3_广义函数.ppt
广义函数邓创王达马昱袁珏问题的引入:1.P84 2-12题（2）冲激函数匹配法中的运算次序问题（先求导还是先用冲激函数筛选特性？）2.P117 符号函数sgn(x)的傅里叶变换的方法（对a取极限的合理性？）3.P121 阶跃函数的u(t)u(t)傅里叶变换（为什么不能通过单边指数变换取极限得到？）解决方法：对广义函数进行严格的定义举例：教材对广义函数的不严格运算1.冲激函数的Dirac定义导致函数形式的多样性（与通常理解的函数相悖）2.积分相等被积函数相等 （教材证明冲激函数性质时多次用到此方法）3.一些奇异函数傅里叶变换计算用到了很多毫无理由的技巧(例如u(t)和sgn(t)函数空间与线性泛函广义函数的严格定义弱收敛性质代数、导数、积分运算函数空间的完备性极限与运算可交换次序最终目的线性函数空间 定义了加法和数乘（实数或复数）运算且具有线性封闭性质的函数空间（可类比线性代数中的定义）线性泛函 设L为上述定义而成的一个函数空间,V为一个数集，若映射f 对L中任一函数g(x),在V中总有一个数v与之对应，即 f : g(x)v （或记作v=f g(x)=）则称f 为作用在L上的一个泛函，其中L为其定义域，v为其值域线性泛函与连续泛函任取g1(x),g2(x) L 且对泛函f有 f : g1(x)v1 f :g2(x)v2若对任意常数a1,a2满足f: a1g1(x)+a2g2(2)a1v1+a2v2 则称f为线性泛函设f 为L上的泛函，gm(x)(m=1,2,.)为L中的函数序列； f :gm(x)vm 如果 时恒有 则称f 为L上的连续泛函lim( )0mmg xlim0mmv重要结论：重要结论：f f (x) L L, 若泛函若泛函 广义积分广义积分存在，则为一线性连续泛函存在，则为一线性连续泛函-此结论是以后所有讨此结论是以后所有讨论的基础论的基础 (证明略证明略)( ) ( )f x g x dxback 广义函数严格定义 （检验函数理论-见书2.9节）设f 是作用在D类检验函数上的一个线性连续泛函，则称这一泛函是D 类的一个广义函数（分配函数）。其一般记号是注意，若注意，若f(x)为一般常义函数，则上式中积分号为普为一般常义函数，则上式中积分号为普通积分运算；若通积分运算；若f(x)不是一般常义函数就只能认为上不是一般常义函数就只能认为上述积分号是一个运算符号而已。述积分号是一个运算符号而已。( ) ( )vf xx dx例：对函数的严格定义-具有筛选特性的泛函，即满足以下性质的函数 f 称为函数,( ) ( )(0)f gf xx dxback广义函数的弱收敛与弱极限强收敛：若常义函数列fm(x)收敛于f(x),若对fm(x)定义域中每一点xi都收敛于f(xi),则称fm(x)强收敛于f(x); 显然f(x)也为常义函数弱收敛：若常义函数序列fm(x)对D中任一检验函数(x),得到的vm都收敛，则称fm(x)是弱收敛的；若fm(x)弱收敛，则称fm(x)有弱极限，将此极限记作由此容易得到lim( )( )mmfxf xlim( ) ( )lim( ) ( )mmmmfxx dxfxx dx结论：1.弱极限与内积计算次序可交换 2.任何广义函数可以用常义函数的弱极限来表示 （证略）back函数运算带来的问题：函数空间的完备性例如：若我们定义函数空间L为R上所有常义连续函数组成的线性空间上所有常义连续函数组成的线性空间，则函数 的导函数不属于L,即L不是完备的函数空间。( )|f xx我们的目标：寻求一个完备的函数空间，使得对寻求一个完备的函数空间，使得对函数运算封闭，便于我们的处理函数运算封闭，便于我们的处理back最终结论：我们找到了一个完备的函数空间，使得微分、求极限、内积三种运算的次序可以任意交换，这样使得我们在实际的应用中自由度很大而不用考虑交换次序的条件：若若L L为广义缓增函数空间，则为广义缓增函数空间，则L L是完备的是完备的定理：若定理：若fm(x)是是L L类中的广义函数序列，则类中的广义函数序列，则其弱极限也是其弱极限也是L L类的广义函数。类的广义函数。该证明复杂且长，需要很多分析技巧，略去；该证明复杂且长，需要很多分析技巧，略去；但该定理是取得上述结果的核心定理。但该定理是取得上述结果的核心定理。在教材和上一部分的讨论中，只通过了对常义函数的极限的方法来研究了函数；下面需要研究L空间中另一类广义函数-第二类间断点（代数奇点）产生的广义函数，这部分函数在实际计算中起到很重要的作用。问题引入：求 与检验函数的内积注意中间一项不收敛，因此无法处理内积1( )f xx-1,( )111( )( )( )fx dxxx dxx dxx dxxxx伪函数利用函数的哈达玛有限部分来构造具有代数奇点的伪函数定义：设f(x)是一个有m阶代数奇点x=0的常义函数。取一常数0，则下述泛函所决定的广义函数，成为f(x)的伪函数。2(1)1def(0)(0)( )( )(0)(0).2!(1)!|(1)pf. ( ), ( )mmxxf xxxmxdxf xx 类比复变函数中留数的计算有助于理解此式经过观察和简单计算，伪函数在（-,）邻域外和f(x)相同，而在奇点邻域内还多存在函数的各阶导数。这样，对具有第二类间断点的广义函数，给出了一个内积收敛的定义，即伪函数。举例举例：易检验上式的正确性1( )1( )( ),xf xf xcx cx 为任意常数其他的一些例子其他的一些例子1( )0( )1( )( )mmmiiix f xf xxcx ( )( )( )( )( )xf xxf xxcx 此外，伪函数还有很多运算性质，在这里略去不讲。此外，伪函数还有很多运算性质，在这里略去不讲。复变函数中的一类广义函数这里主要研究函数这里主要研究函数0 xj定义定义：def00lim()yxjxjy 这里主要研究这里主要研究 的性质的性质10 xj222200011limlimlim0yyyxjyxjxjyxyxy 右边第一项可写作右边第一项可写作第二项应谨慎处理：令第二项应谨慎处理：令 则则2201limyxxyx 222201/limlim( )1/ymymxxyxm 1ym后一个等式的证明类似书后一个等式的证明类似书P74页例页例2-11011lim( )yjxxjyx 011lim( )yjxxjyx 由此得到以下两个很有用处的式子这两个式子为解决问题2，3提供了途径回到原来的问题：1.sgn(x)求傅里叶变换对a取极限的合理性由以下等式保证122000000211( )lim( )lim()lim()lim()11111 2lim()lim()( )( )2aaaaaajFFaajajjjjjajjajj 2.事实上单边指数求极限得到u(t)的傅里叶变换也是可行的10001( )lim( )lim()111 1lim()( )1( )aaaFFajjjjajj 甚至也可以用双边指数的傅里叶变换求极限得到常数函数的频谱122000000211( )lim( )lim()lim()lim()11111lim()lim()(2( )2( )aaaaaaaFFaajajjjjajjaj 结语：广义函数是发展的很完善的一套理论体系了，这里仅仅截取了很少的一部分进行了论述。由此看出，理论上的严格推导是非常复杂的，不过这种理论推导的必要性保证了我们在工程运用当中的正确性，因此是不可缺少的部分。
