D1-2 数列极限.ppt

二、收敛数列的性质二、收敛数列的性质 一、数列极限的定义一、数列极限的定义 第二节第二节 数列的极限数列的极限“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入1 1、割圆术：、割圆术：“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入1 1、割圆术：、割圆术：“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入R正六边形的面积正六边形的面积1A正十二边形的面积正十二边形的面积2A正正 形的面积形的面积126 nnA,321nAAAAS2 2、截丈问题：、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭一尺之棰，日截其半，万世不竭”;211 X第一天截下的杖长为第一天截下的杖长为;212122 X为为第二天截下的杖长总和第二天截下的杖长总和;2121212nnXn 天截下的杖长总和为天截下的杖长总和为第第nnX211 1二、数列的定义二、数列的定义定义定义:按自然数按自然数, 3 , 2 , 1编号依次排列的一列数编号依次排列的一列数 ,21nxxx (1)称为称为无穷数列无穷数列,简称简称数列数列.其中的每个数称为数其中的每个数称为数列的列的项项,nx称为称为通项通项(一般项一般项).数列数列(1)记为记为nx.例如例如;,2 , 8 , 4 , 2n2n;,21,81,41,21n21n;,)1( , 1 , 1, 11 n)1(1 n;,)1(,34,21, 21nnn )1(1nnn ,333,33, 3 注意：注意：1.数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看作一可看作一动点在数轴上依次取动点在数轴上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx2.数列是整标函数数列是整标函数).(nfxn .)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限三、数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限三、数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限三、数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限三、数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限三、数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限三、数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限三、数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限三、数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限三、数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限三、数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限三、数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限三、数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限三、数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限三、数列的极限问题问题: 当当 无限增大时无限增大时, 是否无限接近于某一是否无限接近于某一确定的数值确定的数值?如果是如果是,如何确定如何确定?nxn通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:. 1)1(1,1无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当nxnnn 对极限仅仅停留于直观的描述和观察是非常不够的对极限仅仅停留于直观的描述和观察是非常不够的.凭观察能判定数列凭观察能判定数列 nnnx)11(的极限是多少吗的极限是多少吗显然不能显然不能问题问题: “无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用如何用数学语言数学语言刻划它刻划它? 1nxnnn11)1(1 ,1001给定给定,10011 n由由,100时时只要只要 n,10011 nx有有,10001给定给定,1000时时只要只要 n,1000011 nx有有,100001给定给定,10000时时只要只要 n,100011 nx有有, 0 给定给定,)1(时时只要只要 Nn.1成立成立有有 nx(epsilon),N1nnNx 一般地，无论给定的正数 多么小总存在着一个正整数，使得当时，不等式都成立。 这就是这就是“当当n无限增大时，无限增大时，xn无限地接近无限地接近于于1”的实质和精确的数学描述。的实质和精确的数学描述。