2022年高考数学试题分类汇编专题立体几何 .pdf
学习好资料欢迎下载1.【2015 高考浙江， 文 4】设，是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l，m（）A若l，则B若，则lmC若/l，则/D若/，则/l m【答案】 A 【解析】采用排除法，选项A 中，平面与平面垂直的判定，故正确；选项B 中，当时，, l m可以垂直，也可以平行，也可以异面；选项C 中，/l时，,可以相交；选项D 中，/时，, l m也可以异面 .故选 A. 【考点定位】直线、平面的位置关系. 【名师指点】本题主要考查空间直线、平面的位置关系.解答本题时要根据空间直线、平面的位置关系，从定理、公理以及排除法等角度，对个选项的结论进行确认真假.本题属于容易题，重点考查学生的空间想象能力以及排除错误结论的能力. 2.【2015 高考新课标1，文 6】 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“ 今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？” 其意思为： “ 在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一） ，米堆底部的弧长为8 尺，米堆的高为5 尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？” 已知 1 斛米的体积约为1.62 立方尺， 圆周率约为3，估算出堆放的米有（）（A）14斛（B）22斛（C）36斛（D）66斛【答案】 B 【 解 析 】设 圆 锥 底 面 半 径 为r ， 则12384r， 所 以163r， 所 以 米 堆 的 体 积 为211163()5433=3209，故堆放的米约为32091.62 22，故选 B.【考点定位】圆锥的性质与圆锥的体积公式【名师指点】本题以九章算术中的问题为材料，试题背景新颖，解答本题的关键应想到米堆是14圆锥，底面周长是两个底面半径与14圆的和，根据题中的条件列出关于底面半径的方程，解出底面半径，是基础题. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 30 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载3.【2015 高考浙江，文2】某几何体的三视图如图所示（单位：cm） ，则该几何体的体积是（）A83cmB123cmC3233cmD4033cm【答案】 C 【解析】 由三视图可知， 该几何体是一个棱长为2的正方体与一个底面边长为2，高为2的正四棱锥的组合体，故其体积为32313222233Vcm.故选 C. 【考点定位】1.三视图； 2.空间几何体的体积. 【名师指点】本题主要考查空间几何体的体积.解答本题时要能够根据三视图确定该几何体的结构特征，并准确利用几何体的体积计算方法计算求得体积.本题属于中等题，重点考查空间想象能力和基本的运算能力. 4.【2015 高考重庆，文5】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）(A)123(B) 136(C) 73(D) 52【答案】 B 【解析】由三视图可知该几何体是由一个底面半径为1，高为 2 的圆柱，再加上一个半圆锥：其底面半径为1，高也为1，构成的一个组合体，故其体积为61311612122，故选 B. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 30 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载【考点定位】三视图及柱体与锥体的体积. 【名师指点】本题考查三视图的概念和组合体体积的计算，采用三视图还原成直观图，再利用简单几何体的体积公式进行求解.本题属于基础题，注意运算的准确性. 5. 【 2015 高考陕西，文5】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A3B4C24D34【答案】D【解析】由几何体的三视图可知该几何体为圆柱的截去一半，所以该几何体的表面积为21121222342，故答案选D【考点定位】1. 空间几何体的三视图；2. 空间几何体的表面积. 【名师指点】 1.本题考查空间几何体的三视图及几何体的表面积，意在考查考生的识图能力、空间想象能力以及技术能力；2.先根据三视图判断几何体的结构特征，再计算出几何体各个面的面积即可；3.本题属于基础题，是高考常考题型. 6. 【 2015 高考广东，文6】若直线1l和2l是异面直线，1l在平面内，2l在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是（）Al至少与1l，2l中的一条相交Bl与1l，2l都相交Cl至多与1l，2l中的一条相交Dl与1l，2l都不相交【答案】 A 【解析】若直线1l和2l是异面直线，1l在平面内，2l在平面内，l是平面与平面的交线，则l至少与1l，2l中的一条相交，故选A【考点定位】空间点、线、面的位置关系名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 30 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载【名师指点】本题主要考查的是空间点、线、面的位置关系，属于容易题解题时一定要注意选项中的重要字眼“至少” 、 “至多”， 否则很容易出现错误解决空间点、线、面的位置关系这类试题时一定要万分小心，除了作理论方面的推导论证外，利用特殊图形进行检验，也可作必要的合情推理7.【2015 高考浙江，文7】如图，斜线段与平面所成的角为60，为斜足，平面上的动点满足30，则点的轨迹是（）A直线B抛物线C椭圆D双曲线的一支【答案】 C 【解析】由题可知，当点运动时，在空间中，满足条件的绕旋转形成一个圆锥，用一个与圆锥高成60角的平面截圆锥，所得图形为椭圆.故选 C. 【考点定位】1.圆锥曲线的定义；2.线面位置关系 . 【名师指点】本题主要考查圆锥曲线的定义以及空间线面的位置关系.解答本题时要能够根据给出的线面位置关系，通过空间想象能力，得到一个无限延展的圆锥被一个与之成60角的平面截得的图形是椭圆的结论.本题属于中等题，重点考查学生的空间想象能力以及对圆锥曲线的定义的理解. 8.【2015 高考湖北，文5】12,l l 表示空间中的两条直线，若p：12,l l 是异面直线；q：12,l l 不相交，则（）A p 是 q 的充分条件，但不是q 的必要条件Bp 是 q 的必要条件，但不是q 的充分条件C p 是 q 的充分必要条件D p 既不是 q 的充分条件，也不是q 的必要条件【答案】A. 【解析】若p：12,l l 是异面直线，由异面直线的定义知，12,l l 不相交，所以命题q：12,l l 不相交成立，即p是 q 的充分条件；反过来，若q：12,l l 不相交，则12,l l 可能平行，也可能异面，所以不能推出12,l l 是异面直线，即 p 不是 q 的必要条件，故应选A. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 30 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载【考点定位】本题考查充分条件与必要条件、异面直线，属基础题. 【名师指点】以命题与命题间的充分条件与必要条件为契机，重点考查空间中直线的位置关系，其解题的关键是弄清谁是谁的充分条件谁是谁的必要条件，正确理解异面直线的定义，注意考虑问题的全面性、准确性 . 9、 【 2015 高考新课标1，文 11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620，则r( ) （A）1（B）2（C）4（D）8【答案】 B 【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r，圆柱的高为2r，其表面积为22142222rrrrrr=2254rr=16 + 20，解得 r=2，故选 B.【考点定位】简单几何体的三视图；球的表面积公式；圆柱的测面积公式【名师指点】本题考查简单组合体的三视图的识别，是常规提，对简单组合体三三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状，再根据“长对正，宽相等，高平齐”的法则组合体中的各个量. 10.【2015 高考福建， 文 9】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（）A82 2B1122C142 2D15【答案】 B 【解析】由三视图还原几何体，该几何体是底面为直角梯形，高为2的直四 棱柱，且底面直角梯形的两底分别为12，直角腰长为1，斜腰为2底面积为12332，侧面积为2+2+4+22=8+22，所以该几何体的表面积为1122，故选 B【考点定位】三视图和表面积【名师指点】 本题考查三视图和表面积计算，关键在于根据三视图还原体，要掌握常见几何体的三视图，比如三棱柱、三棱锥、圆锥、四棱柱、四棱锥、圆锥、球、圆台以及其组合体，并且要弄明白几何体的尺寸跟三视图尺寸的关系；有时候还可以利用外部补形法，将几何体补成长方体或者正方体等常见1112名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 30 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载几何体，属于中档题11.【2015 高考山东，文9】已知等腰直角三角形的直角边的长为，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) （A）2 23（B）423（）22（）4 2【答案】B【解析】由题意知，该等腰直角三角形的斜边长为2 2，斜边上的高为2，所得旋转体为同底等高的全等圆锥，所以，其体积为214 2( 2)22,33，故选B. 【考点定位】1.旋转体的几何特征；2.几何体的体积 .【名师指点】本题考查了旋转体的几何特征及几何体的体积计算，解答本题的关键，是理解所得旋转体的几何特征，确定得到计算体积所需要的几何量. 本题属于基础题，在考查旋转体的几何特征及几何体的体积计算方法的同时，考查了考生的空间想象能力及运算能力，是“无图考图”的一道好题. 12.【2015 高考湖南，文10】某工作的三视图如图3 所示，现将该工作通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工作的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积 /原工件的体积） （）A、89B、827C、224(21)D、28(21)【答案】 A 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 30 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载【考点定位】三视图、基本不等式求最值、圆锥的内接长方体【名师指点】运用基本不等式求最值要紧紧抓住“一正二定三相等”条件，本题“和为定”是解决问题的关键 .空间想象能力是解决三视图的关键，可从长方体三个侧面进行想象几何体.求组合体的体积，关键是确定组合体的组成形式及各部分几何体的特征，再结合分割法、补体法、转化法等方法求体积. 13. 【2015 高考北京，文7】某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）A1 B2 C3 D2【答案】 C 【解析】四棱锥的直观图如图所示：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 30 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载由三视图可知，SC平面CD，S是四棱锥最长的棱，222223SASCACSCABBC，故选 C.【考点定位】三视图. 【名师指点】本题主要考查的是三视图，属于容易题解题时一定要抓住三视图的特点，否则很容易出现错误本题先根据三视图判断几何体的结构特征，再计算出几何体中最长棱的棱长即可14【 2015 高考安徽，文9】一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）（A）13（B）122（C）23（D）2 2【答案】 C【解析】由该几何体的三视图可知，该几何体的直观图，如下图所示：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 30 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载其中侧面PAC底面 ABC，且PACABC，由三视图中所给数据可知：2BCABPCPA,取AC中点,O连接BOPO,，则POBRt中，1BOPO2PB3222212432S，故选 C. 【考点定位】本题主要考查空间几何体的三视图、锥体表面积公式. 【名师指点】在利用空间几何体的三视图求几何体的体积或者表面积时，一定要正确还原几何体的直观图，然后再利用体积或表面积公式求之；本题主要考查了考生的空间想象力和基本运算能力. 【2015 高考上海，文6】若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为316，则a . 【答案】 4 【解析】依题意，3162321aaa，解得4a. 【考点定位】等边三角形的性质，正三棱柱的性质. 【名师指点】正三棱柱的底面是正三角形，侧棱垂直于底面. 柱体的体积等于底面积乘以高. 边长为a的正三角形的面积为243a. 15.【2015 高考天津，文10】一个几何体的三视图如图所示（单位:m）,则该几何体的体积为3m. 【答案】83【解析】该几何体是由两个高为1 的圆锥与一个高为2 的圆柱组合而成,所以该几何体的体积为3182 1 2(m )33. 【考点定位】本题主要考查三视图及几何体体积的计算. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 30 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载【名师指点】由于三视图能有效的考查学生的空间想象能力,所以以三视图为载体的立体几何题基本上是高考每年必考内容,高考试题中三视图一般常与几何体的表面积与体积交汇.由三视图还原出原几何体,是解决此类问题的关键. 16.【2015 高考四川，文14】在三棱住ABCA1B1C1中， BAC90，其正视图和侧视图都是边长为 1的正方形，俯视图是直角边长为1 的等腰直角三角形，设点M，N，P 分别是 AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥 PA1MN 的体积是 _. 【答案】124【解析】由题意，三棱柱是底面为直角边长为1的等腰直角三角形，高为 1 的直三棱柱，底面积为12如图，因为AA1PN，故 AA1面 PMN，故三棱锥PA1MN 与三棱锥 PAMN 体积相等，三棱锥 PAMN 的底面积是三棱锥底面积的14，高为 1 故三棱锥PA1MN 的体积为111132424【考点定位】本题主要考查空间几何体的三视图、直观图及空间线面关系、三棱柱与三棱锥的体积等基础知识，考查空间想象能力、图形分割与转换的能力，考查基本运算能力. 【名师指点】解决本题，首先要正确画出三棱柱的直观图，包括各个点的对应字母所在位置，结合条件，三棱锥 PA1MN 的体积可以直接计算，但转换为三棱锥PAMN 的体积， 使得计算更为简便，基本上可以根据条件直接得出结论.属于中档偏难题. 17. 【2015 高考安徽，文 19】 如图，三棱 锥 P-ABC 中，PA平面 ABC，1,1,2,60PAABACBACo. （）求三棱锥P-ABC 的体积；（）证明：在线段PC 上存在点 M，使得 ACBM，并求PMMC的值 . A1 ABCC1 B1 MNP名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 30 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载【答案】（）36（）13PMMC【解析】（）解：由题设AB1,2AC60BAC可得ABCS60sin21ACAB23. 由PA面ABC可知PA是三棱锥ABCP的高 ,又1PA所以三棱锥ABCP的体积6331PASVABC（）证：在平面ABC内，过点 B 作ACBN，垂足为N，过N作PAMN /交PC于M，连接BM. 由PA面ABC知ACPA，所以ACMN.由于NMNBN，故AC面MBN，又BM面MBN，所以BMAC. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 30 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载在 直 角BAN中 ，21c o sB A CABAN， 从 而23ANACNC. 由PAMN /， 得31NCANMCPM. 【考点定位】本题主要考查锥体的体积公式、线面垂直的判定定理和其性质定理. 【名师指点】本题将正弦定理求三角形的面积巧妙地结合到求锥体的体积之中，本题的第（）问需要学生构造出线面垂直，进而利用性质定理证明出面面垂直，本题考查了考生的空间想象能力、构造能力和运算能力 . 18. 【2015 高考北京，文18】 （本小题满分14 分）如图，在三棱锥VC中，平面V平面C，V为等边三角形，CC且CC2，分别为，V的中点（I ）求证：V/平面C；（II ）求证：平面C平面V；（III）求三棱锥VC的体积【答案】（I ）证明详见解析； （II ）证明详见解析； （III ）33. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 30 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载（）因为ACBC，O为的中点，所以OCAB. 又因为平面V平面C，且OC平面C，所以OC平面V. 所以平面C平面V.（）在等腰直角三角形ACB中，2ACBC，所以2,1ABOC. 所以等边三角形V的面积3VABS. 又因为OC平面V，所以三棱锥CV的体积等于1333VABOCS. 又因为三棱锥VC的体积与三棱锥CV的体积相等，所以三棱锥VC的体积为33.考点：线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积公式. 【名师指点】本题主要考查的是线面平行、面面垂直和几何体的体积，属于中档题证明线面平行的关键是证明线线平行，证明线线平行常用的方法是三角形的中位线和构造平行四边形证明面面垂直的关键是名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 30 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载证明线面垂直，证明线面垂直可由面面垂直得到，但由面面垂直得到线面垂直一定要注意找两个面的交线，否则很容易出现错误求几何体的体积的方法主要有公式法、割补法、等积法等，本题求三棱锥的体积，采用了等积法19.【2015 高考福建，文20】如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于,A B的点，垂直于圆所在的 平面，且1（）若D为线段AC的中点，求证C平面D；（）求三棱锥PABC体积的最大值；（）若2BC，点E在线段PB上，求CEOE的最小值【答案】（）详见解析； （）13； （）262【解析】解法一： （I）在C中，因为C，D为C的中点，所以CD又垂直于圆所在的平面，所以C因为D，所以C平面D（II）因为点C在圆上，所以当C时，C到的距离最大，且最大值为1又2，所以C面积的最大值为12 112又因为三棱锥C的高1，故三棱锥C体积的最大值为111 133（III ）在中，1，90，所以22112名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 30 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载同理C2，所以CC在三棱锥C中，将侧面C绕旋转至平面C，使之与平面共面，如图所示当，C共线时，C取得最小值又因为，CC，所以C垂直平分，即为中点从而2626CC222，亦即C的最小值为262OABP解法二：（I） 、 （II）同解法一（III ）在中，1，90，所以45，22112同理C2所以CC，所以C60在三棱锥C中，将侧面C绕旋转至平面C，使之与平面共面，如图所示当，C共线时，C取得最小值所以在C中，由余弦定理得：2C122 12cos 456021231222222223从而26C232名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 30 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载所以C的最小值为262【考点定位】1、直线和平面垂直的判定；2、三棱锥体积【名师指点】证明直线和平面垂直可以利用判定定理，即线线垂直到线面垂直；也可以利用面面垂直的性质定理，即面面垂直到线面垂直；决定棱锥体积的量有两个，即底面积和高，当研究其体积的最值问题时，若其中有一个量确定，则只需另一个量的最值；若两个量都不确定，可通过设变量法，将体积表示为变量的函数解析式，利用函数思想确定其最值；将空间问题转化为平面问题是转化思想的重要体现，通过旋转到一个平面内，利用两点之间距离最短求解20. 【2015 高考广东，文18】 （本小题满分14 分）如图3，三角形DC所在的平面与长方形CD所在的平面垂直，DC4，6，C3（1）证明：C/平面D；（2）证明：CD；（3）求点C到平面D的距离【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）3 72【解析】试题分析：（ 1）由四边形CD是长方形可证C/ D，进而可证C/平面D； （2）先证CCD，再证C平面DC， 进而可证CD；（3） 取CD的中点， 连结和， 先证平面CD，再设点C到平面D的距离为h，利用CDCDVV三棱锥三棱锥可得h的值，进而可得点C到平面D的距离试题解析：（1）因为四边形CD是长方形，所以C/D，因为C平面D，D平面D，所以C/平面D（ 2）因为四边形CD是长方形，所以CCD，因为平面DC平面CD，平面DC平面CDCD，C平面CD，所以C平面DC，因为D平面DC，所以CD名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 30 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载（3） 取CD的中点， 连结和， 因为DC， 所以CD， 在R tD中，22DD22437，因为平面DC平面CD，平面DC平面CDCD，平面DC，所以平面CD，由（ 2）知：C平面DC，由（ 1）知：C/ D，所以D平面DC，因为D平面DC，所以DD，设点C到平面D的距离为h，因为CDCDVV三棱锥三棱锥，所以DCD1133ShS，即CDD13 673 7212342ShS，所以点C到平面D的距离是3 72【考点定位】1、线面平行； 2、线线垂直； 3、点到平面的距离. 【名师指点】 本题主要考查的是线面平行、线线垂直和点到平面的距离，属于中档题证明线面平行的关键是证明线线平行，证明线线平行常用的方法是三角形的中位线和构造平行四边形证明线线垂直的关键是证明线面垂直，证明线面垂直可由面面垂直得到， 但由面面垂直得到线面垂直一定要注意找两个面的交线，否则很容易出现错误点到平面的距离是转化为几何体的体积问题，借助等积法来解决21.【2015 高考湖北，文20】 九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑. 在如图所示的阳马PABCD中，侧棱PD底面ABCD，且 PDCD ，点E是PC的中点，连接,DEBD BE . （）证明：DE平面PBC. 试判断四面体EBCD是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论） ；若不是，请说明理由；（）记阳马PABCD的体积为1V ，四面体EBCD的体积为2V ，求12VV的值【 答 案】（ ）因 为PD底 面ABCD， 所 以PDBC. 由底 面ABCD为 长方 形 ， 有BCCD， 而PDCDD，所以BC平面PCD. DE平面PCD，所以BCDE. 又因为 PDCD ，点E是PC的中点，所以DEPC. 而 PCBCC ，所以DE平面PBC.四面体EBCD是一个鳖臑；（）124.VV【解析】（）因为PD底面ABCD，所以PDBC. 由底面ABCD为长方形，有BCCD，而名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 30 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载PDCDD ，所以BC平面PCD. DE平面PCD，所以BCDE. 又因为 PDCD ，点E是PC的中点，所以DEPC. 而 PCBCC ，所以DE平面PBC. 由BC平面PCD，DE平面PBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD是一个鳖臑，其四个面的直角分别是,.BCDBCEDECDEB（）由已知，PD是阳马PABCD的高，所以11133ABCDVSPDBC CDPD ；由（）知，DE是鳖臑DBCE的高，BCCE，所以21136BCEVSDEBC CEDE .在RtPDC中，因为PDCD，点E是PC的中点，所以22DECECD ，于是121234.16BC CDPDVCD PDVCE DEBC CEDE【考点定位】本题考查直线与平面垂直的判定定理、直线与平面垂直的性质定理和简单几何体的体积，属中高档题 . 【名师指点】以九章算术为背景，给予新定义，增添了试题的新颖性，但其实质仍然是考查线面垂直与简单几何体的体积计算，其解题思路：第一问通过线线、线面垂直相互之间的转化进行证明，第二问关键注意底面积和高之比，运用锥体的体积计算公式进行求解. 结合数学史料的给予新定义，不仅考查学生解题能力，也增强对数学的兴趣培养，为空间立体几何注入了新的活力. 22.【2015 高考湖南，文18】 （本小题满分12 分）如图4，直三棱柱111ABCA B C的底面是边长为2 的正三角形，,E F分别是1,BC CC的中点。（I）证明：平面AEF平面11B BCC；（II）若直线1AC与平面11A ABB所成的角为45，求三棱锥FAEC的体积。【答案】（I）略； (II)612. 【解析】名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 30 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载试题分析：（I）首先证明1AEBB，AEBC，得到AE平面11B BCC，利用面面垂直的判定与性质定理可得平面AEF平面11B BCC； (II)设 AB 的中点为D,证明直线1CA D直线1A C与平面11A ABB所成的角，由题设知145CA D，求出棱锥的高与底面面积即可求解几何体的体积. 试题解析：（I）如图，因为三棱柱111ABCA B C是直三棱柱，所以1AEBB，又E是正三角形ABC的边BC的中点，所以AEBC，因此AE平面11B BCC，而AE平面AEF，所以平面AEF平面11B BCC。（II） 设AB的中点为D， 连接1,A D CD， 因为ABC是正三角形， 所以CDAB， 又三棱柱111ABCA B C是直三棱柱，所以1CDAA，因此CD平面11A AB B，于是1CA D直线1A C与平面11A ABB所成的角，由题设知145CA D，所以1A DCD333AB，在1Rt AA D中，22113 12AAADAD，所以11222FCAA故三棱锥FAEC的体积11326332212AECVSFC。【考点定位】柱体、椎体、台体的体积；面面垂直的判定与性质【名师指点】证明面面垂直的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质，注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵活利用，这是证明空间垂直关系的基础由于“ 线线垂直 ”“ 线面垂直 ”“ 面面垂直 ” 之间可以相名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 30 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在求锥的体积关键在于确定其高，即确定线面垂直.23.【2015 高考山东，文18】如图，三棱台DEFABC中，2ABDEGH， ，分别为ACBC，的中点. （I）求证：/ /BD平面FGH；（II）若CFBCABBC，求证：平面BCD平面EGH. 【答案】证明见解析【解析】（I）证法一：连接,.DG CD设CDGFM,连接MH，在三棱台DEFABC中，2ABDEG，分别为AC的中点，可得/ /,DFGC DFGC，所以四边形DFCG是平行四边形，则M为CD的中点，又H是BC的中点，所以/ /HMBD, 又HM平面FGH，BD平面FGH，所以/ /BD平面FGH. 证法二：在三棱台DEFABC中，由2,BCEF H为BC的中点，可得/ /,BHEF BHEF所以HBEF为平行四边形，可得/ /.BEHF名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 30 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载在ABC中，GH，分别为ACBC，的中点，所以/ /,GHAB又GHHFH，所以平面/ /FGH平面ABED，因为BD平面ABED，所以/ /BD平面FGH. (II) 证明：连接HE.因为GH，分别为ACBC，的中点，所以/ /,GHAB由,ABBC得GHBC， 又H为BC的中点，所以/ /,EFHC EFHC因此四边形EFCH是平行四边形，所以/ /.CFHE又CFBC，所以HEBC. 又,HE GH平面EGH，HEGHH，所以BC平面EGH，又BC平面BCD，所以平面BCD平面.EGH【考点定位】1.平行关系； 2.垂直关系 . 【名师指点】本题考查了空间几何体的特征及空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系和垂直关系，从证明方法看，起点低，入口宽，特别是第一小题. 证明过程中， 关键是注意构造线线的平行关系、垂直关系，特别是注意利用平行四边形，发现线线关系，进一步得到线面关系、面面关系. 本题是一道能力题，属于中等题，重点考查两空间几何体的特征及空间直线、平面的平行关系和垂直关系等基础知识，同时考查考生的逻辑推理能力、空间想象能力思维的严密性、函数方程思想及应用数学知识解决问题的能力. 24.【2015 高考陕西， 文 18】 如图 1， 在直角梯形ABCD中，/,2ADBCBADABBC12ADa，E是AD的中点，O是OC与BE的交点，将ABE沿BE折起到图2中1A BE的位置，得到四棱锥1ABCDE. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 21 页，共 30 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载(I)证明：CD平面1AOC；(II) 当平面1A BE平面BCDE时，四棱锥1ABCDE的体积为36 2，求a的值 . 【答案】 (I) 证明略，详见解析；(II) 6a.【解析】试题分析： (I) 在图 1 中，因为12ABBCADa，E是AD的中点，2BAD，所以四边形ABCE是正方形， 故BEAC，又在图 2 中，1,BEAO BEOC，从而BE平面1AOC，又/ /DEBC且DEBC，所以/CDBE，即可证得CD平面1AOC；(II) 由已知，平面1A BE平面BCDE，且平面1A BE平面BCDEBE，又由 (I)知，1AOBE，所 以1AO平 面BCDE， 即1AO是 四 棱 锥1ABCDE的 高 ， 易 求 得 平 行 四 边 形BCDE面 积2SBCABa，从而四棱锥1ABCDE的为311236VSAOa，由323626a，得6a. 试题解析： (I)在图 1 中，因为12ABBCADa，E是AD的中点2BAD，所以BEAC，即在图 2 中，1,BEAO BEOC从而BE平面1AOC又/CDBE所以CD平面1AOC. (II) 由已知，平面1A BE平面BCDE，且平面1A BE平面BCDEBE又由 (I)知，1AOBE，所以1AO平面BCDE，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 22 页，共 30 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载即1AO是四棱锥1ABCDE的高，由图 1 可知，12222AOABa，平行四边形BCDE面积2SBC ABa，从而四棱锥1ABCDE的为23111223326VSAOaaa，由323626a，得6a. 【考点定位】1. 线面垂直的判定；2. 面面垂直的性质定理；3. 空间几何体的体积. 【名师指点】 1.在处理有关空间中的线面平行、线面垂直等问题时，常常借助于相关的判定定理来解题，同时注意恰当的将问题进行转化；2.求几何体的体积的方法主要有公式法、割补法、等价转化法等，本题是求四棱锥的体积，可以接使用公式法. 25.【2015 高考四川，文18】一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示. ()请按字母F，G，H 标记在正方体相应地顶点处(不需要说明理由) ()判断平面BEG 与平面 ACH 的位置关系 .并说明你的结论. ()证明：直线DF平面 BEG【解析】 ( )点 F，G，H 的位置如图所示ABFHEDCGCDEABFCDEABGHO名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 23 页，共 30 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载()平面 BEG平面 ACH.证明如下因为 ABCDEFGH 为正方体，所以BCFG，BCFG又 FGEH，FGEH，所以 BCEH，BCEH于是 BCEH 为平行四边形所以 BECH又 CH平面 ACH ，BE平面 ACH，所以 BE平面 ACH同理 BG平面 ACH又 BEBGB所以平面BEG平面 ACH()连接 FH因为 ABCDEFGH 为正方体，所以DH平面 EFGH因为 EG平面 EFGH ，所以 DHEG又 EGFH ，EGFHO，所以 EG平面 BFHD又 DF平面 BFDH ，所以 DF EG同理 DF BG又 EGBGG所以 DF平面 BEG. 【考点定位】本题主要考查简单空间图形的直观图、空间线面平行与垂直的判定与性质等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力. 【名师指点】本题引入了几何体表面的折展问题，对空间想象能力要求较高.立体几何的证明一定要详细写出所有步骤，列举 (推证 )出所有必备的条件，如在()中证明两个平面平行时，除了找到两组平行线外，一定不能忘
