第五章 弯曲应力（2周）.ppt

121 1 平面弯曲的概念及梁的计算简化图；平面弯曲的概念及梁的计算简化图；2 2 梁的梁的剪力剪力和和弯矩；弯矩；3 3 剪力方程剪力方程和和弯矩方程弯矩方程剪力图剪力图和和弯矩图；弯矩图；4 4 截面四步法截面四步法求内力；求内力；5 5 叠加原理叠加原理做内力图；做内力图； （不做考试要求！）（不做考试要求！） 6 6 平面刚架和曲杆的内力。平面刚架和曲杆的内力。（不做考试要求！）（不做考试要求！） 回顾上一章的内容回顾上一章的内容3已学习已学习弯曲内力弯曲内力弯矩弯矩、剪力剪力（计算内力、画内力图）；（计算内力、画内力图）；目的：为解决目的：为解决弯曲强度弯曲强度问题做铺垫；问题做铺垫；弯曲现象弯曲现象是建筑结构中最常见的变形，是是建筑结构中最常见的变形，是最重要的变形最重要的变形。如何解决如何解决弯曲强度问题？弯曲强度问题？是本章重点学习内容。是本章重点学习内容。4 弯曲问题的整个分析过程：弯曲问题的整个分析过程：弯曲内力弯曲内力 弯曲变形弯曲变形( (刚度刚度问题问题) )。应力应力？弯曲弯曲弯矩弯矩M剪力剪力Fs拉（压）拉（压）轴力轴力FNAFN应力应力内力内力变形形式变形形式构件构件扭转扭转扭矩扭矩TpIrT 思路思路 应力从内力出发！（应力从内力出发！（内力是应力的综合效果！内力是应力的综合效果！）即：由弯曲内力即：由弯曲内力 弯曲应力弯曲应力强度问题；强度问题；弯曲应力是怎样的应力？如何求出弯曲应力？弯曲应力是怎样的应力？如何求出弯曲应力？55.1 5.1 纯弯曲纯弯曲（最简单的模型）（最简单的模型）; ; 5.2 5.2 纯弯曲时梁横截面上的纯弯曲时梁横截面上的正应力正应力; ;5.3 5.3 横力弯曲横力弯曲时的正应力、弯曲正应力时的正应力、弯曲正应力强度条件强度条件; ;5.4 5.4 梁横截面上的梁横截面上的切应力切应力; ;5.5 5.5 提高梁弯曲强度的措施提高梁弯曲强度的措施. .第五章第五章 弯曲应力弯曲应力 5.5.纯弯曲纯弯曲-弯曲变形中最简单的模型弯曲变形中最简单的模型1 1、弯曲梁横截面上的内力：、弯曲梁横截面上的内力：弯曲内力弯曲内力剪力剪力FS 切应力t dA形成，分布在横截面上 的所有dA的合力合力。弯矩弯矩M 正应力 dA形成，所有与横截面垂直 的正应力产生的合力偶矩合力偶矩。（转动轴为 中性层中性层与横截面横截面的交线！）对称弯曲对称弯曲：外力作用在纵向对称平面内，梁发生弯曲变形后，轴线仍保持轴线仍保持在此对称平面内在此对称平面内，并由直线变成一条平面曲线由直线变成一条平面曲线，也称为平面弯平面弯曲曲。（本章只解决本章只解决对称弯曲对称弯曲问题问题）非对称弯曲非对称弯曲：梁虽然具有纵向对称面但外力并不作用在纵向对称面内，或梁不具有纵向对称面。（第八章组合变形将解决部第八章组合变形将解决部分非对称弯曲问题分非对称弯曲问题）2 2、研究方法：、研究方法： 纯弯曲纯弯曲 梁横截面上只有只有M而无无FS 横截面只受只受 ； 横力弯曲横力弯曲横截面上既有既有FS又有又有M 横截面既受既受也也受受 。从最简单的模型从最简单的模型矩形横截面梁的纯弯曲，入手！矩形横截面梁的纯弯曲，入手！横截面对称轴横截面对称轴纵向对称面纵向对称面中性轴中性轴中性层中性层横截面横截面MM AB段梁的部分也为纯弯曲：梁的部分也为纯弯曲：内力只有弯矩只有弯矩没有剪力没有剪力。PPaaABFSMxx纯弯曲纯弯曲: :P P Pa（+） （+） （）（）PS：A、B外侧既有弯矩也有外侧既有弯矩也有 剪力，为剪力，为非纯弯曲非纯弯曲！可以设计很多纯弯曲的情况！可以设计很多纯弯曲的情况！