2022年长方体和正方体知识点总结+练习 2.pdf

第二单元长方体和正方体总结一、 长方体和正方体的特征：形体相同点不同点关系面棱顶点面的形状面的大小棱长长方体6 12 8 一般六个面都是长方形（也有两个相对的面是正方形）。相对的面面积相等平行的四条棱长度相等正方体是特殊的长方体正方体6 12 8 六个面都是正方形六个面的面积相等十二条棱长都相等长方体：有 6 个面，相对的面完全相同；长方体放桌面上，最多只能看到3 个面。有 12 条棱，相对的棱长长度相等，而且相对的棱互相平行；12条棱可以分为 3 组（分别为长、宽、高），每组的4 条棱一样长；长方体的棱长总和 =长4+宽4+高4=（长 +宽+高）4有 8 个顶点，每个顶点上的三条棱分别称为长方体的长、宽、高。正方体：有 6 个完全相同的面；正方体放桌面上，最多只能看到3 个面。有 12 条长度相等的棱，每条棱的长度称为正方体的棱长；正方体的总棱长 =棱长 12。上下左后右前精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 22 页有 8 个顶点。练一练：1. 一个长方体长、宽、高分别是10cm 、7 cm 、4 cm ，这个长方体的棱长和是多少厘米？（提示：根据长方体的总棱长公式计算）2. 一个长方体的棱长和是160dm ，其中，长是20dm ，宽是 8dm ，它的高是多少？从一个顶点引出的三条棱的长度总和是多少？3. 将一根铁丝长 720厘米做成正方体，则正方体的棱长是多少厘米？二、长方体和正方体的表面积定义：长方体或正方体6 个面的总面积，叫做它的表面积。1. 法一：(1) 长方体的表面积 （有六个面）=长宽 2+长高 2+宽高2=（长宽 +长高 +宽高）2（因为长方体相对的面完全相同）法二： 前、后面：长高2 =X 左、右面：长高2 =Y 上、下面：长宽2 =Z 则长方体的表面积（有六个面）= X + Y + Z 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 22 页2. 正方体的表面积 （有六个面） =棱长棱长6（因为正方体的六个面完全相同）在解决一些问题时，要充分考虑实际情况，想清楚要算几个面。在解答时，可以把这几个面的面积分别算出来，再相加，也可以先算出六个面的面积总和，再减去不需要的那个（些）面。一个抽屉有 5 个面，分别是前面、后面、左面、右面、底面。所以做这样一个抽屉所需要的木板，只要算出这5 个面的面积就可以了。通风管顾名思义是通风用的，没有上面和底面。所以只要算四个侧面就可以了。（1）具有六个面的长方体或正方体物品：油箱、罐头盒、纸箱子等；（2）具有五个面的长方体或正方体物品：水池、鱼缸等；（3）具有四个面的长方体或正方体物品：水管、烟囱等。练一练：1. 一个正方体纸箱， 棱长 8dm ， 做 100 个这样的纸箱至少需要多少平方米纸板？（提示： 100个需要多少平方米纸板，先算出一个需要多少，也就是求正方体的表面积。注意单位换算）2. 一只无盖的长方形鱼缸，长0.4 米，宽 0.25 米，深 0.3 米，做这只鱼缸至少要用玻璃多少平方米？（提示：首先明白算哪几个面，画出示意图再做）3. 一个游泳池，长 25 米，宽 10 米，深 2.4 米，在游泳池的四周和池底砌瓷砖，如果瓷砖的边长是2 分米的正方形， 那么至少需要这种瓷砖多少块？ （提示：1. 算哪几个面 2. 这些面是用瓷砖一块一块砌成的）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 22 页4. 一间教室的长是 10 米，宽是 8 米，高是 4 米，现在要粉刷教室的屋顶和四壁，除去门窗面积 25 平方米，粉刷面积是多少？（提示：1. 明白粉刷哪几个面，算出面积 2. 门窗不需要粉刷，要减去25 平方米）5. 一个长方体长 8 厘米，宽 4 厘米，高 4 厘米，把它锯成 3 段，表面积至少增加多少？（提示： 1. 锯成 3 段，会有几个锯缝？会增加几个面？2. 长方体最小的面是多少，算出之后乘以增加的面数就是所求答案。画出示意图）三、体积与容积单位及换算1. 体积：物体所占空间的大小叫做物体的体积。1 立方米 =1000立方分米3311000mdm1 立方分米 =1000立方厘米3311000dmcm食指的手指尖的体积大约是1 立方厘米；粉笔盒的体积大约是1 立方分米；装29 英寸电视机的大纸箱的体积大约是1 立方米。2. 容积：容器所能容纳物体的体积，叫做它们的容积。计量容积一般用体积单位： 立方厘米、 立方分米和立方米。 但计量液体的体积，如水、油等，常用升和毫升（即L 和 ml）。1 升=1000毫升11000Lml精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 22 页1 毫升=1立方厘米311mlcm3. 体积单位与容积单位： 1 升=1立方分米311Ldm 1毫升=1 立方厘米311mldm练一练：1. 在括号内填上合适的单位一大瓶可乐是 2（）一瓶哇哈哈矿泉水是600（）一个集装箱是 20（）一块橡皮大约是 10（）2. 6.09立方米 =（）立方厘米 32.05L=( )立方分米 =（）ml=（）立方厘米四、长方体与正方体体积 ( 或容积 ) 的计算1. 长方体的体积 =长宽高Vabh正方体的体积 =棱长棱长棱长（棱长的三次方）3Va a aa长方体或正方体的体积 =底面积高VSh容积的计算方法和体积是相同的，只是测量时体积是测量物体外面的数据，而容积是测量物体内部的数据。不计物体的厚度 ，体积=容积 。2. 不规则物体（不溶于液体）的体积计算放入物体 （1）一个水杯，底面积为S, 水的高度为 h, 则水的体积 =Sh. 当放入石头之后（石头不溶于水且全部浸没在水中），水的高度变为 H, 则水杯内总体积为=SH . （石头不溶于水， 水上升的体积等于石头的体积。）石头的体积 =SH-Sh=S(H-h)。拿出物体 （2）一个水瓶里有水和铁块（铁块全部浸没在水中），底面积为S, 水的高度为 H,则水瓶内总体积 =SH . 当拿出铁块水中 物体之后，水的高度 变为h, 则水杯里水的体积为 =Sh. （铁块不溶于水， 水下降的体积等于铁块的体积）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 22 页铁块的体积 =SH-Sh=S(H-h)。3. 盐溶于水，则盐的体积 +水的体积盐水的体积练一练：1. 学校把 10.5 立方米的沙子铺在长6 米，宽 3.5 米的沙坑里，铺好之后，沙子的厚度是多少？（沙子在沙坑里形成一个长方体，求厚度也就是求长方体的高）挖一个长 50 米，宽 30米，高 2 米的养鱼池， 这个养鱼池的占地面积是多少？如果用水泵往养鱼池里注水12 小时，池内水深 1.5 米，这个水泵每小时注水多少立方米？（提示：1. 养鱼池是个长方体， 占地面积也就是长方体的底面积或长方体的上面。 2. 求每小时注入多少水，先算12 个小时注入多少水。 12 小时注入的水是什么立体几何？ 工作效率 （每小时注水的量） 工作时间 （12小时）=工作总量（水的体积）第二讲长方体和正方体一、长方体和正方体的认识【知识点 1】要素立体图形棱面顶点数量特征数量特征数量特征长方体12 互 相 平 行的 棱 长 度相等6 相对的面完全相同8 同一个顶点引出的三条棱分别叫做长、宽、高特殊长方体12 垂 直 于 正方 形 面 的棱 长 度 相等6 两 个 面 是 正 方形，其余四个面是完全相同的长方形8 正方体12 所 有 的 棱长 度 都 相等6 所有面都是正方形且完全相同8 一个长方体至少可以有两个面是正方形，最多可以有 6各面是正方形， 但不会存在 3 个、4 个、5 个面是正方形！练习：（1）判断并改正： 1 、长方体的六个面一定是长方形； ( ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 22 页 2 、正方体的六个面面积一定相等； ( ) 3 、一个长方体 (非正方体 ) 最多有四个面面积相等； ( ) 4 、相交于一个顶点的三条棱相等的长方体一定是正方体。 ( ) 7 、长方体的三条棱分别叫做长、宽、高。 ( ) 8 、有两个面是正方形的长方体一定是正方体。( ) 9 、有三个面是正方形的长方体一定是正方体。（）11、有两个相对的面是正方形的长方体，另外四个面的面积是相等的。 （）12、长方体和正方体最多可以看到3 个面。 （） 14 、正方体不仅相对的面的面积相等，而且所有相邻的面的面积也都相等。（） 15 、长方体（不包括正方体）除了相对的面相等，也可能有两个相邻的面相等。（） 16 、一个长方体中最少有4 条棱长度相等， 最多有 8 条棱长度相等。（）（2）填空：1、一个长方体最多有（）个面是正方形，最多有（）条棱长度相等。2、一个长方体的底面是一个正方形，则它的4 个侧面是（）形。3、正方体不仅相对的面相等，而且所有相邻的面（），它的六个面都是相等的（）形。4、把长方体放在桌面上，最多可以看到（）个面。最少可以看到（）个面。【知识点 2】棱长和公式：长方体棱长和 =（长+宽+高） 4 长+宽+高=棱长和4 长方体棱长和 =下面周长 2+高4 长方体棱长和 =右面周长 2+长4 长方体棱长和 =前面周长 2+宽4 正方体棱长和 =棱长 12 棱长=棱长和 12 棱长和的变形：例如：有一个礼盒需要用彩带捆扎， 捆扎效果如图， 打结部分需要 10 厘米彩带，一共需要多长的彩带？分析：本题虽然并未直接提出求棱长和，但由于彩带的捆扎是和棱相互平行的，因此， 在解决问题时首先确定每部分彩带与那条棱平行，从而间接去求棱长和。前面和后面的彩带长度 =高的长度；左面和右面的彩带长度 =高的长度；上面和下面的彩带长度 =长的长度。需要彩带的长度 =高4+长2+宽2+打结部分长度204+302+10=150cm 练习：（1）看图 2-6，并填空单位：厘米30 20cm 20cm 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 22 页这个长方体长 ( ) 厘米，宽( )厘米，高( )厘米。由一个顶点引出的三条棱的长度和是 ( ) 厘米。棱长总和是 ( ) 厘米。上下两个面是 ( )形。（2）看图 2-7 并填空单位：厘米这是一个 ( ) 体，正方体的棱长是 ( ) 厘米，棱长之和是 ( )厘米，每个面的面积是 ( ) 平方厘米。（3）有一个长方体的鱼缸，长50 厘米，宽 30 厘米，高 30 厘米，需要在用铝合金包裹玻璃连接处，需要（）米的铝合金。（4）把两个棱长 1 厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的棱长总和是（）厘米。（7）一个长方体长 12 厘米宽 8 厘米高 7 厘米，把它切成一个尽可能大的正方体，这个正方体的棱长是（）。（7）一个长方体的礼堂如图，过节时需要在四周装上成串的彩灯，每串彩灯长2m，一共需要多少串彩灯？（8）一只鱼缸，棱长和为 280cm ，其中，底面周长为 50cm ，右面周长为 40cm ，前面周长为 50cm ，鱼缸的长、宽、高各是多少？【知识点 3】确定长方体中每个面的形状以及长、宽、高分别是多少。长方体一共有 （）个面， （）面完全相同， 如：前面和（）完全相同， （）和（）完全相同， （）和（）完全相同。根据习惯我们一般认为在一个平面中水平方向的为长，垂直方向的为高。 根据这一习惯我们我们只需找到需要的面并根据习惯确定长和宽即可。例如：如图下列长方体的后面是 （）形状，长是（）宽是（） ；它的右面是（）形状，长是（）宽是（） ；下面是（）形状，长是（）宽是（） 。练习：上下左后右前30m 6m 50m 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 22 页（1）长方体展开后每个面都是什么形状？展开后哪俩个面是相对的面？面积相等吗？上下，左右、前后各个面的长和宽分别是原长方体的什么？（2）一个长方体的长是25 厘米，宽是 20厘米，高是 18 厘米，最大的面的长是（）厘米，宽是（）厘米，它的面积是（）平方厘米；最小的面长是（）厘米，宽是（）厘米，它的面积是（）平方厘米。（3）一个长方体的长、宽、高分别是8、6、4 米，它的前后的面的面积是（） ，左右的面的面积是（） ，上下的面的面积是（） 。【知识点 4】经过折叠可以组合成正方体: 经过折叠可以组合成长方体：练习：下列三个图形中，能拼成正方体的是（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 22 页【知识点 5】长方体或正方体的切割组合对棱长的影响（1）切割将长方体横向切割成两个长方体后，棱长将比原来一个长方体时增加4 条长和 4条宽； （棱长增加的最长）将长方体竖向切割成两个长方体后，棱长将比原来一个长方体时增加4 条宽和 4条高； （棱长增加的最短）将正方体沿无论沿那个方向切割成两个长方体后，棱长将比原来增加4 条棱。二、组合将两个完全相同的长方体沿上下面组合后，棱长比原来两个长方体时减少4 条长和 4 条宽； （棱长减少的最多）将两个完全相同的长方体沿前后面组合后，棱长比原来两个长方体时减少4 条长和 4 条高；将两个完全相同的长方体沿左右面组合后，棱长比原来两个长方体时减少4 条宽和 4 条高； （棱长减少的最少）将两个完全相同的正方体沿上下面组合后，棱长比原来两个正方体时减少8 条棱；一次类推将三个完全相同的正方体沿上下面组合后，棱长比原来三个正方体时减少 16 条棱，四个组合减少24条棱，五个组合减少32 条 （公式： 8（N1） ）例如：将五个完全相同的正方体组合成一个长方体后，棱长和为 140 厘米，原来每个正方体的棱长和是多少？分析：五个正方体棱长共有125=60 条；将五个完全相同正方体组合后棱长比原来减少32 条，还剩 60-32=28 条；即这 28 条棱的长度和即为新长方体的棱长和，所以正方体一条棱的长度为：14028=5cm ；所以一个正方体的棱长和为：512=60cm 。【知识点 6】小正方体拼大正方体的规律由于正方体， 每条棱的长度相等， 所以要用小的正方体拼出大的正方体每条棱上摆放的小正方的个数应该是相等的，因此要拼出最小的正方体至少需要222=23=8 个（也就是说每条棱上放2 个小正方体），接着再往大了拼正方体，就是每条棱上放 3 个小正方体即 333=33=27 个，依次类推接下来是444=43=64 个；555=53=125 个从中我们可以发现要用小的正方体拼出大的正方体所需要的小正方体的个数应该是一个数的立方。这就要求我们能够熟记一些数的立方：23=8 33=27 43=64 53=125 63=216 73=343 83=512 93=729 103=1000 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 22 页小正方体拼大长方体的规律规律同正方体， 首先观察大长方体各棱长分别是小正方体棱长的几倍，如，长方体长是小正方体棱长的a 倍，宽是小正方体棱长的b 倍，高是小正方体棱长的c倍，则，大长方体就是由abc 个小正方体组成的。练习：（1）用棱长为 3 厘米的小正方体拼棱长为9 厘米的大正方体需要（）个小正方体。A、8 个B、27 个C、26 个D、64 个（2）一个长方体的长宽高分别是18、12、9，如果用棱长为 3 的小正方拼一个这样的长方体，一共需要（）块这样的小正方体。（3）一个长方体的盒子里面长5 分米，宽 4 分米，深 3 分米，放棱长为 5 厘米的正方体小木块共可以放（）块。二、长方体和正方体的表面积【知识点 1】长方体表面积 =（长宽 +长高 +宽高） 2 =（ab+ac+bc）2 =（前面面积 +上面面积 +右面面积） 2 正方体表面积 =棱长棱长 6=aa6=6a2 =任意一个面的面积 6 前面面积 =后面面积；左面面积 =右面面积；上面面积 =下面面积两个棱长和相等的长方体或一个长方体和一个正方体，表面积不一定相等！表面积相等的两个长方体或一个长方体和一个正方体，棱长和也不一定相等！练习：1、一个长方体长 6 厘米，宽 4 厘米，高 3 厘米。这个长方体上下两个面的面积各是（）平方厘米，前后两个面的面积各是（）平方厘米，左右两个面的面积各是（）平方厘米，表面积是（）平方厘米。2、判断题：长方体的表面积一定比正方体的表面积大。 ( ) 如果一个长方体能锯成四个完全一样的正方体，那么长方体前面的面积是底面积的 4 倍（）3、把一个棱长为 6 米的正方体分成两个大小、形状相同的长方体，每个长方体的表面积是（）。4、 长方体的长是 6 厘米，宽是 4 厘米，高是 2厘米，它的棱长总和是（）厘米，六个面中最大的面积是（）平方厘米，表面积是（）平方厘米。5、用字母表示正方体（或长方体）的表面积（）；用字母表示长方体的体积公式是（）。6、下面哪些问题跟长方体表面积有关。（） A：在一个长方体木箱外面刷油漆，刷油漆的面积一共有多少平方分米？ B：做一个长方体的金鱼缸需要多少玻璃？C： 求一个长方形足球场需多少平方米的草皮？7、一个长方体的长是5 分米，宽和高都是4 分米，在这个长方体中，长度为4分米的棱有（）条，面积是 20 平方分米的面有（）个。8、一个长方体的金鱼缸，长是8 分米，宽是 5 分米，高是 6 分米，不小心前面的玻璃被打坏了，修理时配上的玻璃的面积是（）。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 22 页9、一个长方体侧面积是360 平方厘米，高是 9 厘米，长是宽的1.5 倍，求它的表面积。【知识点 2】长方体表面求法的变形：贴商标类型：只求四周面积。例如：一个长方体包装盒，长宽高分别为8,4,5 ，需要在包装盒四周贴上商标，需要商标纸的面积是多少？游泳池类型：只求四周和底面。例如：一座游泳池，长宽高分别为10m ，4m ，1.5m，需要在池内贴上边长为1dm的瓷砖，大约需要多少块瓷砖？抽纸盒类型：六个面面积减去缺口面积。例如：一款抽纸盒，长宽高分别是20cm ，12cm ，5cm ，上面有长14cm ，宽 3cm的抽纸口，做这款抽纸盒需要多少硬纸片？占地面积问题：只求底面面积。例如：一个长方体蓄水池，长12m ，宽 8m ，深 3m ，这个水池占地面积多少平方米？练习：（1）一盒饼干长 20 厘米，宽 15厘米，高 30 厘米，现在要在它的四周贴上商标纸，如果商标纸的接头处是4 厘米，这张商标纸的面积是多少平方厘米？（2）一种长方体硬纸盒，长10 厘米，宽 6 厘米，高 5 厘米，有 2 平方米的硬纸板 210 张，可以做这样的硬纸盒多少个？（不计接口）（3）一个通风管的横截面是边长是0.5 米的正方形 , 长 2.5 米. 如果用铁皮做这样的通风管 50 只, 需要多少平方米的铁皮 ? （4）一个房间的长 6 米，宽 3.5 米，高 3 米，门窗面积是 8 平方米。现在要把这个房间的四壁和顶面粉刷水泥， 粉刷水泥的面积是多少平方米？如果每平方米需要水泥 4 千克，一共要水泥多少千克？（5）在一节长 120 厘米，宽和高都是 10 厘米的通风管， 至少需要铁皮多少平方厘米？做 12 节这样的通风管呢？（6）做一个正方体无盖纸盒， 棱长是 21 厘米，至少需要多少平方厘米的纸板？（7）一个抽屉，长 50厘米，宽 30 厘米，高 10厘米，做这样的 2 个抽屉，至少需要木板多少平方厘米？（8）长方体的长为 12 厘米，高为 8 厘米，阴影部分的两个面的面积和是200平方厘米，这个长方体的表面积是多少平方厘米？3. 一只鱼缸，棱长和为280cm ，其中，底面周长为50cm ，右面周长为 40cm ，前面周长为 50cm ，这只鱼缸的占地面积是多少平方厘米？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 22 页（10）一块长方形铁皮长60 厘米，宽 40 厘米，如 图， 从四个角上剪去边长是10 厘米的正方形，然后做成盒子，这个盒子的表面积是多少平方厘米？（11）一个无盖正方体铁桶内外进行涂漆，涂漆的是（）个面. 【知识点 3】棱长变化对表面积的影响：（1）正方体正方体的棱长扩大2 倍，其棱长和也扩大2 倍，表面积扩大 4 倍，体积扩大 8倍；正方体的棱长扩大3 倍，其棱长和也扩大3 倍，表面积扩大 9 倍，体积扩大 27倍；正方体的棱长扩大n 倍，其棱长和也扩大n 倍，表面积扩大 n2倍，体积扩大 n3倍。二、长方体长方体的长宽高同时扩大2 倍，其棱长和也扩大2 倍，表面积扩大 4 倍，体积扩大 8 倍；长方体的长宽高同时扩大3 倍，其棱长和也扩大3 倍，表面积扩大 9 倍，体积扩大 27 倍；长方体的长宽高同时扩大n 倍，其棱长和也扩大n 倍，表面积扩大 n2倍，体积扩大 n3倍。长方体的长扩大 a倍，宽扩大 b倍，高扩大 c 倍，棱长和变化无规律，表面积变化也无规律，体积扩大abc倍。长方体的长扩大 a倍，宽扩大 b倍，棱长和变化无规律，表面积变化无规律，体积扩大 ab 倍 。长方体的宽扩大 b 倍，高扩大 c倍，棱长和变化无规律，表面积变化无规律，体积扩大 bc倍 。长方体的长扩大 a倍，高扩大 c倍，棱长和变化无规律，表面积变化无规律，体积扩大 ac 倍 。练习：（1）大正方体的棱长是小正方体的棱长的2 倍，那么大正方体的表面积是小正方体表面积的（）倍。（2）正方体的棱长缩小5 倍，它的体积就缩小（）倍（3）一个长方体的长、宽、高都扩大4 倍，它的表面积就（）。（4）正方体的棱长扩大6 倍，表面积扩大（）倍。（5）一个正方体的棱长为4 厘米扩大为 2 倍后，其棱长和为（）厘米，表面积为（）平方厘米比原来扩大了（）。（6）一个长方体长扩大2 倍，高扩大 4 倍，体积扩大（）倍。（7）大正方体的表面积是小正方体的4 倍，那么大正方体的棱长是小正方体的（） ；大正方体棱长之和是小正方体的（） A.2倍 B.4倍 C.6倍 D.8倍（8）把一个正方体切成大小相等的8 个小正方体， 8 个小正方体的表面积之和精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 22 页（） 。A.等于大正方体的表面积 B.等于大正方体表面积的2 倍 C.等于大正方体表面积的3 倍（9）判断：一个长方体的长扩大2 倍，宽扩大 3 倍，高扩大 4 倍，这个长方体的表面积扩大24 倍。（）正方体的棱长扩大1.2 倍，它的棱长也扩大 1.2 倍，它的表面积就扩大14.4 倍。（）有棱长为 1 厘米的正方体拼成较大的正方体， 其表面积比原来一个正方体时扩大了 4 倍。（）棱长为 16 厘米的正方体， 将棱长缩小 2 倍后，其棱长为 4 厘米，其表面积也缩小了 4 倍。（）【知识点 4】5、立体图形的切割：（切割会使表面积增加，因此存在表面积增加最多或最少的问题）?长方体沿与原来长方体最大面平行的方向切割，其表面积比原来增加的最多。沿与原来长方体最小面平行的方向切割，其表面积比原来增加的最少。而且每切一刀增加两个完全相同的面， 切两刀增加四个完全相同的面， 依次类推。?正方体无论沿那个面平行的方向切，都将增加两个正方形的面，增加的面积均为2a2不存在增加最多最少的问题。例如：两盒磁带有三种不同的包装方式，你说哪一种最省包装纸？要求最省包装纸， 即表面积最小， 也就是表面积比原来单独包装时减少的表面积最多，根据规律应该选择第一种包装方式。练习：（1）把一个棱长为 6 米的正方体分成两个大小、形状相同的长方体，每个长方体的表面积是（）。（2）用两个长 4 厘米、宽 4 厘米、高 1 厘米的长方体拼成一个大长方体，这个长方体的表面积最大是（）平方厘米，最小是（）平方厘米。（3）把一根长 80 厘米，宽 5 厘米，高 3 厘米的长方体木料锯成长都是40 厘米的两段，表面积比原来增加了（）平方厘米。（4）用两个长、宽、高分别是3 厘米，2 厘米，1 厘米的长方体拼成一个大长方体，这个大长方体的表面积最小是（）平方厘米。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 22 页（5）棱长是 a 的两个立方体拼成长方体，长方体的表面积比正方体的表面积和减少（）。（6）一根长方体木料，长1.5 米，宽和厚都是 2 分米，把它锯成 4 段，表面积最少增加（）平方分米（7）一个长 5 厘米，宽 4 厘米，高 3 厘米的长方体，截成两个形状，大小完全一样的长方体，表面积最多能增加多少平方厘米？（8）把一根长 2 米的方木（底面是正方形） 锯成三段， 表面积增加 5.76 平方分米，原来这根方木的底面积是多少平方分米？（9）一根 1.8m 长的木材，锯成三个完全相同的正方体后， 表面积比原来增加多少平方厘米？（10）一个长方体长为1.5 分米，宽为 0.5 分米，高位 1 分米，锯三刀之后之后可以锯成 6 个完全相同的正方体， 每个正方体的表面积是多少？这时表面积之和比原来增加多少？从一个长方体中切出一个最大的正方体问题应该以长方体中最短的棱作为切出正方体的棱长，这样的正方体将是能切出的最大正方体，否则切出的将不是正方体。例如：在一个长是 4 厘米，宽为 3 厘米，高为 2 厘米的长方体中切出一个最大的正方体，该正方体的棱长和是多少？剩余部分的表面积是多少？立体图形的组合（组合只会使表面积减少， 因此存在减少最多或最少的问题）?长方体将原来长方体的最大面组合在一起，其表面积比原来减少的最多。将原来长方体的最小面组合在一起，其表面积比原来减少的最少。而且两个组合将减少两个完全相同的面，三个组合减少四个完全相同的面，依次类推。?正方体无论沿那个面组合，都将减少两个正方形的面，减少的面积均为2a2不存在增加最多最少的问题。练习：（1）把三个棱长是1 厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是（） ，比原来 3 个正方体表面积之和减少了（） 。（2）把三个棱长是 2 分米的正方体拼成一个长方体，表面积是（） ，体积是（） 。（3）用 27 个体积是 1 立方厘米的小正方体粘合成一个大正方体，粘合后的大正方体的表面积是（）（4）把三个完全相等的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是350 平方米。这个正方形的表面积是多少平方米？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 22 页（5） 一个长方体的长 8 厘米，宽 6 厘米，高 5.5 厘米。将两个这样的长方体拼成一个大长方体，表面积最大是多少？体积是多少？（6）一种长方体积木，长3 厘米，宽 2.5 厘米，高 2 厘米。将两块这样的长方体拼成一个新的长方体，表面积最小是多少？（7） 用 3 个棱长 5 分米的正方体粘合成一个长方体， 表面积减少多少平方分米？表面积是多少平方厘米？（8）有三个大小相等的正方体，将他们拼成长方体，表面积减少32 平方厘米。求所拼长方体的表面积。（9）用两个同样的长、宽、高分别为4 厘米、 3 厘米和 2 厘米的小长方体，拼成一个表面积最大的长方体，这个大长方体的表面积是多少平方厘米？（10）用两个长 6 厘米，宽 3 厘米，高 1厘米的长方体一起包装，至少需要包装纸多少？（11）用 3 个棱长 4 分米的正方体粘合成一个长方体，长方体的表面积比3 个正方体的表面积少多少平方分米？表面积是多少平方厘米？（12）用两个同样的长、宽、高分别为4 厘米、3 厘米和 2 厘米的小长方体，拼成一个表面积最大的长方体，这个大长方体的表面积是多少平方厘米？【知识点 5】小正方体拼成的大正方体表面涂漆问题例如：大正方体长、宽、高上有几个小正方体，则将长、宽、高上的正方体数相乘就是大正方含小正方体的总数；在顶点位置的小正方体露在外面的面有3 个；在棱上（不包含顶点位置）的小正方体露在外面的面有2 个；在面上（不包含棱上）的小正方体露在外面得面有1 个；用总数 3 个面的 2 个面的 1 个面得 =没有露在外面的小正方体的个数。在该正方体表面涂上漆，有三个面涂上漆的小正方体有几个？有两个面图上漆的小正方体有几个？有一个面涂上漆的小正方体有几个？没有涂上漆的小正方体有几个？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 22 页练习：图 1 图 2 小正方体拼成的大正方体在取走一部分后表面积的变化【知识点 6】单位换算长度单位： mm 、cm 、dm 、m 相邻两个单位进率为10 面积单位： mm2、cm2、dm2、m2 相邻两个单位进率为100 体积单位： mm3、cm3、dm3、m3 相邻两个单位进率为1000 容积单位： ml、l 相邻两个单位进率为1000 特别的： 1ml=cm3 1l=1dm3 1 方=1m 3不是同一类型的单位， 数据不能比较大小， 同一类型的单位中右边的单位比左边的单位大。大单位化小单位乘以进率，小单位化大单位除以进率。例如： 手指尖约占了 1 立方厘米的空间，即它的体积约为1 立方厘米。一个粉笔盒的体积约为1 dm3。建一游泳池，约要挖土6000 方。 1.36 dm3 =1360 cm3 4.573m 3 =4573 dm3一个烧杯约能装水500ml。图一中，长方体共有（）个小正方体；其中两个面露在外面的小正方体共有（）个；没有露在外面的小正方体共有（）个。图二中三个图一次有（） 、 （） 、 （）小正方体 组 成 。 第 二 个 长 方 体 中 有 三 个 面 在 外 面 得 正 方 体 有（）个，两个面在外面的正方体有（）个，一个面在外面的有（）个，没有露在外面的小正方体（） 。挖去的小正方体在顶点位置 ，则大正方体的 表面积不变 ，因为原来在顶点位置小正方体露在外面的面为3 个，挖去后露出来的面也是3 个，所以表面积不变。挖去的小正方体在棱的位置 ，则大正方体的 表面积增加 ，因为原来在棱上的小正方体露在外面的面有2 个，挖去后会露出4 个面，所以表面积会增大。挖去的小正方体在面上 ，则大正方体的 表面积也会增加，因为原来在面上的小正方体只有1 个面露在外面，挖去后会露出5 个面，所以表面积会增大。高级单位进 率 高 级 单 位 的数低级单位低 级 单 位 的 数 进率精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 22 页 520ml=0.52L 5.67L=5.67 dm3 =5670cm3练习：(1)3.2立方分米 =（）立方厘米 500立方分米 =（）立方米9 立方米 500立方分米 =（）立方米 =（）立方分米3.6 升=（）毫升 =（）立方厘米1700平方厘米 =（）平方分米 =（）平方米3 升=（）毫升 2700毫升=（）升2.57 升=（）毫升 640毫升=（）升2.8 立方分米 =( ) 立方厘米 0.8升=( ) 毫升720 立方分米 =( ) 立方米 51000毫升= ( ) 升32 立方厘米 =( ) 立方分米 4.25立方米 =( ) 立方分米=( ) 升2.7 立方米 =( ) 升 1200毫升=( ) 立方厘米1.24立方米 =( ) 升=( ) 毫升 3.06升=（）升（）毫升40 立方米（）立方分米 4立方分米 5 立方厘米（）立方分米30 立方分米（）立方米 0.85升（）毫升2100毫升（） 立方厘米（） 立方分米 0.3升（）毫升（）立方厘米(2) 一个水池能装水 400 立方米，这是指 （） ， 占地 2 公顷指的是（） 。一块橡皮擦的体积约是8( )。一本书的封面约是2( )。运货集装箱的体积约是40( )。一支钢笔长 18( )。一台录音机的体积约是20( )。三、长方体和正方体的体积【知识点 1】容积与体积基本概念体积是指所占空间的大小； 容积是指所容纳物体的体积； 一个物体的容积一般都比它的体积小。当容器壁厚度忽略不计时体积=容积；否则体积 容积。比如说， 一个洗发液的瓶子里面所能装下的洗发液的体积就是它的容积。（容器壁忽略不计）体积计算方法：长方体的体积 =长宽高正方体的体积 =棱长棱长棱长长方体和正方体的体积 =底面积高 =右面面积长精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 22 页 =前面面积宽体积相等的两个长方体或者一个长方体与一个正方体，表面积不一定相等， 棱长和也不一定相等。体积相等的两个正方体，表面积一定相等，棱长和也一定相等。体积相等的情况下正方体的表面积比长方体的小；表面积相等的情况下正方体的体积比长方体的体积大。练习：5. 判断：体积单位比面积单位大， 面积单位比长度单位大（）正方体和长方体的体积都可以用底面积乘高来进行计算（）表面积相等的两个长方体， 它们的体积一定相等（）长方体的体积就是长方体的容积（）（2）一个正方体的棱长和是12 分米，它的体积是（）立方分米（3）一个长方体的体积是30 立方厘米，长是 5 厘米，高是 3 厘米，宽是（）厘米（4）表面积是 54 平方厘米的正方体，它的体积是（）立方厘米（5）一个长方体框架长8 厘米，宽 6 厘米，高 4 厘米，做这个框架共要（）厘米铁丝，是求长方体（），在表面贴上塑料板，共要（）塑料板是求（），在里面能盛（） 升水是求 （） ， 这个盒子有（）立方米是求（）（6）长方体的长是 6 厘米，宽是 4 厘米，高是 2 厘米，它的棱长总和是（）厘米，六个面中最大的面积是（）平方厘米，表面积是（）平方厘米，体积是（）立方厘米（7）一个正方体棱长 2 厘米，体积是（）立方厘米，如果这个正方体的棱长扩大 2 倍，它的体积是（）立方厘米。（8）一个菜窖能容纳6 立方米白菜，这个菜窖的（）是 6 立方米（9）表面积相等的长方体和正方体的体积相比，（）正方体体积大长方体体积大相等（10） 将一个正方体钢坯锻造成长方体， 正方体和长方体（） 体积相等， 表面积不相等体积和表面积都不相等表面积相等，体积不相等1、要制作 140 个棱长 5 厘米的正方体木块，至少需要木料多少立方分米？（12）某纸盒厂生产一种正方体纸板箱，棱长40 厘米，它的体积是多少立方厘米？合多少立方分米？2、长方体的长为 12 厘米，高为 8 厘米，阴影部分的两个面的面积和是 200平方厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？3、一个长方体的沙坑装满沙子，这个沙坑长3 米，宽 1.5 米，深 2 米，每立方米沙子重 1400千克，这个沙坑里共装沙子多少吨？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 22 页4、有一块面积为 36 平方分米的铁皮， 将其制作成可以容纳最多物体的形状，其棱长是多少？可以容纳多少立方分米的物体？（15）用一根 12 分米长的铁丝围成一个最大的正方体框架，这个正方体的体积是（）立方分米。【知识点 2】体积大小的比较对于液体可以直接比较体积的大小，如果液体体积小于容器既可以装得下，如果大于容器体积则装不下。对于固体而言， 在体积小于容器体积的前提下， 还需要比较物体的长宽高于容器的长宽高，只有物体的长宽高都小于或等于容器的长宽高时才可以将物体装入容器。例如：有一个长为 8 分米，高位 5 分米，体积为 240平方分米的硬纸盒，有一件陶瓷长为 7.4 分米，高位 4 分米，宽为 6.5 分米，是否可以放入该容器？分析：单纯计算容器和陶瓷的体积我们可以发现：陶瓷体积硬纸盒体积。但这并不意味着瓷器就可以装进盒子。我们还需要观察陶瓷