补空间向量的坐标运算（二）---习题课.ppt
补：补： 空间向量的坐标运算空间向量的坐标运算（二）（二）-习题课习题课1. 向量的直角坐标运算向量的直角坐标运算:123123(,),( ,)a a ab b b设则ab; a b; a b;a;a b/;.ab;ab112233(,)ab ab ab112233(,)ab ab ab123(,),()aaaR1 12233a ba ba b112233,()ab ab abR112233/ababab1 122330a ba ba b复复 习习2.2.夹角和距离公式夹角和距离公式222,212121()()()A Bdxxyyzzcos,| | a ba bab1 1223 3222222123123;a ba ba baaabbb其中其中,dA,B表示表示A 与与B 两点间两点间的距离的距离 111(,)xyz222(,)xyz例例1 如图所示，在棱长为如图所示，在棱长为1的正方体的正方体ABCDA1BlClDl中，中，E，F分别是分别是DlD，BD的中点，的中点，G在棱在棱CD上，且上，且CG H是是C1G的中点应用空间向量法解决下的中点应用空间向量法解决下列问题：列问题：(1)求证：求证：EFB1C;(2)求求EF与与C1G所成角的余弦值；所成角的余弦值；(3)求求FH的长的长分析分析 利用空间向量的基础知识，利用空间向量的基础知识，证明异面直线垂直，求异面直线证明异面直线垂直，求异面直线所成的角及线段的长度所成的角及线段的长度,41CD证明：证明：(1)(1)如图所示，建立空间直角坐标系如图所示，建立空间直角坐标系D D为坐标原点，由已知得：为坐标原点，由已知得：所以所以 即即,xyzD),1 , 1 , 0(),0 , 1 , 0(),0 ,21,21(),21, 0 , 0(1CcFE )0 ,43, 0(),1 , 1 , 1 (1GB11 11( ,),( 1,0, 1).2 22EFBC 11 11( ,) ( 1,0, 1)2 22EF BC . 0) 1()21(021) 1(21,1CBEF .1CBEF 解：解：(2) (2) 则则 又因为又因为 且且 所以所以 (3)(3)因为因为H H是是C C1 1G G的中点，的中点， 由中点坐标公式知由中点坐标公式知 H H ),1,41, 0(1GC417|1GC,23|EF,831GCEF11151cos,17|EF CGEF CGEF CG ),21,87, 0(1 1( ,0),2 2F 222171141|(0)()(0)82822FHFH 评析：评析：通过向量，把几何问题转化为代数计算，是数学中转化恩通过向量，把几何问题转化为代数计算，是数学中转化恩想的具体体现，而且在解立体几何题中想的具体体现，而且在解立体几何题中,由于向量的引入，避免了由于向量的引入，避免了一些繁难的推理论证，用定量计算代替定性分析一些繁难的推理论证，用定量计算代替定性分析,从而降低了难度从而降低了难度. 例例3 在立体图形在立体图形ABCA1B1C1中，中，ABC和和AlBlCl为正三角形，为正三角形，AA1BB1CC1且且AA1平平面面ABC，所有棱长都是，所有棱长都是2，M是是BC边的中点，则边的中点，则在棱在棱CC1上是否存在点上是否存在点N，使得异面直线，使得异面直线AB1和和MN所成的角等于所成的角等于45o?分析分析 立体几何引入空间向量后，可以借助向量工立体几何引入空间向量后，可以借助向量工具，使几何问题代数化，降低思维的难度尤其具，使几何问题代数化，降低思维的难度尤其是在解决一些立体几何中的探索性问题时，更可是在解决一些立体几何中的探索性问题时，更可以发挥这一优势以发挥这一优势 解：以点解：以点A为原点，建立如图所示的空间直为原点，建立如图所示的空间直 角坐标系角坐标系 因为棱长都等于因为棱长都等于2，所以所以),2 , 1 , 3(),0 , 1 , 3(),0 , 2 , 0(),0 , 0 , 0(1BBCA )0 ,23,23(M点点N N在在CCCC1 1上，可设上，可设),20)(, 2 , 0( mmN13 1( 3,1,2),(,),22ABMNm 则 212 2,1,21.ABMNmAB MNm 于是 1ABMN如果异面直线如果异面直线ABAB1 1和和MN所成的角等于所成的角等于45450 0那么向量那么向量 和和 的夹角是的夹角是45450 0或或1351350 0112121cos,|.|2 21AB MNmAB MNABMNm 而 221222 21mm 所以 3,4m 解得 02m这与矛盾 即在即在CCCCl l上不存在点上不存在点N N，使得异面直线，使得异面直线ABAB1 1和和MN所成所成的角等于的角等于4545. .xyzA 在解决一些立体几何探索性问题时，利用空间向量，能够避免繁在解决一些立体几何探索性问题时，利用空间向量，能够避免繁琐的琐的“找找”“”“作作”“”“证证”，只需通过向量计算，就可以解决问题，降低，只需通过向量计算，就可以解决问题，降低了思维难度，易于把握，体现了空间向量在解题中的巨大作用了思维难度，易于把握，体现了空间向量在解题中的巨大作用 练练 习习1 1、已知正方体、已知正方体ACAC1 1中中,E,E、F F、G G分别是分别是ABAB、ADAD、AAAA1 1的中点。求证：平面的中点。求证：平面EFG/EFG/平面平面D D1 1B B1 1C C用向量方法求解用向量方法求解2.2.已知正方体已知正方体ACAC1 1中中,E,E、F F分别是分别是ABAB、BCBC的中的中点。试在棱点。试在棱BBBB1 1上找一点上找一点M,M,当当 的值为多少的值为多少时时, ,能使能使D D1 1MM平面平面EFBEFB1 1? ?并证明并证明. . 1 1M MB BB BM M
