2022年高三数学上学期期中质量检测试题理 .pdf

1 江苏省常州市第一中学2017届高三数学上学期期中质量检测试题理一填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共 70 分请把答案直接填写在答题卡相应位置上1. 已知全集1 2 3 4 5U，1 2A，2 3 4B，那么UABe2. 设函数2log,0,( )4 ,0 xxxf xx，则( 1)ff的值为 3. 已知直线 3430 xy与直线 6140 xmy平行，则它们之间的距离是 4. 设, x y满足约束条件24,1,20,xyxyx,则目标函数2zxy的最大值为5. 不等式222log (4)log (3 )xx的解集为 .6. 下列四个命题中（1）若，则sinsin；（2）命题：“21,1xx”的否定是“21,1xx” ；（3）直线20axy与40axy垂直的充要条件为1a；（4） “若0 xy，则0 x或0y”的逆否命题为“若0 x或0y，则0 xy”其中正确的一个命题序号是7. 如图，已知A，B分别是函数f(x) 3sin x( 0)在y轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且AOB2，则该函数的周期是_8在锐角ABC中，2AB，3BC，ABC的面积为3 32，则AC的长为 . 9. 已知两曲线f(x)=cosx,g(x)=3sinx,x(0,2) 相交于点A. 若两曲线在点A处的切线与x轴分别相交于B,C两点，则线段BC的长为 10. 在平面直角坐标系xoy中，,A B为直线3100 xy上的两动点，以AB为直径的圆M恒过坐标原点O，当圆M的半径最小时，其标准方程为Oy x AB名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 21 页 - - - - - - - - - 2 11. 动直线2)20(,)axac ycaR cR（过定点(, ),m n1215xxmn且12xx，则221212xxxx的最小值为12. 已知关于x的不等式240 xxt的解集为A, 若 tA（，则实数t的取值范围是13. 已知Rxxfy的导函数为xf. 若32xxfxf，且当0 x时，23xxf，则不等式13312xxxfxf的解集是 . 14. 已知函数21,12( )1(2),12xxf xf xx若方程( )|1|,()f xa xaR有且仅有两个不相等的实数解，则实数a的取值范围是二、解答题：本大题共6 小题，计 90 分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15.( 本小题满分14 分) 已知02，（ ， ）且1sin(2).3(1) 若23，求sin的值；(2) 若4sin5，求cos的值。16.( 本小题满分14 分) 设ABC是边长为4的正三角形，点123,P PP四等分线段BC（如图所示）（1）P为边BC上一动点，求PA PC的取值范围？（2）Q为线段1AP上一点，若112AQm ABAC，求实数m的值；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 21 页 - - - - - - - - - 3 17.( 本小题满分14 分) 如图，在 P地正西方向8km的 A处和正东方向1km的 B处各有一条正北方向的公路 AC和 BD ，现计划在 AC和 BD路边各修建一个物流中心E和 F，为缓解交通压力，决定修建两条互相垂直的公路PE和 PF，设0)2EPA（1）为减少对周边区域的影响，试确定E,F 的位置，使PAE与PFB面积之和最小；（2）为节省建设成本，试确定E,F 的位置，使PEPF之和最小。18.( 本小题满分16 分) 已知直线220 xy与圆22:40C xyym相交，截得的弦长为2 55（1）求圆C的方程；（2）过点( 1,0)M作圆C的切线，求切线的直线方程；东北DCPBAFE名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 21 页 - - - - - - - - - 4 （3）若抛物线2yx上任意三个不同的点P、 Q 、R，且满足直线PQ和PR都与圆C相切，判断直线 QR 与圆C的位置关系，并加以证明19.( 本小题满分16 分) 设函数2( )(1)f xx x，0 x（1）求( )f x的极值；（2）设0a1，记( )f x在0,a上的最大值为( )F a，求函数( )( )F aG aa的最小值；（3）设函数2( )ln24g xxxxt（t为常数），若使( )g xxm( )fx在(0,)上恒成立的实数m有且只有一个，求实数m和t的值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 21 页 - - - - - - - - - 5 20.( 本小题满分16 分) 设aR，函数( )f xx xaa（1）若( )f x 为奇函数，求a的值；（2）若对任意的2 3x，( )0f x恒成立，求a 的取值范围；（3）当4a时，求函数( )yff xa零点的个数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 21 页 - - - - - - - - - 6 常州市第一中学2017 届高三数学期中质量检测附加题注意事项：1附加题供选修物理的考生使用2本试卷共40 分，考试时间30 分钟3答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内考试结束后，交回答题卡21 【选做题】在B、C、D四小题中只能选做2 题，每小题 10 分，共计 20 分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤B选修 42：矩阵与变换已知变换T：yyxyxyx2，试写出变换T对应的矩阵A，并求出其逆矩阵1A. C选修 44：坐标系与参数方程在极坐标系中，极点为O,点 A的极坐标为26（ ， ），以 OA为斜边作等腰直角三角形OAB （其中 O,A,B按逆时针方向分布）（1）求点 B的极坐标；（2）求三角形OAB外接圆的极坐标方程。D选修 45：不等式选讲已知正实数, ,a b c为三角形的三边长，求证：2cababbcca名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 21 页 - - - - - - - - - 7 22 （本小题满分10 分）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2. （I ）求证：EG平面ADF；（II ）求二面角O-EF-C的正弦值；（III）设H为线段AF上的点，且AH=23HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 21 页 - - - - - - - - - 8 23 （本小题满分10 分）已知mmmyx2) 12(，其中m，mx，Nym. （1）求证：my为奇数；（2）定义： x 表示不超过实数x的最大整数 . 已知数列na的通项公式为2nan, . 求证：存在na的无穷子数列nb，使得对任意的正整数n，均有nb除以 4 的余数为1. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 21 页 - - - - - - - - - 9 常州一中 2017 届高三理科数学11 月质量检测二填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共 70 分请把答案直接填写在答题卡相应位置上1. 已知全集1 2 3 4 5U，1 2A，2 3 4B，那么UABe1 2 5， ，考点： 集合的运算2. 设函数2log,0,( )4 ,0 xxxf xx，则( 1)ff的值为 2考点： 指对数函数3. 已知直线 3430 xy与直线 6140 xmy平行，则它们之间的距离是 2 考点：两条 平行线距离计算4. 设, x y满足约束条件24,1,20,xyxyx,则目标函数2zxy的最大值为3 考点： 线性规划5. 不等式222log (4)log (3 )xx的解集为 . 考点： 对数不等式6. 下列四个命题中（1）若，则sinsin；（2）命题：“21,1xx”的否定是“21,1xx” ；（3）直线20axy与40axy垂直的充要条件为1a；（4） “若0 xy，则0 x或0y”的逆否命题为“若0 x或0y，则0 xy”其中正确的一个命题序号是（3）考点： 命题的否定，逆否命题，充要条件7. 如图，已知A，B分别是函数f(x) 3sin x( 0) 在y轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且AOB2，则该函数的周期是_4 考点： 三角函数的周期8在锐角ABC中，2AB，3BC，ABC的面积为3 32，则AC的长为 .7Oy x AB名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 21 页 - - - - - - - - - 10 考点： 解三角形9. 已知两曲线f(x)=cosx,g(x)=3sinx,x(0,2) 相交于点A. 若两曲线在点A处的切线与x轴分别相交于B,C两点，则线段BC的长为 4 33考点： 导数的应用10. 在平面直角坐标系xoy中，,A B为直线3100 xy上的两动点，以AB为直径的圆M恒过坐标原点O，当圆M的半径最小时，其标准方程为10)1()3(22yx考点： 圆的方程11. 动直线2)20(,)axac ycaR cR（过定点(, ),m n1215xxmn且12xx，则221212xxxx的最小值为16 考点： 定点，不等式求最值12. 已知关于x的不等式240 xxt的解集为A, 若 tA（，则实数t的取值范围是0 ，4 考点： 对数不等式13. 已知Rxxfy的导函数为xf. 若32xxfxf，且当0 x时，23xxf，则不等式13312xxxfxf的解集是 .),21(考点： 导数的应用14. 已知函数21,12( )1(2),12xxf xf xx若方程( )|1|,()f xa xaR有且仅有两个不相等的实数解，则实数a的取值范围是。1 10,)378 6（，考点： 函数零点二、解答题：本大题共6 小题，计 90 分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 21 页 - - - - - - - - - 15.( 本小题满分14 分) 已知02，（ ， ）且1sin(2).3(3) 若23，求sin的值；(4) 若4sin5，求cos的值。考点： 两角和与差的三角公式16.( 本小题满分14 分) 设ABC是边长为4的正三角形，点123,P PP四等分线段BC（如图所示）（3）P为边BC上一动点，求PA PC的取值范围？（4）Q为线段1AP上一点，若112AQm ABAC，求实数m的值；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 21 页 - - - - - - - - - 12 考点： 向量数量积与平面向量基本定理17.( 本小题满分14 分) 如图，在 P地正西方向8km的 A处和正东方向1km的 B处各有一条正北方向的公路 AC和 BD ，现计划在 AC和 BD路边各修建一个物流中心E和 F，为缓解交通压力，决定修建两条互相垂直的公路PE和 PF，设0)2EPA（1）为减少对周边区域的影响，试确定E,F 的位置，使PAE与PFB面积之和最小；（2）为节省建设成本，试确定E,F 的位置，使PEPF之和最小。考点：应用题东北DCPBAFE名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 21 页 - - - - - - - - - 13 18.( 本小题满分16 分) 已知直线220 xy与圆22:40C xyym相交，截得的弦长为2 55（1）求圆C的方程；（2）过点( 1,0)M作圆C的切线，求切线的直线方程；（3）若抛物线2yx上任意三个不同的点P、 Q 、R，且满足直线PQ和PR都与圆C相切，判断直线 QR 与圆C的位置关系，并加以证明考点： 圆方程，圆的切线，直线与圆位置关系18解：（ 1）(0, 2)C圆心C到直线220 xy的距离为|042 |255d，截得的弦长为2 5522225()()155r圆C的方程为：22(2)1xy4 分（2）（3）直线QR与圆C相切证明如下：设222( ,),( ,),( ,)P a aQ b bR c c，则直线PQ、PR、QR的方程分别为：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 21 页 - - - - - - - - - 14 PQ：()0ab xyab，PR：()0ac xyac；QR：()0bc xybcPQ是圆C的切线2| 2|1()1abab，化简得：222(1)230ababaPR是圆C的切线，同理可得：222(1)230acaca 12 分则,b c为方程222(1)230axaxa的两个实根22223,11aabcbcaa圆心到直线QR的距离为：2222242223|2| 2|111()14211(1)abcaadrbcaaaa直线QR与圆C相切16 分19.( 本小题满分16 分) 设函数2( )(1)f xx x，0 x（1）求( )f x的极值；（2）设0a1，记( )f x在0,a上的最大值为( )F a，求函数( )( )F aG aa的最小值；（3）设函数2( )ln24g xxxxt（t为常数），若使( )g xxm( )fx在(0,)上恒成立的实数m有且只有一个，求实数m和t的值考点： 导数的应用名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 21 页 - - - - - - - - - 15 20.( 本小题满分16 分) 设aR，函数( )f xx xaa名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 21 页 - - - - - - - - - 16 （1）若( )f x 为奇函数，求a的值；（2）若对任意的2 3x，( )0f x恒成立，求a 的取值范围；（3）当4a时，求函数( )yff xa零点的个数考点： 奇函数，恒成立问题，零点。解： （1）若( )f x 为奇函数，则()( )fxf x ，令0 x得，(0)(0)ff，即(0)0f，所以0a，此时( )f xx x 为奇函数 4 分（2）因为对任意的2 3x，( )0f x 恒成立，所以min( )0f x当0a时，对任意的2 3x， ，( )0f xx xaa恒成立，所以0a； 6 分当0a时，易得22( )xaxa xaf xxaxaxa， 在2a，上是单调增函数，在2aa，上是单调减函数，在a，上是单调增函数，当 02a时，min( )(2)2(2)0f xfaa，解得43a，所以43a；当 23a时，min( )( )0f xf aa，解得0a，所以a不存在；当3a时，min( )min(2)(3)min 2(2)3(3)0f xffaaaa，=， ，解得92a，所以92a；综上得，43a或92a 10 分（3）设( )( )F xff xa ， 令( )tfxax xa则( )yf tt taa，4a，第一步，令( )0f tt taa，所以，当ta时，20tata，判别式(4)0a a，解得2142aaat，2242aaat； 当 ta时，由( )0f t得，即()t taa ，解得2342aaat；第二步，易得12302attat ，且24aa，若1x xat ，其中2104at，当xa时，210 xaxt，记21( )p xxaxt ，因为对称轴2axa ，1( )0p at，且21140at，所以方程210tatt有 2 个不同的实根；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 21 页 - - - - - - - - - 17 当 xa时，210 xaxt，记21( )q xxaxt ，因为对称轴2axa ，1( )0q at，且22140at，所以方程210 xaxt有 1 个实根，从而方程1x xat 有 3 个不同的实根； 若2x xat ，其中2204at，由知，方程2x xat 有 3 个不同的实根； 若3x xat ，当xa时，230 xaxt，记23( )r xxaxt ，因为对称轴2axa ，3( )0r at，且23340at，所以方程230 xaxt有 1 个实根；当xa时，230 xaxt，记23( )s xxaxt，因为对称轴2axa，3( )0s at，且2334at ，2340at324160aa， 14 分记32( )416m aaa，则( )(38)0m aaa，故( )m a 为 (4)，上增函数，且(4)160m，(5)90m，所以( )0m a有唯一解，不妨记为0a ，且0(45)a，若04aa ，即30，方程230 xaxt有 0 个实根；若0aa ，即30 ，方程230 xaxt有 1 个实根；若0aa ，即30 ，方程230 xaxt有 2 个实根，所以，当04aa 时，方程3x xat 有 1 个实根；当0aa 时，方程3x xat 有 2 个实根；当0aa 时，方程3x xat 有 3 个实根综上，当04aa 时，函数( )yff xa 的零点个数为7；当0aa 时，函数( )yff xa 的零点个数为8；当0aa 时，函数( )yff xa 的零点个数为9 16 分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 21 页 - - - - - - - - - 18 数学附加题注意事项：1附加题供选修物理的考生使用2本试卷共40 分，考试时间30 分钟3答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内考试结束后，交回答题卡21 【选做题】在B、C、D四小题中只能选做2 题，每小题10 分，共计 20 分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤B选修 42：矩阵与变换已知变换T：yyxyxyx2，试写出变换T对应的矩阵A，并求出其逆矩阵1A. 解：由yxyxyx1021，得1021A. 设ddcbaA1，则10012210211dcdbcadcbaAAd，所以100212dcdbca，解得1021dcba，所以10211A. 考点： 矩阵变换与逆矩阵C选修 44：坐标系与参数方程在极坐标系中，极点为O,点 A的极坐标为26（ ， ），以 OA为斜边作等腰直角三角形OAB （其中 O,A,B按逆时针方向分布）（3）求点 B的极坐标；（4）求三角形外接圆的极坐标方程。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 21 页 - - - - - - - - - 19 考点：点的极坐标圆的极坐标方程D选修 45：不等式选讲已知正实数, ,a b c为三角形的三边长，求证：2cababbcca考点：不等式证明放缩法22 （本小题满分10 分）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2. （I ）求证：EG平面ADF；（II ）求二面角O-EF-C的正弦值；（III）设H为线段AF上的点，且AH=23HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值. 试题解析：依题意，OFABCD平面，如图，以O为点，分别以,AD BA OF的方向为x轴，y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得(0,0,0)O，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 21 页 - - - - - - - - - 20 1,1,0 ,( 1, 1,0),(1 , 1,0),(11,0),( 1, 1,2),(0,0,2),( 1,0,0)ABCDEFG，. （I ）证明：依题意，(2,0,0),1, 1,2ADAF. 设1, ,nx y z为平面ADF的法向量，则1100nADnAF，即2020 xxyz . 不妨设1z，可得10, 2,1n，又0,1,2EG，可得10EG n，又因为直线EGADF平面，所以/ /EGADF平面. （II ）解：易证，1,1,0OA为平面OEF的一个法向量 . 依题意，1,1,0 ,1,1,2EFCF.设2, ,nx y z为平面CEF的法向量， 则2200nEFnCF，即020 xyxyz . 不妨设1x，可得21, 1,1n. 因此有2226cos,3OA nOA nOAn，于是23sin,3OA n，所以，二面角OEFC的正弦值为33. 考点：利用空间向量解决立体几何问题23 （本小题满分10 分）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 21 页 - - - - - - - - - 21 已知mmmyx2) 12(，其中m，mx，Nym. （1）求证：my为奇数；（2）定义： x 表示不超过实数x的最大整数 . 已知数列na的通项公式为2nan. 求证：存在na的无穷子数列nb，使得对任意的正整数n，均有nb除以 4 的余数为1. 23、证明：（1）由)2(2)()12)(2() 12(1mmmmmmmyxyxyx得mmmyxy21，即1my与my同奇偶，而当1m时，11y为奇数，所以my均为奇数 . （2）由二项式定理可得：mmmyx2) 12(，所以1222mmyx，即22212mmmyyx，所以2222224) 1() 1(2mmmmmmyyyyxy，从而有1222mmmmyyxy，令mmyxn，则222mmmnyyxnb，由（ 1）知，my为奇数，所以nb除以 4 的余数均为1. 考点：二项式定理的应用名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 21 页，共 21 页 - - - - - - - - -