5.2 5.2 纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力（一）变形几何关系：（一）变形几何关系：1.中性层中性层和中性轴中性轴： 由梁的变形规律，可知梁内必有一层纤维既不伸长既不伸长也不缩短也不缩短，此层纤维称为中性层中性层。即:从伸长层伸长层到缩短层缩短层的过渡层过渡层。 中性层中性层与横截面横截面的交线称为中性轴中性轴。(PS:梁有无数根中性轴，构成中性层构成中性层).轴线轴线横截面对称轴横截面对称轴纵向对称面纵向对称面中性轴中性轴中性层中性层横截面横截面MM10(1)横向线横向线ab仍为直线直线，但相对于原来的位置发生了旋转(不同不同x位位置横向线旋转角不一样置横向线旋转角不一样)；(2)纵向线纵向线aa和和bb弯成弧线弧线(M0, 上压缩压缩下伸长伸长( (正应正应力力););M5），纯弯曲推导的 正应力公式正应力公式仍然有效仍然有效，其误差满足工程精度要求。1maxmaxttzIyM即，仍为：即，仍为：脆性材料：脆性材料：抗压不抗拉。抗压不抗拉。Wz= Iz/ymax但：但：M不是定值不是定值！24校核强度校核强度：设计截面尺寸设计截面尺寸：设计载荷设计载荷：maxmaxMWz)( ;maxmaxMfPWMz弯曲正应力强度计算的三类问题。弯曲正应力强度计算的三类问题。 受横向集中力受横向集中力P的情况。的情况。出现在出现在离离Z轴最远端轴最远端。例例1 受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求：（1）11截面上1、2两点两点的正应力；（2）11截面上的最大正应力最大正应力；（3）全梁的最大正应力全梁的最大正应力；（4）已知E=200 GPa，求11截面的曲率半径曲率半径。zy解解：画画M图，求截面弯矩图，求截面弯矩:mkN60)22(121xqxqLxMxM + M1Mmaxq=60kN/mAB1m2m111212018030mkN5 .678/3608/22max qLM（压应力）（压应力）（1）求求11截面上截面上1、2两点的正两点的正应力：应力：q=60kN/mAB1m2m11451233m10832. 5101218012012bhIzMPa7 .6110832. 56060 5121zIyM12120zy18030注意注意：与纯弯曲不同，横力弯曲下：与纯弯曲不同，横力弯曲下：（1）轴向不同的位置轴向不同的位置，即使在同一层，应力也不相等；（2）但同一横截面，同高处应力仍相等。MPa6 .92106481060631max1zWMm4 .1941060832. 520011MEIzMPa2 .10410648105 .6763maxmaxzWM求曲率半径：求曲率半径：q=60kN/mAB1m2m11M1MmaxxM + 322648618126cmbhWz（2）求求11截面上的最大正应力：截面上的最大正应力：（3）求全梁的最大正应力：求全梁的最大正应力：281maxmaxttzIyMmaxmaxmaxzIyMzIyM 2maxczcIyMmaxmaxzWM（1） （2） 二、二、弯曲正应力强度条件：弯曲正应力强度条件： 一、横力弯曲一、横力弯曲（梁横截面上既有FS又有M的情况 ）时，平 面假设不成立。但对于长梁长梁（L/h5），纯弯曲推导的 正应力公式仍然有效仍然有效，即，仍为：即，仍为：Wz= Iz/ymax回顾上一节的内容回顾上一节的内容29 60 30 120 80 z m2 . 1mkN /20 ()xM22ql例例2 求图示梁外壁外壁和内壁内壁处的最大正应力。最大正应力。mkNqlM.4 .1422 . 120222max4337361283126cmIza4 .1171073606. 01440028maxmaxMPIHMz外a3 .781073604.01440028maxmaxMPIhMz内梁内、外壁处的最大正应力分别为：梁内、外壁处的最大正应力分别为：（2）计算应力：）计算应力：解解:(1)画弯矩图，画弯矩图，求最大弯矩：求最大弯矩：弯矩弯矩M都都用正值！用正值！30（压应力）（压应力） ()mN 3000m1m1kN6zyGGy1y2ymaxtmaxc46 .25 cmIz cmy52.11 cmy28. 352. 18 . 42cmyG99. 053. 052. 1a384106 .251028. 33000822maxmaxMPIyMzta1781maxmaxMPIyMzCa116maxMPIyMzGG解解：（1）画M图，求Mmax （2）查型钢表查型钢表，求截面有关几何量例例3 求图示梁中央截面上中央截面上的最大拉应力最大拉应力和 最大压应力最大压应力以及该截面G点处的正应力点处的正应力，梁由10号槽钢号槽钢制成。（拉应力）（拉应力） 31 例例4 倒形倒形截面铸铁梁铸铁梁，已知 ， ， ， ， 试校核该梁的强度。注意注意,M都取正值都取正值! 解解：画弯矩图)( mkN5 . 3下拉、上压CM（上拉、下压）mkN4BMx3.5kNm4kNmM（+） （）（） 4764cmIza40MPta60MPc1m1m1mABCDkN11kN4mmy881mmy5221y2y z截面：a3 .4010764088. 03500c8maxMPcB截面： a4610764088. 010483maxttMPa8 .2310764052. 03500t8maxMPta2 .2710764052. 010483maxccMPmaxmaxmaxzIyM不安全不安全!32讨论：讨论：采取什么措施，使梁满足强度要求？将梁截面倒置将梁截面倒置!x3.5kNm4kNmMy1y2（）（） （）（） 截面：a3 .4010764088. 035008maxMPt000000575. 010040403 .40B截面： a46cmaxMPc安全安全!2、研究方法研究方法：分离体平衡。在梁上取无限小微段(图图b b);在图b中的微段下端取一块下端取一块 (图图c) ， x 轴外力平衡轴外力平衡：（图（图c）5.4 5.4 梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力-横力弯曲时横力弯曲时（不做考试要求）（不做考试要求）一、一、 矩形截面矩形截面梁梁横截面上的横截面上的切应力切应力1、两个假设两个假设：切应力与剪力平行（同向同向）；距中性轴等距离的各点切应力相等 （同一层切应力相等同一层切应力相等).0)(12dxbFFXNN（图（图b）FS(x)+d FS(x) =Fs(x)+qdxM(x)M(x)+d M(x)= M(x)+Fs(x)dx+qdxdx/2FS(x)dx yxyz b1NF2NFPdxx(图图a)dx)4(2ddA22211A11yhbybyyShyzzzAzANIMSAyIMAFdd1zzNISMMF)d(2由切应力互等：由切应力互等：zzSbISFy)(xFS(x)+d FS(x)M(x)M(x)+d M(x)FS(x)dx（图（图b）1yX yz b(图图c)y2NF1NF代入：代入：0)(12dxbFFXNNzzSzzbISFbISxMdd同理：同理：-为与为与y y轴相关的变量轴相关的变量, , 小截面小截面对对Z Z的静矩。的静矩。对整个右截面对整个右截面( (而不是部分小截面而不是部分小截面): ): M(x)+Fs(x)dx=M(x)+dM(x), dM(x)/d(x)=Fs (整个左截面的剪切力整个左截面的剪切力)FS为截面剪力截面剪力；Iz为整个截面对z轴之惯性矩惯性矩；b 为y点处点处截面宽度截面宽度。二、其它形状截面梁二、其它形状截面梁横截面上的切应力横截面上的切应力:1、研究方法与矩形截面同;的计算公式仍为仍为：zzSbISF5 . 123maxAFS)4(222yhIFzSFS 方向方向：与横截面上剪力Fs方向相同； 大小大小：沿截面宽度均匀分布沿截面宽度均匀分布，沿高度沿高度h分布为抛物线分布为抛物线。最大切应力在中性轴上最大切应力在中性轴上，为平均切应力平均切应力的1.51.5倍倍。与受与受扭矩扭矩T T的圆轴切应力分布完全不同！的圆轴切应力分布完全不同！A：整个梁横截面面积：整个梁横截面面积bh。zS中性轴以上(或以下或以下)部分截面部分截面对中性轴中性轴的静矩静矩。结论：结论： 翼缘部分max腹板上的max，只计算腹板上的max。切应力主要由腹板承受(9597%),且max min(近近似恒定似恒定)，故工字钢最大切应力:-b为所在位置的弦长！为所在位置的弦长！yzSF max fSAF max 2 2、几种常见截面的最大弯曲切应力、几种常见截面的最大弯曲切应力：工字钢截面：工字钢截面：maxminAf 腹板的面积。; maxA FS f 圆截面圆截面：3434maxAFSbISFzzSy*y轴的分量相等都为轴的分量相等都为y。中性轴中性轴Z最大：最大： M 三、梁的切应力强度条件三、梁的切应力强度条件SF zzSIbSFmaxmaxmax一般来说: 出现在剪力剪力Fs绝对值最大的绝对值最大的截面的截面的中性轴处中性轴处。(等直截面、几何尺寸固定的情况下等直截面、几何尺寸固定的情况下) maxFs取绝对值绝对值! -b为所在位置的为所在位置的中性轴宽度中性轴宽度！四、需要校核切应力的几种特殊情况（仅横力弯曲）（见课四、需要校核切应力的几种特殊情况（仅横力弯曲）（见课 本本P154页页）：）：焊接或铆接焊接或铆接的工字形截面梁，其腹板的厚度b与高度h比小于型钢（工工字或T型等）的标准比值时，要校核切应力。 对于细长梁细长梁: 满足弯曲正应力强度条件时，能满足剪应力强度条件，无需校核切应力。 梁的跨度L L 较短较短(M=PL较小)，而FS较大时，要校核切应力。 焊接、铆接或胶合焊接、铆接或胶合的组合梁，对焊缝、铆钉或胶合面，一般 要进行剪切计算。（例：课本题5.22，5.25，5.26，5.27) 各向异性材料各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核切应力。 解：解：画内力图求危险截面内力画内力图求危险截面内力例例5 矩形矩形(bh=0.12 m0.18 m）截面木梁木梁如图，=7 MPa， =1 M Pa，试求最大正应力和最大切应力之比之比,并校核梁的强度。N54002336002maxqLFSmN4050833600822maxqLMq=3.6 kN/mxM82qLABL=3m2qL2qL+x（+） 求最大应力并校核强度：求最大应力并校核强度：应力之比：应力之比：7 .1623/maxmaxmaxmaxhLAFWMSz6.25MPa18. 012. 040506622maxmaxmaxbhMWMz0.375MPa 18. 012. 054005 . 15 . 1maxmaxAFS5 . 123maxAFS)4(222yhIFzS安全。安全。41课后作业课后作业: 课本课本5.2， 5.3 ，5.5，5.12共共4题，题，下周一下周一上课前交。上课前交。课堂作业课堂作业: 课本第课本第165页的页的5.4题。题。42-b为所在位置的为所在位置的中性轴宽度中性轴宽度！ zzSIbSFmaxmaxmaxzzSbISFy)(二、二、弯曲切应力强度条件：弯曲切应力强度条件：max都出现在最大都出现在最大Fs所在截面的所在截面的 Z轴上轴上。 一、横力弯曲一、横力弯曲时，任意形状截面切应力都为：任意形状截面切应力都为：回顾上一节的内容回顾上一节的内容dA1A1ySzFs取绝对值绝对值!-b为为y所在位置的截面所在位置的截面宽度宽度！5 . 123maxAFSmaxmin fSAF max yzSF max3434maxAFSFS435.5 提高梁弯曲强度的措施提高梁弯曲强度的措施受载不变受载不变而降低而降低maxM2/ l2/ l4Pl （）（） 65l6l（）（） Pl365maxmaxWM一般为弯曲强度弯曲强度计算的主要依据主要依据。一、合理安排一、合理安排梁的受力情况梁的受力情况 合理布置合理布置载荷载荷 ： Mmax大大降低大大降低前面已讲述：一般情况下的长梁，弯曲正应力满足要求，切应力通常都满足要求！所以所以：弯曲强度的基本要求：基本要求：受载受载P不变！不变！442/ l2/ l4Pl（）（） qP/l（）（） 8Pl4l4l4l4l（）（） 8Pl2P2P受载受载P不变！不变！abc45（）（） 82ql（+） （-） （-） qql 2 . 0l 2 . 0l 6 . 0 402ql 502ql502qlMmax大大降低大大降低合理布置合理布置支座位置支座位置：受载受载P不变不变,而降低而降低Mmax，进而降低，进而降低 ！cdmax46杭州湾大桥杭州湾大桥（3）设置拉索或桥墩）设置拉索或桥墩(减小横力或跨度，进而减小减小横力或跨度，进而减小Mmax)。胶州湾大桥胶州湾大桥47即：使得即：使得W提高，而提高，而A也尽量低，也尽量低， 提高经济效率！提高经济效率！A不变而不变而W提高提高,没有增加成本没有增加成本!所以梁截面一般竖起来放置。所以梁截面一般竖起来放置。maxmaxWMWmax合理截面：合理截面：AW 矩形截面矩形截面bhz 62bhW 62hbW hbz 二、梁的合理截面二、梁的合理截面-提高提高W值值：受载受载M不变！不变！484932D3zW8D 4D/32D/23AWz)1 (8)1 (4/ )1 (32/ 22243aaaDDDAWzDdDdaDz 0)(M中间部分中间部分承担很少的内力，属于材料浪费！承担很少的内力，属于材料浪费！空心圆截面空心圆截面比实心圆截面合理：比实心圆截面合理：合理截面：合理截面：AW受载受载M不变！不变！50的材料的材料(例铸铁例铸铁)，宜采用，宜采用不对称不对称于中性轴的于中性轴的截面截面。两端两端承担很大的内力，所以增加面积！承担很大的内力，所以增加面积！ 工字形工字形截面是由截面是由矩形矩形演变而来演变而来:同样面积同样面积A下下Wz的差异：的差异： ct maxt21maxmaxctctyyzzmaxc1y2y注意注意:F拉拉=F压压 北宋李诫北宋李诫（约公元约公元1060年年-1110年年）于）于1100年著年著营造法式营造法式 一一书中指出书中指出: :圆木锯成的圆木锯成的矩形木梁矩形木梁的合理高宽比的合理高宽比 h/ /b = = 1.5。英英( (T. Young) )于于1807年著年著自然哲学自然哲学与机械技术讲义与机械技术讲义 一书中指出一书中指出: :圆圆木锯成的木锯成的矩形木梁矩形木梁的合理高宽比为的合理高宽比为时，时，强度最大强度最大。 2bhbhd52bhd222bdh ) 1 (6)(6222zbdbbhW0)3(61dd22zbdbW 3db )2( dh32将式（2）代入式（1）得： 2bh解：解：要求锯出的矩形截面梁的弯曲强度 最大，则截面的Wz应最大应最大。例例7 试用弯曲正应力强度证明证明：从圆木圆木（设设d已知已知）锯出的矩形矩形截面梁截面梁合理高宽比为时，强度最大强度最大。2bh53 maxmaxzWM等截面梁：等截面梁：W = 常数常数=bh2/6， )()(maxxWxM)()(xMxW纯弯曲时：纯弯曲时：等截面梁（等截面梁（W = 常数）就是常数）就是等强度梁等强度梁！横力弯曲时横力弯曲时：如为等截面梁，由于如为等截面梁，由于M处处不等，处处不等，处处处处不等，不等，不是等强度梁！不是等强度梁！应该设计成应该设计成变截面梁变截面梁，且各截面上的最大，且各截面上的最大正应力都等于正应力都等于 ：等强度梁等强度梁-在在x方向方向最大弯曲正应力最大弯曲正应力处处相等，处处相等，且为且为。54（绝对值绝对值） 例例6 图示悬臂梁为图示悬臂梁为等强梁等强梁，截面为，截面为矩形矩形，宽度，宽度b = 常数常数，求求高度高度 。)(xhPxlb)(xh解：解： PxxM)()()(maxxWxM)()(PxxMxW6)()(2PxxhbxW6)(bPxxh55已知图示简支梁，已知图示简支梁， , , 选择四种截面梁选择四种截面梁,分别分别求解其求解其尺寸尺寸和和截面面积截面面积 (比较它们的用料）。比较它们的用料）。mkNq/10a160MP qm1m1m4daabb2课后作业课后作业: 课本课本5.31 ， 5.34 共共2题，下周一上课前交。题，下周一上课前交。习题课：习题课：请请3位同学分别做前位同学分别做前3题，下面同学选做题，下面同学选做1题，题，下课前交！下课前交！（a），）， （b），）， （c）56弯曲应力小结、习题讨论弯曲应力小结、习题讨论zzSbISF（2）弯曲切应力弯曲切应力及其及其强度条件：强度条件：maxmaxzWMzzWMIyMmaxmaxmaxmaxzyIM本章主要讨论了本章主要讨论了等截面直梁等截面直梁弯曲时横截面上的弯曲时横截面上的正应力正应力和和切应切应力力，以及相应的，以及相应的强度条件强度条件。 （1）弯曲正应力弯曲正应力及其及其强度条件强度条件：中性轴处！中性轴处！ zzSIbSFmaxmaxmax57 题题1、一简支梁由一简支梁由材料材料及及尺寸相同尺寸相同的两根矩形截面梁的两根矩形截面梁叠合叠合而成而成, 两梁间为两梁间为光滑接触光滑接触,试求当两梁试求当两梁竖叠竖叠时和时和横叠横叠时的时的最大正应力最大正应力。 解：对于解：对于(a)两根矩形截面梁为两根矩形截面梁为光滑接触光滑接触,分别受弯矩而弯曲。分别受弯矩而弯曲。 Wz=Wz1+Wz2=2a(2a)2/6=4a3/3, max=Mmax/Wz=(PL/4)/wz max=(PL/4)/(4a3/3)=3PL/16a3；等同于边长为等同于边长为2a的正方形截面的正方形截面; 对于对于(b)两根矩形截面梁为两根矩形截面梁为光滑接触光滑接触,也分别受弯矩而弯曲。也分别受弯矩而弯曲。 Wz=Wz1+Wz2=2(2a)a2/6=2a3/3, 为图为图a的一半的一半； max=Mmax/Wz=(PL/4)/wz=(PL/4)/(2a3/3)=3PL/8a3； 为边长为为边长为2a的正方形截面的的正方形截面的2倍倍,安全性更差，可通过胶合改进！安全性更差，可通过胶合改进！2/ l2/ lPaaa2za2aaz（a）（b）比较中性轴的位置！比较中性轴的位置！Z1Z258本本 章章 结结 束束