2022年高等数学中值定理的题型与解题方法 .pdf

高等数学中值定理的题型与解题方法高数中值定理包含： 1.罗尔中值定理 (rolle); 2. 拉格朗日中值定理(lagrange); 3.柯西中值定理(cauchy); 还有经常用到的泰勒展开式(taylor), 其中( , )a b，一定是开区间. 全国考研的学生都害怕中值定理，看到题目的求解过程看得懂，但是自己不会做， 这里往往是在构造函数不会处理，这里给总结一下中值定理所涵盖的题型，保证拿到题目就会做。题型一：证明：( )0nf基本思路，首先考虑的就是罗尔定理(rolle) ，还要考虑极值的问题。例 1. ( ) , f xC a b在( , )a b可导，( )( )0f af b，( )()02abf a f，证明：存在( , )a b，使得( )0f. 分析：由( )( )0f af b，( ) ()02abf a f，容易想到零点定理。证明：( )()02abf a f，存在1( ,)2abxa，使得1()0f x，又( )( )0f af b，( ),( )f af b同号，( ) ()02abf b f，存在2(, )2abxb，使得2()0f x，12()()0f xf x，所以根据罗尔中值定理：存在( , )a b，使得( )0f. 例 2. ( )0,3f xC在(0,3)内可导，(0)(1)(2)3fff，(3)1f，证明：存在(0,3)，使得( )0f证明：（1）( )0,3f xC，( )f x在0,3使得上有最大值和最小值,M m，根据介值性定理(0)(1)(2)3fffmM，即1mM存在0,3c，使得( )1f c，（2）( )(3)1f cf，所以根据罗尔中值定理：存在( ,3)(0,3)c，使得( )0f. 例 3. ( )f x在(0,3)三阶可导，0,1x，(1)0f，3( )( )F xx f x证明：存在(0,1)，使得( )0F证明：（1）(0)(1)0FF，存在1(0,1)，使得1()0F，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - （2）23( )3( )( )Fxx f xx fx，所以1(0)()0FF，存在21(0,)，使得2()0F，（3）223( )6( )3( )3( )( )Fxxfxx fxx fxx fx，所以2(0)()0FF，存在2(0,)(0,1)，使得( )0F，例 3. ( )0,1f xC在(0,1)内可导，0,1x，(0)1f，11( )22f，(1)2f证明：存在(0,1)，使得( )0f证明：(0)1f，11( )22f，(1)2f存在(0,1)，使得( )fm，又( )fx在(0,1)内可导，存在(0,1)，使得( )0f题型二：证明：含，无其它字母基本思路，有三种方法：（1）还原法。( )ln( )( )fxf xf x能够化成这种形式例 1. ( )0,1f xC在(0,1)可导，(1)0f，证明：存在(0,1)，使得( )3 ( )0ff. 分析：由3( )3( )3( )00ln( )(ln)0( )fxxfxfxf xxf xx，3ln( )0 x f x证明：令3( )( )xx f x，(0)(1)1存在(0,1)，使得( )0，而23( )3( )( )0ff存在(0,1)，使得( )3 ( )0ff例 2. ( ) , f xC a b在( , )a b可导，( )( )0f af b，证明：存在( , )a b，使得( )2( )0ff. 分析：由2( )( )2( )020ln( )(ln)0( )xfxfxf xfxef x，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - 2ln( )0 xfx e证明：令2( )( )xxf x e，( )( )0f af b，( )( )0ab存在( , )a b，使得( )0，而222( )2 ( )( ) 2( )( )0 xxxxf x efx eef xfx2 2( )( )0eff即存在( , )a b，使得( )2( )0ff例 3. ( )f x在0,1上二阶可导，(0)(1)ff，证明：存在(0,1)，使得2( )( )1ff. 分析：由22( )( )2( )0ln( )ln(1) 01( )1fxfxfxfxxxfxx，2ln( )(1) 0fxx证明：令2( )( )(1)xfxx，(0)(1)(0,1)ffc，使得( )0fc，所以2( )( )(1)0cfcc，又因为(1)0( )(1)0c由罗尔定理知，存在(0,1)，使得2( )( )1ff. 记：( )( )kxfkfxe f x( )( )kfkfxx f x（2）分组构造法。( )( )ff( )( )0( )( )( )( )0fxf xfxfxfxf x( )( )( )( )00fxf xfxf xgg10(ln)(ln)0( )( )( )xxggexefxfxg( )( )10ff（还原法行不通）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - ( )1 ( )100( )( )1xfxfxggxefx例 1. ( )0,1f xC，在(0,1)内可导，11(0)0,( )1, (1)22fff，证明：存在(0,1)c，使得( )f cc，存在(0,1)c，使得( )2( )1ff. 证明：令( )( )xfxx，111(0)0, ( ), (1)2221( ) (1)02，1(,1)(0,1)2c使得( )0c，即( )f cc （分析）( )2( )1( )2( )0fxf xxf xxfxx令2( )( )xh xef xx，(0)( )0hh c存在(0,1)c，使得( )2( )1ff. 题型三：证明：含,. 分几种情形：情形1：结论中只有( ),( )()ff找三句次Lagrange点两话两例 1. ( )0,1f xC，在(0,1)内可导，(0)0,(1)1ff，证明：存在(0,1)c，使得( )1f cc，存在,(0,1)，使得( )( )1ff. 证明：令( )( )1xfxx，(0)1, (1)1(0)(1)0(0,1)c使得( )1f cc(0, ),( ,1)cc,使得( )(0)1( )f cfcfcc(1)( )( )11ff ccfcc，所以存在,(0,1)，使得( )( )1ff例 2. ( )0,1f xC，在(0,1)内可导，(0)0,(1)1ff，证明：存在(0,1)c，使得1( )2f c，存在,(0,1)，使得112( )( )ff. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - 证明：令1( )( )2xf x，11(0), (1)22，(0) (1)0(0,1)c，使得1( )2f c(0, ),( ,1)cc,使得( )(0)1( )2f cffcc，(1)( )1( )12(1)ff cfcc，所以存在,(0,1)，使得112( )( )ff情形 2：结论中含有,，但是两者复杂度不同。2222( )2 ( )( )()( )( )()( )11()ffffffx1).留复某函的句2).哪函的看不出1).的情用拉格朗日中值定理2).的情用柯西中值定理杂 ee个数导数两话个数导数来时况况例 1. ( ) , f xC a b，在( , )(0)a b a内可导证明：存在,( , )a b，使得( )( )()2ffab. 证明：令2( )F xx，( )20Fxx由柯西中值定理( , )a b使得22( )( )( )2f bf afba，所以( )( )( )()2f bf afabba( , )a b使得( )( )( )f bf afba，得证。例 2. ( ) , f xC a b，在( , )(0)a b a内可导证明：存在,( , )a b，使得2( )( )abff. 证明：令1( )F xx，21( )0Fxx由柯西中值定理( , )a b使得2( )( )( )111f bf afba，所以2( )( )( )f bf aabfba名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - ( , )a b使得( )( )( )f bf afba，得证。例 3. ( ) , f xC a b，在( , )a b内可导 , ( )( )1f af b证明：存在,( , )a b，使得( )( )1eff. (分析：“留复杂”( )( )eff) 证明：令( )( )xxe fx，由拉格朗日中值定理( , )a b使得( )( )( )( )bae f be f aeffba，( )( )( )( )1,( )( )babae f be f aeef af beffbaba( )( ),( , )baeeeeffa bba，即( )( )1eff. 题型四：证明：拉格朗日中值定理的两惯性思维。( )f x可导( )( )( )f bf afba见到 3 点两次使用拉格朗日中值定理。例 1. lim( )xfxe，且lim( )(1)lim() ,xxxxcf xf xxc则c解：( )(1)( )(1)f xf xfxx，lim( )xfxe. 