如果数列没有极限如果数列没有极限,就说数列是发散的就说数列是发散的. axn有有,时时当当Nn , 0 , 0 NN 定义定义 采用采用逻辑符号逻辑符号将将axnn lim的定义可缩写为的定义可缩写为:注注 此定义习惯上称为极限的此定义习惯上称为极限的N定义，它用两个定义，它用两个动态指标动态指标和和N刻画了极限的实质，用刻画了极限的实质，用|xna|定量地刻画了定量地刻画了xn 与与a 之间的距离任意小，即任给之间的距离任意小，即任给0标志着标志着“要多小要多小”的要求，用的要求，用n N表示表示n充分充分大。这个定义有三个要素大。这个定义有三个要素 (1)正数正数，(2)正数正数N，(3)不等式不等式|xna|（n N）定义中的定义中的具有具有二重性二重性：一是：一是的的任意性任意性，二是，二是的的相对固定性相对固定性。的二重性体现了的二重性体现了xn 逼近逼近a 时要时要经历一个无限的过程（这个无限过程通过经历一个无限的过程（这个无限过程通过的任意的任意性来实现），但这个无限过程又要一步步地实现，性来实现），但这个无限过程又要一步步地实现，而且每一步的变化都是有限的（这个有限的变化通而且每一步的变化都是有限的（这个有限的变化通过过的相对固定性来实现）。的相对固定性来实现）。 定义中的定义中的N是一个特定的项数，与给定的是一个特定的项数，与给定的有关。有关。重要的是它的重要的是它的存在性存在性，它是在，它是在相对固定后才能确定的，相对固定后才能确定的，且由且由|xna|来选定，一般说来，来选定，一般说来，越小，越小，N越大，越大，但须注意，对于一个固定的但须注意，对于一个固定的，合乎定义要求的，合乎定义要求的N不是不是唯一唯一的。用定义验证的。用定义验证xn 以以a 为极限时，关键在于设法为极限时，关键在于设法由给定的由给定的，求出一个相应的，求出一个相应的N，使当，使当n N时，不等时，不等式式|xna|成立。成立。在证明极限时在证明极限时，n，N之间的逻辑关系如下图所示之间的逻辑关系如下图所示|xna| n N定义中的不等式定义中的不等式|xna| （n N）是指下面）是指下面一串不等式一串不等式 |1axN |2axN |3axN都成立，都成立，而对而对 |1ax |axN则不要求它们一定成立则不要求它们一定成立.由于由于是任意给定的正数，自然是任意给定的正数，自然2,2 3 ， ，也都是任意给定的正数，它们本质上与也都是任意给定的正数，它们本质上与起同样起同样的作用。在以后的学习中，常用到这些等价的形的作用。在以后的学习中，常用到这些等价的形式。式。数列极限的几何意义数列极限的几何意义, 0N 使得使得 N 项以后的所有项项以后的所有项,321 NNNxxx都落在都落在a点的点的邻域邻域内内),( aa因而在这个邻域之外至多能有数列中的有限个点因而在这个邻域之外至多能有数列中的有限个点x a aa 22 Nx1x2x1 Nx3x 这就表明数列这就表明数列xn所对应的点列除了前面有限个所对应的点列除了前面有限个点外都能凝聚在点点外都能凝聚在点a的任意小邻域内，同时也表明数的任意小邻域内，同时也表明数列列xn中的项到一定程度时变化就很微小，呈现出一中的项到一定程度时变化就很微小，呈现出一种稳定的状态，这种稳定的状态就是人们所称谓的种稳定的状态，这种稳定的状态就是人们所称谓的“收敛收敛”。注意：注意： 数列极限的定义只用来证明极限，未给出求数列极限的定义只用来证明极限，未给出求极限的方法极限的方法.若要求极限，首先要先证明极限的若要求极限，首先要先证明极限的存在性，然后才能求极限值。存在性，然后才能求极限值。例例1. 1)1(lim1 nnnn证明证明1)1(1 nnnn1 , 0 ,1 nx要要,1 n只要只要 1n或或所以所以,1 N取取,时时则当则当Nn 1)1(1nnn有有. 1)1(lim1 nnnn即即证证1 nx 虽然是可以任意小的正数虽然是可以任意小的正数,但使用定义证题但使用定义证题时时,对于给定的对于给定的 总暂时认为它是固定的总暂时认为它是固定的,按照这按照这个个 找出使不等式成立的找出使不等式成立的N. , 解不等式解不等式 利用定义验证数列极限，有时遇到的不利用定义验证数列极限，有时遇到的不等式等式|xna|不易考虑，往往采用把不易考虑，往往采用把|xna|放大的方法。若能放大到较简单的式放大的方法。若能放大到较简单的式子，就较容易从一个比较简单的不等式去寻子，就较容易从一个比较简单的不等式去寻找项数指标找项数指标N.放大的原则：放大的原则： 放大后的式子较简单放大后的式子较简单放大后的式子以放大后的式子以0为极限为极限例例2证明数列证明数列 以以 0为为极限极限.）、321(2cos1 nnnxn , 0 证证要使要使02cos10 nnxn由于由于02cos1 nn,1 n只要只要,1 n或或,1 N取取,时时则当则当Nn 有有.02cos1 nn02cos1lim nnn即即 为了简化解不等式的运算为了简化解不等式的运算,常常常把常把 作适当地放大作适当地放大.axn . 2cos1 nnn1 用定义证数列极限存在时用定义证数列极限存在时,关键是任意给关键是任意给定定 寻找寻找N,但不必要求最小的但不必要求最小的N., 0 练习练习 证明证明1lim22 nann证明证明1|1|22 nanxn)(222nanna 2an0 故故2aN则当则当n N时，有时，有2221naann1lim22 nann取取四、数列极限的性质四、数列极限的性质1.有界性有界性例如例如,;1 nnxn数列数列有界有界.2nnx 数列数列无界无界数轴上对应于有界数列的点数轴上对应于有界数列的点nx都落在闭区间都落在闭区间,MM 上上.定理定理1 1 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界. .证证,limaxnn 设设由定义由定义, 1 取取, 1, axNnNn时恒有时恒有使得当使得当则则|1|aaaxaaxxnnn |,|1 ,max1axxMN 记记,Mxnn 皆有皆有则对一切自然数则对一切自然数 .有界有界故故nx注意：注意：有界性是数列收敛的必要条件有界性是数列收敛的必要条件.即 无界数列的极限不存在 . 收敛的数列必有界. 有界的数列不一定收敛. 无界的数列必发散 . 发散的数列不一定无界. . ) 1( :nnx反例)(2.唯一性唯一性定理定理2 2 每个收敛的数列只有一个极限每个收敛的数列只有一个极限. .分析分析直接证明较困难，采用反证法直接证明较困难，采用反证法由数列极限的几何意义，由数列极限的几何意义，时时当当NnN , 0 ),( aaxn 在在a的任一的任一邻域内聚集着邻域内聚集着xn中的无穷多个点，而在中的无穷多个点，而在该邻域之外至多有该邻域之外至多有xn中的有限个点中的有限个点ab)(设数列 xn 收敛, 但其极限不唯一, 不妨设有：证证运用 . ,lim ,limbabxaxnnnn , 0 ,于是 ; | , , 0 11axNnNn时当 ; | , , 0 22bxNnNn时当 , , ,max 21时则当取NnNNN2 | | |bxaxbxxabannnn任意性常数由 的任意性, 上式矛盾, 故 a = b .3. 保号性保号性 , 0 ),0( 0 ,lim Naaaxnn则若 ).0( 0 , nnxxNn有时当证证 , , 0 ,lim 则由极限的定义且设aaxnn有时当时取 , , 0 , 02 NnNa,2 | |aaxn由绝对值不等式的知识, 立即得.20nxaa定理定理3 0 (0) (), nnxx若或从某项起 , lim 存在且axnn . )0( 0 aa则由保号性定理, 运用反证法证明子数列的概念子数列的概念 在数列在数列 xn: x1 , x2 , , xn , 中中, 保持各保持各项原来的先后次序不变项原来的先后次序不变, 自左往右任意选取无穷自左往右任意选取无穷多项所构成的新的数列多项所构成的新的数列, 称为原数列的一个子数称为原数列的一个子数列列, 记为记为 .knx,21knnnxxxknnxxkxxkknnnnkkk 显然显然项，项，中是第中是第在在项，而项，而是第是第中，中，在在4. 4. 子数列的收敛性子数列的收敛性 *,axkn证证: 设数列设数列knx是数列是数列nx的任一子数列的任一子数列 .若若,limaxnn则则,0,N当当 Nn 时时, 有有axn现取正整数现取正整数 K , 使使,NnK于是当于是当Kk 时时, 有有knKnN从而有从而有由此证明由此证明 .limaxknk*NKnNxKnx定理定理4 4若数列若数列 xn 收敛于收敛于a ，则它的任一子数列，则它的任一子数列也收敛，且极限也是也收敛，且极限也是a 这一定理表明的是收敛的数列与其子数列之间这一定理表明的是收敛的数列与其子数列之间的关系。由此可知，若数列的关系。由此可知，若数列xn 有两个子数列收敛有两个子数列收敛于不同的极限值，则于不同的极限值，则xn一定是发散的。一定是发散的。1)1( nnx如如112收收敛敛于于 kx12 收收敛敛于于kx例例5对于数列对于数列xn )(2 kaxk若若)(12 kaxk)( naxn则则证证0 知知由由axkk 2lim时，有时，有使当使当11,KkK |2axk知知再由再由axkk 12lim时，有时，有使当使当22,KkK |12axk12 ,2max21 KKN取取时时则当则当Nn 11222KmKmmn 则则若若此时有此时有 |2axaxmn22121212KmKmmn 则则若若此时有此时有 |12axaxmn总之：总之：0 N 时时使当使当Nn 恒有恒有 |axnaxnn lim即即例例6试证数列试证数列 不收敛不收敛. ncos证证 因为因为 的奇子数列的奇子数列 ncos不收敛不收敛.收敛于收敛于而偶子数列而偶子数列 1,1,1, ncos所以数列所以数列 收敛于收敛于, 1 , 11, 1, 1, 五五.小结小结数列数列: :研究其变化规律研究其变化规律;数列极限数列极限: :极限思想极限思想,精确定义精确定义,几何意义几何意义;收敛数列的性质收敛数列的性质: :有界性唯一性有界性唯一性.数列的极限数列的极限思考题思考题 31 axn, 0 , 0 N“”恒有恒有是数列是数列nx收敛于收敛于a的的( ). A. 充分但非必要条件充分但非必要条件B. 必要但非充分条件必要但非充分条件C. 充分必要条件充分必要条件D. 既非充分也非必要条件既非充分也非必要条件1C 2).(lim,lim2 nnnnaKa则则若若KA.KB 2.2.KCD. 不确定不确定A,时时当当Nn 3. 3. 如何判断极限不存在如何判断极限不存在? ?方法方法1.1. 找一个趋于找一个趋于的子数列的子数列; ;方法方法2.2. 找两个收敛于不同极限的子数列找两个收敛于不同极限的子数列. .4. 4. 已知已知),2, 1(21,111nxxxnn, , 求求nnxlim时时, ,下述作法是否正确下述作法是否正确? ? 说明理由说明理由. .设设,limaxnn由递推式两边取极限得由递推式两边取极限得aa211a不对不对! ! 此处此处nnxlim作业作业习题习题1-2 (301-2 (30页页) )1(2)(4) 3. (2) 5.