总体离散程度的估计--高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册.pptx
9.2.4 总体离散总体离散程度的估计程度的估计一、导入上节课我们学习了平均数、中位数、众数1)1)平均数：如果有平均数：如果有n n个数据个数据 那么这那么这n n个数的平均数个数的平均数12x ,x ,.,nx121()nxxxxn从频率分布直方图中估计平均数：从频率分布直方图中估计平均数：平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和. .一、导入2）中位数：把一组数据按大小顺序排列把一组数据按大小顺序排列, ,处在最中间的一个数据处在最中间的一个数据( (或两个数据的平均数或两个数据的平均数); ); 从频率分布直方图中估计中位数：中位数左右两边的直方图的面从频率分布直方图中估计中位数：中位数左右两边的直方图的面积相等积相等. .3）众数：一组数据中重复出现次数最多的数一组数据中重复出现次数最多的数; ; 从频率分布直方图中估计众数：众数是最高的矩形的中点从频率分布直方图中估计众数：众数是最高的矩形的中点. .一、导入平均数、中位数和众数为我们提供了一组数据的集中平均数、中位数和众数为我们提供了一组数据的集中趋势的信息趋势的信息, ,这是概括一组数据的特征的有效方法这是概括一组数据的特征的有效方法. .但仅知道集中趋势的信息但仅知道集中趋势的信息, ,很多时候还不能使我们做出很多时候还不能使我们做出有效的决策有效的决策. .这节课学习数据的另一大重要特征:离散程度一、导入离散程度简单理解就是数据聚在一块还是分散开05101520123456789 10福建010203012345678910武汉聚在一块分散开010203012345678910武汉这几天武汉的平这几天武汉的平均温度是均温度是18.118.1c c那不是挺舒服的么？那不是挺舒服的么？整齐稳定稳定，整齐就是离散程度低的意思一、导入初中用方差和标准差来衡量一组数据的离散程度方差，标准差大离散程度大方差，标准差小离散程度小一、导入计算方差和标准差：1）求平均数n12nii=1x +x +. +xx=xn数据:12nx ,x ,.,x2)数据与平均数作差12,.,nxx xxxx3）平方22212,.,nxxxxxx4）求平方的平均数2211s =()niixxn211s=()niixxn二、新课讲授问题问题1 1：有两名射击队员在一次射击测试中各射靶：有两名射击队员在一次射击测试中各射靶1010次次, ,每次命中的环数如下每次命中的环数如下: :甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7如果你是教练，你如何对两位运动员的射击情况作出如果你是教练，你如何对两位运动员的射击情况作出评价？如果这是一次选拔性考核，你应当如何作出选评价？如果这是一次选拔性考核，你应当如何作出选择？择？二、新课讲授通过简单的排序和计算，可以发现甲、乙两名运动员射击成绩的平通过简单的排序和计算，可以发现甲、乙两名运动员射击成绩的平均数、中位数众数都是均数、中位数众数都是7.7.从这个角度看，两名运动员之间没有差别。从这个角度看，两名运动员之间没有差别。 但从上图中看但从上图中看, ,甲的成绩比较分散甲的成绩比较分散, ,乙的成绩相对集中，即甲的成绩波动幅乙的成绩相对集中，即甲的成绩波动幅度比较大，而乙的成绩比较稳定。他们的射击成绩是存在差异的，那么，度比较大，而乙的成绩比较稳定。他们的射击成绩是存在差异的，那么，如何度量成绩的这种差异呢？如何度量成绩的这种差异呢？二、新课讲授一种简单的度量数据离散程度的方法就是用极差。一种简单的度量数据离散程度的方法就是用极差。根据甲、乙运动员的根据甲、乙运动员的1010次射击成绩，可以得到次射击成绩，可以得到甲命中环数的极差甲命中环数的极差=10-4=6=10-4=6乙命中环数的极差乙命中环数的极差=9-5=4=9-5=4可以发现甲的成绩波动范围比乙大。极差在一定程度上刻画了数据可以发现甲的成绩波动范围比乙大。极差在一定程度上刻画了数据的离散程度，但因为极差只使用了数据中最大、最小两个值的信息，的离散程度，但因为极差只使用了数据中最大、最小两个值的信息，对其他数据的取值情况没有涉及，所以极差所含的信息量很少。对其他数据的取值情况没有涉及，所以极差所含的信息量很少。二、新课讲授你还能想出其他刻画数据离散程度的办法么？二、新课讲授我们知道，如果射击的成绩很稳定，那么大多数的我们知道，如果射击的成绩很稳定，那么大多数的射击成绩离平均成绩不会太远；射击成绩离平均成绩不会太远；相反，如果射击的成绩波动幅度很大，那么大多数相反，如果射击的成绩波动幅度很大，那么大多数的射击成绩离平均成绩会比较远。的射击成绩离平均成绩会比较远。因此，我们可以通过这两组射击成绩与它们的平均因此，我们可以通过这两组射击成绩与它们的平均成绩的成绩的“平均距离平均距离”来度量成绩的波动幅度。来度量成绩的波动幅度。二、新课讲授如何定义如何定义“平均距离平均距离”？ 二、新课讲授假设一组数据是假设一组数据是 ，用，用 表示这组数据的平均表示这组数据的平均数。数。12,nxxxx用每个数据与平均数的差的绝对值作为用每个数据与平均数的差的绝对值作为“距离距离”，即，即(1,2, )ixx in则这组数据到则这组数据到 的的“平均距离平均距离”为为x11niixxn 为了避免式中含有绝对值，通常改用平方来代替，即为了避免式中含有绝对值，通常改用平方来代替，即211()niixxn 我们将其定义为这组数据的方差：我们将其定义为这组数据的方差：2211()niisxxn 二、新课讲授2222121()()() nsxxxxxxn有时为了计算方差的方便，我们还把方差写成以下形式有时为了计算方差的方便，我们还把方差写成以下形式22211niisxxn 二、新课讲授由于方差的单位是原始数据的单位的平方，与原由于方差的单位是原始数据的单位的平方，与原始数据不一致。为了使二者单位一致，我们对方始数据不一致。为了使二者单位一致，我们对方差开方，取它的算数平方根，即差开方，取它的算数平方根，即211s()niixxn 我们称其为这组数据的我们称其为这组数据的标准差标准差二、新课讲授1.1.总体方差和总体标准差总体方差和总体标准差（1）若总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，YN，总体的平均数为 ，则称 为总体方差， 为总体标准差.Y2211()NiiSYYN 2SS(2)总体方差的加权形式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(kN)个，可以记为Y1，Y2，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i1,2，k)，则总体方差为k22i11f ()iiSYYN 二、新课讲授2.2.样本方差和样本标准差样本方差和样本标准差若一个样本中个体的变量值分别为y1,y2,.,yn,总体平均数为 ，则称y2211yy（）niisn 为样本方差，2ss为样本标准差标准差刻画了数据的数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，标准差刻画了数据的数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小；数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小； 显显然，在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的，但在解然，在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的，但在解决实际问题中，一般多采用标准差。决实际问题中，一般多采用标准差。二、新课讲授问题问题1 1：有两名射击队员在一次射击测试中各射靶：有两名射击队员在一次射击测试中各射靶1010次次, ,每次每次命中的环数如下命中的环数如下: :甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7如果你是教练，你如何对两位运动员的射击情况作出评价？如果这如果你是教练，你如何对两位运动员的射击情况作出评价？如果这是一次选拔性考核，你应当如何作出选择？是一次选拔性考核，你应当如何作出选择？95.01, 2乙甲ss乙甲ss 即乙比甲的射击成绩稳定 例例1 甲甲、乙两机床同时加工直径为、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，从中抽取的零件，为检验质量，从中抽取6件测件测量数据为量数据为(单位：单位：cm)：甲：甲：9910098100100103乙：乙：9910010299100100(1) 分别计算两组数据的平均数及方差；分别计算两组数据的平均数及方差；(2) 根据计算说明哪台机床加工零件的质量更稳定根据计算说明哪台机床加工零件的质量更稳定 变式变式1 样本样本数均为数均为9的四组数据，它们的平均数都是的四组数据，它们的平均数都是5，条形图如图所示，则标，条形图如图所示，则标准差最大的一组是准差最大的一组是()A第一组第一组B第二组第二组 C第三组第三组 D第四组第四组 ;bax, bax, bax;bx , bx , bx;ax,ax,axsxx ,x ,xnnnn 2121212213213）（）（均数和方差：计算下列各组数据的平，方差是的平均数是、已知一组数据例22212212221221321sa, bxabax, bax, baxs, bxbx , bx , bxsa, xaax,ax,axsxx ,x ,xnnnn方差为平均数为的）新数据（方差为平均数为的）新数据（方差为平均数为的）新数据（，方差是的平均数是数据 总结：平均数总结：平均数、方差性质、方差性质2122 2122122 212(1)(2)(3).nnnnx xxxsax axaxaxa sxb xbxbxbsaxb axbaxbaxba s若数据 , , , 的平均数为 ,方差为 ,则新数据, ,的平均数为,方差为；新数据, ,的平均数为,方差为 ；新数据, ,的平均数为,方差为总结：平均数总结：平均数、方差性质、方差性质21222122122212(1)(2)(3).nnnnx xxxsax axaxaxa sxb xbxbxbsaxb axbaxbaxba s若数据 , , 的平均数为 ,方差为,则新数据, ,的平均数为,方差为；新数据, ,的平均数为,方差为；新数据, ,的平均数为,方差为归纳小结，回顾重点归纳小结，回顾重点
