 -1 ()ee()ststf tF sF sf t LL 第第1111页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出第第1111页页六、初值定理与终值定理六、初值定理与终值定理lim( ),ssF s且且存存在在 则则 ( )( ),f tF s L若若1. 1. 初值定理初值定理0lim( )lim( )tsf tsF s LaplaceLaplace变换的性质变换的性质(0)lim( )sfsF s 或或写写为为第第1212页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出第第1212页页 若若L L f (t)=F (s), ), 且且s F (s)的奇点全在的奇点全在s平平面的左半部面的左半部, , 则则2. 2. 终值定理终值定理0lim( )lim( )tsf tsF s LaplaceLaplace变换的性质变换的性质 0()lim( )sfsF s 或或写写为为第第1313页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出第第1313页页微分、积分方程的微分、积分方程的LaplaceLaplace变换解法变换解法 首先取首先取LaplaceLaplace变换将微分方程化为象变换将微分方程化为象函数的代数方程函数的代数方程, , 解代数方程求出象函数解代数方程求出象函数, , 再取再取LaplaceLaplace逆变换得最后的解逆变换得最后的解. .象原函数象原函数( (微分方程的解微分方程的解)象函数的象函数的代数方程代数方程微分方程微分方程象函数象函数取取LaplaceLaplace逆变换逆变换取取LaplaceLaplace变换变换解代数解代数方程方程第第1414页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出第第1414页页习题解答习题解答: :