又因为2lim2222lim()lim(1)xxccxxxcccxcxcxxxcceexcxc12c例 2. ( )0,( )0fxfx，且000(),()(),0dyfxxyf xxf xx，则,0dyy的大小关系。解：由拉格朗日中值定理知000(),()yfxxxxx，( )0,( )fxfx单调递增名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - 又00,()( )xfxf又因为00,()( ),0 xfxxfxdyy例 3. ( )f x在( , )a b内可导，且( )fxM，( )f x在( , )a b内至少有一个零点。证明：( )( )()f af bM ba证明： 1）因为( )f x在( , )a b内至少有一个零点，所以( , ),( )0ca bf c2）下边用两次拉格朗日中值定理11( )( )()(),( , )f cf afcaa c，22( )( )()(),( , )f bf cfbcc b所以11( )()(),( , )f afcaa c22( )()(),( , )f bfbcc b( )fxM，1( )(),( , )f aM caa c2( )(),( , )f bM bcc b，( )( )()f af bM ba例 4. ( )f x在( , )a b内二阶可导，有一条曲线( )yfx，如图证明：( , )a b，使得( )0f证明： 1）12( , ),( , )a cc b使得12( )( )( )( )(),()f cf af bf cffcabc因为,A C B共线，所以12()()ff，所以由罗尔定理知12(,)( , )a b，使得( )0f名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - 11( )( )()(),( , )f cf afcaa c题型五： Taylor 公式的常规证明。( )(1)1000000()( )( )()()()()()!(1)!nnnnfxff xf xfxxxxxxxnn00( ),fcxcx中端点点( )( ),f cfcxcx端中任一无点点点例 1. ( ) 1,1fxC，( 1)0,(0)0,(1)1fff证明：存在( 1,1)，使得( )3f. （题外分析：考虑什么时候该用泰勒公式什么时候不用！( )( ) (2)nfn时考虑，但是( )( )0nf为题型一，考虑罗尔定理2n时比较尴尬， 有时候用拉格朗日中值定理，有时候不用， 该怎么考虑呢，分情况：( ),( ),( )( )( ),( ),( )( ),( ),( )f af bf clagrangeffafbfclagrangefafbfctaylor次拉格朗日中值定理解两决）证明：2311( )(0)( 1)(0)( 1 0)( 10) ,( 1,0)2!3!ffff，2322()(0)(1)(0)(1 0)(1 0) ,(0,1)2!3!ffff11( )(0)0(0),( 1,0)26fff22()(0)1(0),(0,1)26fff两个式子相减得：12()()6ff12( ),fxC，( )fx在12,上有,m M，则122()()2mffM12( )()32ffmMmM，所以根据介值定理得：存在12,( 1,1)，使得( )3f例 2. ( )f x，在0,1二阶可导，(0)(1)0ff，01min( )1xf x，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - 证明：存在(0,1)，使得( )8f. 证明：由01min( )1xf x知，存在(0,1)c，使得( )1f c且( )0fc由泰勒公式：211( )(0)( )(0) ,(0, )2!fff ccc，222()(1)( )(1) ,( ,1)2!fff ccc1122( ),(0, )fcc2222(),( ,1)(1)fcc111(0,( )8,2cf221(,1)()8,2cf例 3. ( )f x在 , a b上二阶可导，( )fxM，( )f x在( , )a b内取最大值。证明：存在( )( )()fafbM ba. 证明：由( )f x在( , )a b内取最大值知，存在(0,1)c，使得( )0fc11( )( )()(),( , )fcfafcaa c22( )( )()(),( , )fbfcfbcc b1( )(),( , )faM caa c2( )(),( , )fbM bcc b所以存在( )( )()fafbM ba. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - -