2022年高考数学经典解题技巧和方法复习三角函数的图象与性质 .pdf

学习好资料欢迎下载高中数学经典解题技巧：三角函数的图象与性质【编者按】 三角函数是高中数学考试的必考内容，而且是这几年考试解答题的必选，无论是期中、期末还是会考、高考，都是高中数学的必考内容之一。因此，马博士教育网数学频道编辑部特意针对这部分的内容和题型总结归纳了具体的解题技巧和方法，希望能够帮助到高中的同学们，让同学们有更多、更好、更快的方法解决数学问题。好了，下面就请同学们跟我们一起来探讨下三角函数的图象与性质的经典解题技巧。首先，解答三角函数这方面的问题时，先要搞清楚以下几个方面的基本概念性问题，同学们应该先把基本概念和定理完全的吃透了、弄懂了才能更好的解决问题：1理解任意角、弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化。2理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。3能利用单位圆中的三角函数线推导出,2的正弦、 余弦、正切的诱导公式，能画出 y=sinx ，y=cosx，y=tanx 的图象，了解三角函数的周期性。4理解正弦函数、余弦函数在区间0，2的性质（如单调性、最大值和最小值以及图象与 x 轴的交点等），理解正切函数在区间(,)22的单调性。5理解同角三角函数的基本关系式：sin2x+cos2x=1,sinx/cosx=tanx. 6了解函数y=Asin( x+)的图象，了解参数A，对函数图象变化的影响。7了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题。好了，搞清楚三角函数的上述内容之后，下面我们就看下针对这方面内容的具体的解题技巧。一、三角函数的概念、同角诱导公式的简单应用考情聚焦： 1三角函数的定义、同角三角函数的关系及诱导公式的简单应用，在近几年高考中时常出现。2该类问题出题背景选择面广，易形成知识交汇题。3多以选择题、填空题的形式出现，属于中、低档题。解题技巧： 1三角函数的定义是求三角函数值的基本依据，如果已知角终边上的点，则利用三角函数的定义，可求该角的正弦、余弦、正切值。2同角三角函数间的关系、诱导公式在三角函数式的化简中起着举足轻重的作用，应名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载注意正确选择公式、注意公式应用的条件。例 1：（20XX 届 日照五莲一中高三段检） 如图，以 Ox 为始边作角 与 （0），它们终边分别与单位圆相交于点P、Q，已知点 P的坐标为（53，54）（1）求tan112cos2sin的值；（2）若OP0OQ，求)sin(。解： （1）由三角函数定义得53cos，54sin原式22cos2coscossin)cos(sincos2cossin1cos2cossin22 （53）2=2518（2）OP0OQ，22，53cos)2sin(sin54sin)2cos(cossincoscossin)sin(25753)53(5454二、函数y=Asin( x+) 的解析式、图象问题考情聚焦： 1三角函数 y=Asin( x+) 的图象与解析式的问题，年看都会在高考中出名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载现。2试题背景大多是给出图象或解析式中某些量满足的一些条件下，求解析式或另处一些量。多数考查周期、频率、振幅、最值、对称中心、对称轴等概念以及图象的变换。3三种题型都有可能出现，属于中、低档题。解题技巧： 1 已知图象求函数y=Asin( x+) （A0，0）的解析式时，常用的方法是待定系数法。由图中的最大、最小值求出A ，由周期确定 ，由适合解析式的点的坐标来确定 的值。2 将点的坐标代入解析式时，要注意选择的点属于“五点法”中的哪一个点。“第一点” （即图象上升时与x 轴的交点）为002xk，其他依次类推即可。例 2：已知a是实数，则函数( )1sinf xaax的图象不可能是 ( ) 【解析】选D.对于振幅大于1 时，三角函数的周期为2,1,2TaTa，而 D 不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于了2三、与三角函数的性质有关的问题考情聚焦： 1有关三角函数的单调性、奇偶性、周期性及最值问题在历年高考中都会考查，是高考考查的重点内容。2试题背景呈现多样性、选择面广，往往与三角恒等变换、图象性质、平面向量等交汇命题。3三种题型都有可能出现，属中、低档题。例 3：已知函数2( )2sin2 3sincos1f xxxx求( )f x的最小正周期及对称中心；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载若,63x，求( )f x的最大值和最小值. 【解析】( )3sin 2cos22sin(2)6f xxxx( )f x的最小正周期为22T，令sin(2)06x， 则()212kxkZ， ( )f x的对称中心为(,0),()212kkZ；,63x52666x1sin(2)126x1( )2f x当6x时，( )f x的最小值为1；当6x时，( )f x的最大值为2例 4（2010 陕西高考理科 3） 对于函数( )2sincosfxxx， 下列选项中正确的是 （）（ A）( )f x在（4，2）上是递增的（B）( )fx的图像关于原点对称（C）( )f x的最小正周期为2（D）( )fx的最大值为2 【命题立意】本题考查倍角公式、三角函数的基本性质，属保分题。【思路点拨】( )2sincosf xxx( )sin 2fxx( )f x是奇函数 B 【规范解答】选B 因为( )2sincosf xxxsin 2x，所以( )f x是奇函数，因而( )f x的图像关于原点对称，故选B 例 5 （2010全国卷理科2）记cos( 80 )k, 那么tan100A.21kk B. -21kk C. 21kkD. -21kk【命题立意】 本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，着重考查了三角变换中的弦切互化. 【 思 路 点 拨 】 由1cossin22及cos( 80 )k求 出080sin， 再 利 用 公 式cossintan求出0100tan的值 . 【规范解答】选B.【解析 1】222sin801cos 801cos ( 80 )1k, 所以tan100tan802sin 801.cos80kk名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载【解析 2】cos( 80 )kcos(80 )k，00000sin 18080sin100sin80tan1001008018080oooconconcon21kk. 例 6 （2010重庆高考文科5）如题（ 15）图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C，各段弧所在的圆经过同一点P （点 P不在 C上）且半径 相 等 。 设第i段 弧 所 对 的 圆 心 角 为ia（ i=1,2,3）， 则123123coscossinsin3333aaaaaa【命题立意】 本小题考查圆的性质等基础知识，考查三角函数的基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合的思想方法，考查化归与转化的思想. 【思路点拨】 第 i 段弧所对的圆心角转化为与它同圆的劣弧所对的圆心角，再根据三个圆心确定的正三角形求解. 【规范解答】12作三段圆弧的连心线，连结一段弧的两个端点，如图 所示 , 123O O O是正三角形， 点 P是其中心，根据圆的有关性质可知123AO B，第 i 段弧所对的圆心角为ia都是43，所以232311coscossinsin333323123141cos()coscos33332【方法技巧】利用圆的对称性等有关性质可以快捷解答. 例 7 （2010福建高考文科 0）将函数( )sin()fxx的图像向左平移2个单位。若所得图象与原图象重合，则的值不可能等于（） A.4 B.6 C.8 D.12 【命题立意】本题考查三角函数的图像平移，解三角方程。【思路点拨】先进行平移后，再比较与原函数的差异，解三角方程，或采用代入法求解。【规范解答】 选 B，把向左平移2个单位得ysinxsinx22，又该函数图像与原函数图像重合，所以sinxsinx2恒成立，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载2k2，4k kZ，所以 k 不可能为6。【方法技巧】 注意应把sinx变为sinx2而非sinx2。图像的变换问题，依据三角函数的图像的变换口诀“左加右减，上加下减”即可解决。一般地，函数sin() yx的图象，可以看作把曲线sinyx上所有点向左( 当0 时) 或向右( 当0 时) 平行移动个单位长度而得到。例 8 （2010广东高考文科 16）设函数3sin6fxx，0，,x，且以2为最小正周期（1）求0f；（2）求fx的解析式；（3）已知94125f，求sin的值【命题立意】本题考察三角函数的性质以及三角变换. 【思路点拨】 （2）由已知条件求出，从而求出( )f x的解析式；（3）由9()4125f34cossin.55【规范解答】 （1）(0)3sin(0)6f33sin.62（2）22T，4，所以( )f x的解析式为：( )3sin(4).6f xx（3）由9()4125f得93sin4()41265，即3sin()253cos5，2234sin1cos1().55【方法技巧】三角函数的性质问题，往往都要先化成( )sin()f xAx的形式再求解 . 例 9 （2010湖北高考文科16）已经函数22cossin11( ),( )sin 2.224xxf xg xx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载( ) 函数( )f x的图象可由函数( )g x的图象经过怎样的变化得出？（）求函数( )( )( )h xf xg x的最小值，并求使( )h x取得最小值的x的集合。【命题立意】 本题主要考查三角函数式的恒等变换、图象变换以及求三角函数的最值，同时考查考生的运算求解能力【思路点拨】 ( ) 先将函数解析式等价变形为sin()yAxb的形式，再与( )g x的表达式对照，比较它们的振幅、周期、相位等写出变化过程。（）将函数( )h x变形为sin()yAxb或cos()yAxb的形式再利用正、余弦函数的图象和性质求出最值。【规范解答】 ( )( )f x11cos2sin(2222xx）1sin2()24x，所以要得到( )f x的图象只需把( )g x的图象向左平移4个单位长度， 再将所得的图象向上平移14个单位长度即可。（）( )( )( )h xf xg x111cos2sin2224xx21cos(2)244x，当且仅当22()4xkkz时( )h x取得最小值12 24，此时对应的x的集合为3,8x xkkz。【方法技巧】 1、 三角函数中的图象变换问题一般要先将表达式化简到sin()yAxb或cos()yAxb的形式（两函数所用三角函数要同名），然后再通过比较两函数的振幅、周期、相位等写出变化过程。2、三角函数中的最值问题一般要先借用同角三角函数的基本关系式、诱导公式、两角和与差的三角函数、二倍角公式等化到sin()yAxb或cos()yAxb的形式，然后结合三角函数的图像和性质求解。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -