2022年高考数学一轮复习教案：第五篇平面向量第讲平面向量基本定理及其坐标表示 .pdf

第 2 讲 平面向量基本定理及其坐标表示【20XX 年高考会这样考】1考查平面向量基本定理的应用2考查坐标表示下向量共线条件【复习指导】本讲复习时，应理解基本定理，重点运用向量的坐标进行加、减、数乘的运算以及向量共线的运算基础梳理1平面向量基本定理如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使 a1e12e2，其中不共线的向量e1，e2叫表示这一平面内所有向量的一组基底2平面向量坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1 x2， y1 y2)，ab(x1x2，y1y2)， a (x1， y1)，|a|x21 y21. (2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 AB(x2x1，y2y1)，|AB|x2x12 y2 y12. 3平面向量共线的坐标表示设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中 b 0，当且仅当x1y2x2y10 时，向量 a，b 共线一个区别向量坐标与点的坐标的区别：在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OAa，点 A 的位置被向量a 唯一确定，此时点A 的坐标与 a的坐标统一为(x， y)，但应注意其表示形式的区别，如点A(x，y)，向量 aOA(x，y)当平面向量 OA平行移动到 O1A1时，向量不变，即O1A1OA(x，y)，但 O1A1的起点 O1和终点 A1的坐标都发生了变化两个防范(1)要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息(2)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件不能表示成x1x2y1y2，因为 x2，y2有可能等于0，所以应表示为 x1y2x2y10. 双基自测名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 1(人教 A 版教材习题改编)已知 a1 a2 an0，且 an(3,4)，则 a1a2 an1的坐标为 ( )A (4,3) B(4， 3) C (3， 4) D(3,4) 解析a1 a2an1an(3， 4)答案C 2若向量 a(1,1)，b(1,1)，c(4,2)，则 c( )A 3abB3abC a3bD a3b解析设 cxayb，则xy4，xy2，x3，y 1.c3ab. 答案B 3(2012 郑州月考 )设向量 a(m,1)，b(1，m)，如果 a 与 b共线且方向相反，则m 的值为 ( )A 1 B1 C 2 D2 解析设 a b( 0)，即 m 且 1m .解得 m 1，由于 0， m 1. 答案A 4设向量 a(1， 3)，b(2,4)，若表示向量4a、3b2a、c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量 c( )A (4,6) B (4， 6) C(4， 6) D(4,6) 解析设 c(x，y)，则 4a(3b2a)c0，462x0，12126y0，x4，y 6.答案C 5已知向量a(2， 1)，b( 1，m)， c(1,2)，若 (ab)c，则 m_. 解析ab(1，m1) (ab) c，2 (1)(m1)0， m 1. 答案1 考向一平面向量基本定理的应用【例 1】?(2012 南京质检 )如图所示， 在 ABC 中，H 为 BC 上异于 B，C 的任一点， M 为 AH 的中点， 若AM AB AC，则 _. 审题视点 由 B，H，C 三点共线可用向量AB， AC来表示 AH. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 解析由 B，H，C 三点共线，可令AH xAB (1x)AC，又 M 是 AH 的中点，所以 AM12AH12xAB12(1x)AC，又 AM AB AC.所以 12x12(1 x)12. 答案12应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的【训练 1】如图， 两块斜边长相等的直角三角板拼在一起若ADxAByAC， 则 x _， y_. 解析以 AB 所在直线为x轴，以 A 为原点建立平面直角坐标系如图，令 AB2，则AB(2,0)，AC(0,2)，过 D 作 DF AB 交 AB 的延长线于F，由已知得DF BF3，则AD(23，3)ADxAB yAC， (23，3)(2x,2y)即有232x，32y，解得x132，y32.另解： ADAFFD132AB32AC，所以 x132，y32. 答案13232考向二平面向量的坐标运算【例 2】?(2011 合肥模拟 )已知 A(2,4)，B(3， 1)，C(3，4)，且CM3CA，CN2CB.求 M，N 的坐标和 MN. 审题视点 求CA，CB的坐标，根据已知条件列方程组求M，N. 解 A(2,4)，B(3， 1)，C(3， 4)，CA(1,8)，CB(6,3)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - CM3CA3(1,8)(3,24)，CN2CB 2(6,3) (12,6)设 M(x，y)，则 CM(x3，y 4)x33，y424，得x0，y20.M(0,20)同理可得 N(9,2)， MN(90,220)(9， 18)利用向量的坐标运算解题，主要就是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程(组 )进行求解； 在将向量用坐标表示时，要看准向量的起点和终点坐标，也就是要注意向量的方向，不要写错坐标【训练 2】 在平行四边形ABCD 中， AC 为一条对角线，若AB(2,4)，AC(1,3)，则 BD( )A (2， 4) B(3， 5) C (3,5) D(2,4) 解析由题意得 BDADABBCAB(ACAB)AB AC2AB(1,3)2(2,4)(3， 5)答案B 考向三平面向量共线的坐标运算【例 3】?已知 a(1,2)，b(3,2)，是否存在实数k，使得 kab 与 a3b共线，且方向相反？审题视点 根据共线条件求k，然后判断方向解 若存在实数k，则 kabk(1,2)(3,2)(k3， 2k2)，a 3b(1,2)3(3,2)(10， 4)若这两个向量共线，则必有(k3)(4)(2k2)100. 解得 k13.这时 kab103，43，所以 kab13(a3b)即两个向量恰好方向相反，故题设的实数k 存在向量共线问题中，一般是根据其中的一些关系求解参数值，如果向量是用坐标表示的，就可以使用两个向量共线的充要条件的坐标表示列出方程，根据方程求解其中的参数值【训练 3】 (2011 西安质检 )已知向量 a(1,2)， b(2， 3)，若向量 c 满足 (c a) b，c(ab)，则 c( )A.79，73B.73，79C.73，79D.79，73解析设 c(m，n)，则 ac(1 m,2n)，ab(3， 1)(ca)b， 3(1m)2(2n)，又 c(ab)，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - 3mn0，解得 m79，n73. 答案D 阅卷报告 5 平面几何知识应用不熟练致误【问题诊断】在平面几何图形中设置向量问题，是高考命题向量试题的常见形式，求解这类问题的常规思路是：首先选择一组基向量，把所有需要的向量都用基向量表示，然后再进行求解【防范措施】一是会利用平行四边形法则和三角形法则；二是弄清平面图形中的特殊点、线段等【示例 】?(2011 湖南 )在边长为1 的正三角形ABC 中，设 BC误 2BD，CA3CE，则 AD BE_. 错因搞错向量的夹角或计算错实录12(填错的结论多种)正解由题意画出图形如图所示，取一组基底AB，AC，结合图形可得 AD12(ABAC)，BE AEAB23ACAB，AD BE12(ABAC) 23ACAB13AC212AB216AB AC131216cos 60 14. 答案14【试一试】(2011 天津 )已知直角梯形ABCD 中， ADBC， ADC90 ，AD 2，BC1，P 是腰 DC 上的动点，则 |PA3PB|的最小值为 _尝试解析 以 D 为原点，分别以DA、DC 所在直线为x、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DCa，DP x. D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)，PA(2， x)，PB(1，ax)， PA 3PB(5,3a4x)，|PA3PB|225 (3a4x)225， |PA3PB|的最小值为5. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 答案5 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -