2022年高三数学专题复习概率二项式定理函数不等式及其证明等几大专题高考复习资料 .pdf

高三数学专题概率 二项式定理函数 不等式及其证明数学高考总复习：概率知识网络目标认知 考试大纲要求：1了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别 . 2了解两个互斥事件的概率加法公式. 3理解古典概型及其概率计算公式；会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率 . 4了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；了解几何概型的意义。5了解条件概率和两个事件相互独立的概念，并能解决一些简单的实际问题. 重点：理解互斥事件的概率加法公式，古典概型及其概率计算公式，并能计算有关随机事件的概率； 求简单的几何概型的概率问题；条件概率和两个事件相互独立的概念，并能解决一些简单的实际问题. 难点：古典概型及其概率计算公式；几何概型的意义， 用条件概率和两个事件相互独立的概念，解决一些简单的实际问题. 知识要点梳理 知识点一：事件及有关概念1事件：在一定条件下出现的某种结果。在一定的条件下，能否发生某一事件有三种可能：必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件；必然事件和不可能事件的统称为确定事件，确定事件和随机事件统称为事件，其一般用大写字母 A、B、C表示。2. 基本事件：一次试验连同其可能出现的一个结果称为一个基本事件，它是试验中不能再分的最简单的随机事件， 其他事件可以用它们来描绘，这样的事件称为基本事件。如果一次试验中可能出现的结果有n 个，那么这个试验由n 个基本事件组成。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 29 页3基本事件的特点：（1）不能或不必分解为更小的随机事件；（2）不同的基本事件不可能同时发生；（3）一次试验中的基本事件是彼此互斥的；（4）试验中出现的结果总可以用基本事件来描绘. 知识点二：频率与概率1频数与频率：在相同条件下重复次试验，观察某一事件A 是否出现，称次试验中事件A 出现的次数为事件 A 出现的频数，称为事件 A 出现的频率。2概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率稳定在某个常数上，则这个常数就叫事件A 的概率，记作。概率的基本性质任何事件的概率的取值范围：。P（必然事件）1，P（不可能事件）0；3频率与概率的区别与联系：频率随着试验次数的改变而变化，概率却是一个常数；随机事件的频率，指事件发生的次数与试验总次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动， 且随试验次数的不断增多，摆动幅度越来越小，这个常数就是这个随机事件的概率。概率可以看作是频率理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。知识点三：古典概型1定义：具有如下两个特点的概率模型称为古典概型：（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件出现的可能性相等。注意： 古典概型也称等可能性事件的概率。2古典概型的基本特征：（1）有限性：即在一次试验中，可能出现的结果，只有有限个，也就是说，只有有限个不同的基本事件。（2）等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的。3古典概型的概率计算公式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 29 页由于古典概型中基本事件发生是等可能的，如果一次试验中共有种等可能的结果，那么每一个基本事件的概率都是。如果某个事件A 包含个基本事件，由于基本事件是互斥的，则事件A 发生的概率为其所含个基本事件的概率之和，即。所以古典概型计算事件A 的概率计算公式为：4求古典概型的概率的一般步骤：（1）算出基本事件的总个数；（2）计算事件A 包含的基本事件的个数；（3）应用公式求值 。5古典概型中求基本事件数的方法：（1）穷举法；（2）树形图；（3）排列组合法。利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理，必须做到不重复不遗漏 。知识点四：几何概型1定义：事件 A 理解为区域的某一子区域A，A 的概率只与子区域A 的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A 的位置和形状无关。满足以上条件的试验称为几何概型。2几何概型的两个特点：（1）无限性，即在一次试验中基本事件的个数是无限的；（2）等可能性，即每一个基本事件发生的可能性是均等的。3几何概型的概率计算公式：随机事件 A 的概率可以用“事件A 包含的基本事件所占的图形面积（体积、长度）”与“试验的基本事件所占总面积（体积、长度）”之比来表示。所以几何概型计算事件A 的概率计算公式为：其中表示试验的全部结果构成的区域的几何度量，表示构成事件A 的区域的几何度量。注意： 用几何概型的概率公式计算概率时，关键是构造出随机事件所对应的几何图形，并对几何图形进行相应的几何度量. 对于一些简单的几何概型问题，可以快捷的找到解决办法. 知识点五：互斥事件1互斥事件的概念：不可能同时发生的事件叫做互斥事件一般地，如果事件中的任何两个都是互斥的，那么就说事件彼此互斥 2互斥事件有一个发生的概率：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 29 页对于事件 A 和事件 B，用 A+B 表示事件A、B 中有一个发生。如果 A、B 互斥，即事件A、B 不可能同时发生，则：。一般地，如果彼此互斥，则：。3对立事件的概念：其中必有一个发生的两个互斥事件，叫做互为对立事件。事件A 的对立事件记作。4对立事件的概率：如果 A、B 对立，即事件A、B 不可能同时发生，但A、B 中必然有一个发生，则：。一般地，。注意：当计算事件A 的概率比较困难时， 有时计算它的对立事件的概率则要容易些。涉及“至少一个”多转化为求对立事件的概率。5对立事件与互斥事件的区别和联系：互斥事件研究的是两个事件之间的关系，所研究的两个事件是在一次试验中涉及的，两个事件互斥是从试验的结果不能同时出现来确定的。从集合角度来看，A、B 两个事件互斥，则表示 A、B 这两个事件所含结果组成的集合的交集是空集。立事件是互斥事件的一种特殊情况，是指在一次试验中有且仅有一个发生的两个事件，集合A 的对立事件记作，从集合的角度来看，事件所含结果的集合正是全集U 中由事件 A 所含结果组成集合的补集。对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件。知识点六：相互独立事件1相互独立事件的定义：事件（或）是否发生对事件（或）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。若与是相互独立事件，则与，与，与也相互独立注意： 相互独立是研究两个事件的关系；所研究的两个事件是在两次试验中得到的；两个事件相互独立是从“一个事件的发生对另一个事件的发生的概率没有影响”来确定的 2相互独立事件同时发生的概率：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 29 页对于事件 A 和事件 B，用表示事件 A、B 同时发生。与是相互独立事件，则一般地，事件相互独立，则：3互斥事件与相互独立事件的区别：事件间的“互斥”与“相互独立”是两个不同的概念。两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立，是指一个事件的发生与否，对另一事件发生的概率没有影响。前者是指同一次试验中的两事件不能同时发生，后者是指在不同试验下二者互相不影响。两个相互独立事件不一定互斥，即可能同时发生，而互斥事件不可能同时发生。4独立重复试验的概率公式：如果事件A 在一次试验中发生的概率为P，那么 n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生 k 次的概率为：。令得 ， 在n次 独 立 重 复 试 验 中 ， 事 件A没 有 发 生 的 概 率 为令得 ， 在n次 独 立 重 复 试 验 中 ， 事 件A全 部 发 生 的 概 率 为。说明：（ 1）独立重复试验， 是在同样的条件下重复的，各次之间相互独立地进行的一种试验，在这种试验中，每一次的试验结果只有两种，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的。（2）正好是二项式 (1P)+Pn的展开式的第k+1 项，很自然联想到二项式定理，因此这个概率分布也叫二项分布。（3）n 次独立重复试验常见实例：反复抛掷一枚均匀硬币已知产品率的抽样有放回的抽样射手射击目标命中率已知的若干次射击知识点七：条件概率1条件概率的概念：设、为两个事件，且，则称是在事件发生的条件精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 29 页下事件 B 发生的概率。把读作：发生的条件下B 发生的概率。2条件概率的性质：（1）；（2）若 B、C 为互斥事件，则规律方法指导1求概率问题的一般步骤：确定事件的性质：古典概型、几何概型、互斥事件、对立事件、独立事件、独立重复实验、条件概率；判定事件的运算：和事件还是积事件、至少一个发生还是同时发生，分别应用相加或相乘概率公式；正确应用相应的公式求解。可充分利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理,必须做到不重复不遗漏。2对于事件A、B 当 A、B 互斥时，事件A+B 的概率有： P(A+B)=P(A)+P(B) ，当 A、B 对立时，事件A+B 的概率有： P(A+B)=P(A)+P(B)=1 。当 A、B 是任何两个事件时，事件A+B 的概率有P(A+B)=P(A)+P(B) P(AB)。高考数学总复习：二项式定理知识网络目 标认知考试大纲要求：1能用计数原理证明二项式定理；2掌握二项展开式系数的性质及计算的问题；3会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 重点：1用二项式定理的通项公式解决二项展开式（或多项展开式）中某一项（或某一项的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 29 页系数）的问题；2二项展开式中二项式系数的和与各项系数的和问题. 难点：1二项展开式的通项的问题；2有关多项展开转化为二项展开的问题；3二项式定理的其他应用问题. 知识要点梳理 知识点一：二项式定理二项式定理：，其中：公式右边的多项式叫做的二项展开式；展开式中各项的系数叫做二项式系数；式中的第r+1 项叫做二项展开式的通项，用表示；二项展开式的通项公式为. 知识点二：二项展开式的特性项数：有n+1 项；次数：每一项的次数都是n 次，即二项展开式为齐次式；各项组成：从左到右，字母a 降幂排列，从n 到 0；字母 b 升幂排列，从0 到 n；系数：依次为. 知识点三：二项式系数的性质对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等单调性： 二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值.其中，当n 为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数最大；当 n 为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数，相等，且最大 . 二项式系数之和为，即其中，二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，即规律方法指导1对于二项式定理的构成，展开式中含的项的系数可理解为从n 个相同的a+b精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 29 页中先取出r 个 b，有种不同取法，再从剩下的n-r 个括号中取出n-r 个 a，有种方法，据分步计数原理，共有种不同方法数，该方法数就对应着展开式中含的项的系数 . 2二项展开式的各项均含有不同的组合数，若赋予a，b 不同的取值，则二项式展开式演变成一个组合恒等式 .因此，揭示二项式定理的恒等式为组合恒等式的“母函数”，它是解决组合多项式问题的原始依据 . 20XX届高考数学快速提升成绩题型训练恒成立问题1. （1）若关于x的不等式02aaxx的解集为),(，求实数a的取值范围； （2）若关于x的不等式32aaxx的解集不是空集，求实数a的取值范围2 三个同学对问题“关于x的不等式232255xxxax在 1,12 上恒成立，求实数a的取值范围”提出各自的解题思路甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”乙说：“把不等式变形为左边含变量x的函数，右边仅含常数，求函数的最值”丙说：“把不等式两边看成关于x的函数，作出函数图像”参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，求a的取值范围 . 3. 已知向量2(,1),(1, ),axxbx t若函数baxf在区间1,1 上是增函数，求 t 的取值范围 . 4. 已知函数331,5fxxaxg xfxax，其中fx 是 fx 的导函数. （1）对满足11a的一切a的值，都有0g x，求实数x的取值范围；（2）设2am，当实数m在什么范围内变化时， 函数 yfx 的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 29 页图象与直线3y只有一个公共点 . 5. 求与抛物线2:Eyax相切于坐标原点的最大圆C 的方程 . 6. 设 aR ， 二 次 函 数2( )22 .f xaxxa若( )0f x的 解 集 为 A ，|13 ,BxxAB，求实数a的取值范围 . 7. 已知函数xxfln，bxaxxg221，0a. 若2b，且xgxfxh存在单调递减区间，求a 的取值范围；8. 设3x是函数23( )()()xf xxaxb exR的一个极值点 . （）求a与 b的关系式（用a表示 b） ，并求( )f x的单调区间；（）设0a，225( )()4xg xae , 若存在12,0, 4使得12()()1fg成立，求a的取值范围 . 9. 已知函数.1 ,0,274)(2xxxxf（1）求)(xf的单调区间和值域；（2）设1a，函数1 ,0,2323xaxaxxg, 若对于任意1x1 ,0, 总存在1 , 00 x使得)()(10 xfxg成立，求 a 的取值范围 . 10. 求 实数a的取 值范 围 ， 使 得 对 任 意 实 数x和 任 意2,0， 恒 有 ：81cossincossin2322aaxx。11. 已 知1x是 函 数32( )3(1)1f xmxmxnx的 一 个 极 值 点 ， 其 中,0m nR m。 （I ）求m与n的关系式；（II ）求( )f x的单调区间；（III）当精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 29 页1,1x时，函数( )yf x的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围 . 12. 设数列 an 的前 n 项和为 Sn，已知 a11，a26，a311，且1(58)(52),1,2,3,nnnSnSAnB n，其中 A,B 为常数 . （）求 A与 B 的值；（）证明数列 an 为等差数列；（）证明不等式51mnmnaa a对任何正整数 m 、n 都成立 . 13. 对于满足 |a|2 的所有实数 a, 求使不等式 x2+ax+12a+x恒成立的 x 的取值范围。14. 已知函数( )f x是定义在1,1 上的奇函数，且(1)1f，若,1,1a b，0ab，有( )( )0f af bab， （1）证明( )f x在1,1 上的单调性； （2）若2( )21f xmam对所有1,1a恒成立，求m的取值范围。15. 若函数268ymxmxm在 R上恒成立，求 m的取值范围。16. 已知函数2( )3f xxaxa，在 R上( )0fx恒成立，求a的取值范围。17. 若2,2x时，( )0f x恒成立，求a的取值范围。18. 若2,2x时，( )2f x恒成立，求a的取值范围。19. 若对任意的实数x，2sin2 cos220 xkxk恒成立，求 k 的取值范围。分析：这是有关三角函数的二次问题，运用到三角函数的有界性。20. 已知函数( )lg()xxf xab，常数10ab，求（1）函数( )yf x的定义域；（2）当ba、 满足什么条件时( )f x在区间 1,上恒取正。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 29 页答案：1. （1）设aaxxxf2. 则关于x的不等式02aaxx的解集为),(0 xf在,上恒成立0minxf, 即,0442minaaxf解得04a（2）设aaxxxf2. 则关于x的不等式32aaxx的解集不是空集3xf在,上能成立3minxf, 即, 3442minaaxf解得6a或2a. 2. 关键在于对甲，乙，丙的解题思路进行思辨，这一思辨实际上是函数思想的反映 . 设232255,fxxxxg xax. 甲的解题思路， 实际上是针对两个函数的， 即把已知不等式的两边看作两个函数，设232255,fxxxxg xax其解法相当于解下面的问题：对于121,12 ,1,12xx, 若12fxg x恒成立 , 求a的取值范围 . 所以，甲的解题思路与题目1,12x, fxg x 恒成立 , 求a的取值范围的要求不一致 . 因而, 甲的解题思路不能解决本题. 按照丙的解题思路需作出函数232255fxxxx的图象和g xax的图象 , 然而, 函数 fx 的图象并不容易作出 . 由乙的解题思路 , 本题化为fxax在1,12x上恒成立 , 等价于1,12x时,minfxax成立. 由255fxxx xxx在51,12x时, 有最小值 10, 于是,10a. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 29 页3. 依定义,)1()1()(232ttxxxxtxxxf.23)(2txxxf则xf在区间1 ,1上是增函数等价于0 xf在区间1 , 1上恒成立 ; 而0 xf在区间1 , 1上恒成立又等价于xxt232在区间1 , 1上恒成立; 设1 , 1,232xxxxg进而xgt在区间1 , 1上恒成立等价于1 , 1,maxxxgt考虑到1 , 1,232xxxxg在31, 1上是减函数 , 在1 ,31上是增函数 , 则51maxgxg. 于是, t的取值范围是5t. 4. 解法 1. 由题意2335g xxaxa，这一问表面上是一个给出参数a的范围，解不等式0g x的问题，实际上，把以x为变量的函数 g x ，改为以a为变量的函数，就转化为不等式的恒成立的问题，即令2335ax ax，11a，则对11a，恒有0g x，即0a，从而转化为对11a，0a恒成立，又由a 是a的一次函数，因而是一个单调函数，它的最值在定义域的端点得到. 为此只需1010即22320,380.xxxx解得213x. 故2,13x时，对满足11a的一切a的值，都有0g x. 解法 2. 考虑不等式23350g xxaxa. 由 11a知,236600aa, 于是, 不等式的解为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 29 页223660366066aaaaaax. 但是, 这个结果是不正确的 , 因为没有考虑a的条件 , 还应进一步完善 . 为此, 设2236603660,66aaaaaag ah a. 不等式化为, 11g axh aa恒成立 , 即maxmin, 11g axh aa. 由于236606aaag a在11a上是增函数,则max213g ag, 236606aaah a在 11a上是减函数 , 则min11.h ah所以 , 213x. 故2,13x时，对满足11a的一切a的值，都有0g x. 5. 因为圆 C 与抛物线2:Eyax相切于坐标原点, 所以 , 可设222:C xyrr . 由题意 , 抛物线E上的点,P x y 除坐标原点0,0 之外, 都在圆 C的外边 . 设 P 和圆心0,Cr 的距离为 d , 则本题等价于22dxyrr在0y的条件下 , 恒成立 . 整理式得12yra于是, 本题又等价于式在0y的条件下 , 恒成立 . 即min12yra, 由min0y得102ra, 即12ra. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 29 页所以, 符合条件的最大圆的半径是12ra, 最大圆 C 的方程为2221122xyaa6. 解法一：由题设 ,0a. 0fx的两个根为12112,xaa22112,xaa显然,120,0 xx. (1) 当0a时,12Ax xxx, 21ABx2112aa12.a (2) 当0a时,12Ax xxx xx, 23ABx2112aa637a. 于是, 实数a的取值范围是6, 2,7. 解法二 : (1) 当0a时, 因为 fx 的图象的对称轴10a，则对1,3x，1f最大，max1220.2.fxfaaa (2) 当0a时,max,1,3fxx在1f或3f实现, 由120,376fafa, 则637607faa于是, 实数a的取值范围是6, 2,7. 这个解法的关键是用函数思想指导, 学会用函数和变量来思考 . 7. 只研究第（ I ）问.xaxxxhb221ln)(,22时，则.1221)(2xxaxaxxxh因为函数 h x 存在单调递减区间，所以( )0h x有解. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 29 页由题设可知 ,xh的定义域是, 0 , 而0 xh在,0上有解 , 就等价于0 xh在区间, 0能成立 , 即xxa212, , 0 x成 立 , 进 而 等 价 于xuamin成 立 , 其 中xxxu212. 由xxxu2121112x得,1minxu. 于是,1a, 由题设0a, 所以a的取值范围是,00, 18. 本题的第（）“若存在12,0, 4使得12()()1fg成立，求a的取值范围 . ”如何理解这一设问呢？如果函数fx 在0,4x的值域与 g x 在0,4x的值域的交集非空，则一定存在12,0,4使得12()()1fg成立，如果函数 fx 在0,4x的值域与 g x 在0,4x的值域的交集是空集，只要这两个值域的距离的最小值小于1 即可. 由（）可得 , 函数 fx 在0,4x的值域为323,6ae a, 又 g x 在0,4x的值域为2242525,44aae, 存在12,0, 4使得12()()1fg成立，等价于maxmin1fxgx或maxmin1gxfx，容易证明 ,2254a6a. 于是,22561,30420.aaaa. 9. （1）对函数)(xf求导，得222)2()72)(12()2(7164)(xxxxxxxf令0)(xf解得.2721xx或精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 29 页可以求得，当)21, 0(x时，)(xf是减函数；当) 1 ,21(x时，)(xf是增函数 . 当 1 ,0 x时，)(xf的值域为4, 3 . （2）对函数)(xg求导，得).(3)(22axxg因为1a，当)1 ,0(x时，.0)1 (3)(2axg因此当)1 , 0(x时，)(xg为减函数，从而当 1 ,0 x时有).0(),1 ()(ggxg又,2)0(,321) 1(2agaag即 1 ,0 x时有( )g x的值域为是2123, 2 .aaa如 何 理 解 “ 任 给 1 ,01x，3,4)(1xf， 存 在1 ,00 x使 得)()(10 xfxg” ，实 际 上 ， 这 等 价 于)(xf值 域 是( )g x值 域 的 子 集 ， 即2123, 2 4, 3.aaa这就变成一个恒成立问题，)(xf的最小值不小于( )g x的最小值，)(xf的最大值不大于( )g x的最大值即.32, 43212aaa解式得351aa或；解式得.23a又1a，故a的取值范围为.231a10. 提示：原不等式41cossincossin232aa答案：6a或27a11. 分析一： 前面两小题运用常规方法很快可以得到，(I)36nm（II ） 当0m时，( )f x在2,1m单调递减，在2(1,1)m单调递增，在(1,)上单调递减 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 29 页（III ）为( )3fxm对1,1x恒成立，即 3m(x1)x(1+2m) 3mm0，(x1)x(1+2m)1(*) 1x=1 时，(*) 化为 01恒成立，m0 2x1 时，x1,1 ， 2x10 运用函数思想将 (*) 式化为2m(x1)11x，令t=x1，则t2,0 ，记1( )g ttt，则( )g t在区间 2,0 是单调增函数；min13( )( 2)222g tg由(*) 式恒成立，必有23423mm，又m0，则403m综合 1、2 得403m分析二： （III ）中的( )3fxm，即22(1)20mxmx对1,1x恒成立，0m222(1)0 xmxmm即222(1)0,1,1xmxxmm运用函数思想将不等式转化为函数值大于0，设212( )2(1)g xxxmm，再运用数形结合思想，可得其函数开口向上，由题意知式恒成立，22( 1)0120(1)010gmmg解之得43m又0m所以403m即m的取值范围为4(,0)3。通过上述的等价转化， 使恒成立的解决得到简化， 其中也包含着函数思想和数形结合思想的综合运用。12. 分析：本题是一道数列综合运用题，第一问由a1、a2、a3求出 s1、s2、s3代入关系式，即求出A=-20、B=-8；第二问利用)1(1nssannn公式，推导得证数列an 为等差数列. 由于an=1+5(n-1)=5n-4 ，故第三问即是证明1)45)(45()45(5nmmn对任何正整数 m 、n 恒成立 . 对此复杂的恒成立问题，我们可以用分析法将此恒成立问题进行等价转化，由于要等价转化故需要先移项再两边平方，整理得：37)(20)45)(45(2nmnm，而基本不等式得到：8)(5)45)(45(2nmnm，因此要证明原不等式恒成立，只要证5(m+n)-829，而此式对任何正整数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 29 页m、n都能成立。通过等价转化，将原来恒成立不等式得到大大简化，从而将复杂问题简单化。13. 分析：在不等式中出现了两个字母： x 及 a, 关键在于该把哪个字母看成是一个变量， 另一个作为常数。显然可将 a 视作自变量，则上述问题即可转化为在 -2 ，2 内关于 a 的一次函数大于 0 恒成立的问题。解：原不等式转化为 (x-1)a+x2-2x+10, 设 f(a)= (x-1)a+x2-2x+1, 则 f(a) 在-2,2上恒大于 0，故有：)2(0)2(ff即0103422xxx解得：1113xxxx或或x3. 14. 分析：第一问是利用定义来证明函数的单调性，第二问中出现了 3 个字母，最终求的是m的范围，所以根据上式将m当作变量，a作为常量，而x则根据函数的单调性求出( )f x的最大值即可。（1） 简证：任取12,1,1x x且12xx，则21,1x1212()()0f xf xxx1212()()0 xxf xfx又( )f x是奇函数1212()()0 xxf xf x( )f x在1,1 上单调递增。（2） 解：2( )21fxmam对所有1,1x，1,1a恒成立，即2max21mamf，max(1)1ff2221120mammam即2( )20g aamm在1,1 上恒成立。( 1)120(1) 120gaga1212aa1122a。15. 分析：该题就转化为被开方数2680mxmxm在 R上恒成立问题， 并且注意对二次项系数的讨论。略解：要使268ymxmxm在 R上恒成立，即2680mxmxm在 R上恒成立。10m时， 800m成立20m时，2036483210mmmm m，01m精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 29 页由1 ， 2 可知， 01m16. 分析：( )yfx的函数图像都在 X轴上方，即与 X轴没有交点。略解：224 34120aaaa62a17.22( )324aaf xxa，令( )f x在2,2 上的最小值为( )g a。当22a，即4a时，( )( 2)730g afa73a又4aa不存在。当222a，即44a时，2( )()3024aag afa62a又44a42a当22a，即4a时 ，( )(2)70g afa7a又4a74a总上所述，72a。18. 解法一：分析：题目中要证明axf)(在2,2 上恒成立，若把a移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间2,2 时恒大于等于 0 的问题。略解：2( )320f xxaxa，即2( )10fxxaxa在2,2 上成立。24 10aa22222 2a24(1)0(2)0( 2)02222aaffaa或2225a综上所述，2225a。解法二： （利用根的分布情况知识）当22a，即4a时，( )( 2)732g afa54,3aa不存在。 当222a， 即44a时 ，2( )()3224aag afa，222222a2224a2 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 29 页当22a，即4a时，( )(2)72g afa，5a54a综上所述2225a。此题属于含参数二次函数，求最值时，轴变区间定的情形，还有与其相反的，轴动区间定。19. 解法一：原不等式化为2cos2 cos210 xkxk令costx，则1t，即222( )22121f ttktktkkk在1,1t上恒大于 0。若1k，要使( )0f t，即( 1)0f，12kk 不存在若11k，若使( )0f t，即2( )210f kkk1212k121k若1k，要使( )0f t，即(1)0f，1k由，可知，12k。解法二：2( )2210f ttktk，在1,1 上恒成立。22101212kkk2210(1)0( 1)011kkffkk或12k由，可知，12k。20. 解： （1）( )lg()xxf xab0 xxab又10ab0 x定义域|0 x x（2）( )lg()xxf xablnln( )xxxxaabbfxab( )0fx( )f x在 0,上单调递增( )f x在 1,上单调递增，( )(1)f xf要使( )f x在 1,上恒正，只须( )(1)0fxf，即lg()0lg1ab1ab且10ab。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 29 页高考数学总复习：函数的概念与性质知识网络目标认知考试大纲要求：1. 了解映射的概念，了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；2. 在实际情境中， 会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、 列表法、 解析法 )表示函数3. 了解简单的分段函数，并能简单应用4. 理解函数的单调性、最大 (小)值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义5. 会运用函数图象理解和研究函数的性质重点：会求一些简单函数的定义域和值域，理解分段函数及其简单应用，会运用函数图象理解和研究函数的性质。难点：分段函数及其简单应用；运用函数图象理解和研究函数的性质知识要点梳理 知识点一：函数的概念1.映射设 A、B 是两个集合 ,如果按照某种对应法则f,对于集合A 中任何一个元素,在集合 B 中都有唯一的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合 A、B 及集合 A 到集合 B 的对应法则f)叫做集合 A 到集合 B 的映射 ,记作f：AB。理解：（1）映射是从集合A 到集合 B 的“一对一”或“多对一”两种特殊的对应. （2）映射中的两个集合可以是数集，点集或其它集合. （3）集合 A 到集合 B 的映射f：AB 是一个整体 ,具有方向性；f：AB 与 f：BA 一般情况下是不同的映射 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 29 页（4）给定一个集合A 到集合 B 的映射f：AB,且 aA,bB,如果在此映射之下元素a 和元素 b 对应 ,则将元素 b 叫做元素a 的象,元素 a 叫做元素b 的原象 .即如果在给定映射下有f：ab,则 b 叫做 a 的象,a 叫做 b 的原象 . （5）映射允许集合B 中的元素在集合A 中没有原象 . 2.函数的定义 （1）传统定义 :设在某一变化过程中有两个变量x 和 y,如果对于某一范围内x的每一个值 ,y 都有唯一的值和它对应,那么就说 y 是 x 的函数 ,x 叫做自变量 ,y 叫做因变量 (函数). （2）现代定义 :设 A、B 是两个非空数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x ,在集合 B 中都有唯一确定的数f(x) 和它对应 ,那么就称f： AB 为从集合A 到集合 B 的一个函数 ,记作 y=f(x),x A.其中 ,x 叫做自变量 ,x 的取值范围A 叫做函数的定义域 ;与 x 的值相对应的y 的值叫做函数值,函数值的集合C=f(x)|x A叫做函数的值域. 理解： 集合 A、B 是两个非空数集；f 表示对应法则；f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射；值域 CB。3.函数的表示函数关系可用列表法，图象法，解析法来表示. 解析法 :把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等式叫做函数的解析表达式,简称解析式 . 当对应法则可以用解析式表达时，一般用符号y=f(x) 表示，此时解析式本身就是从定义域到值域的对应法则 . 列表法 :列出表格表示两个变量的函数关系的方法.运用列表法表示的,多是理论或实际生活中偏于实用的函数 . 图象法 :用函数图象表示两个变量之间函数关系的方法.图象法直现形象地表示出函数的变化情况 ,是数形结合的典范.只是它不能精确表示自变量与函数值之间的对应关系. 4.函数的三要素函数的三要素是指函数的定义域、值域、对应法则. 只有两个函数的定义域，值域，对应法则完全相同，它们才是同一函数. 知识点二：函数的性质1单调性 （1）定义：设函 数f(x) 的定义域为I, 区 间DI.如 果对任意,D, 当时 ,都 有(或),则称 f(x)是区间 D 上的增 (减)函数 .区间 D 称为 f(x) 的单调区间 . 如果函数f(x)在区间 (a,b)上是增函数或是减函数，那么就称f(x)在区间 (a,b)上具有单调精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 29 页性，称为单调函数。理解： 单调性立足于函数定义域的某一子区间.相对于整个定义域而言,单调性往往是函数的局部性质,而对于这一区间而言,单调性又是函数在这一区间上的“整体”性质.因此定义中的,具有任意性 ,不能以特殊值代替. 函数 f(x) 在区间 D 上递增 (或递减 ),与 f(x) 图像在区间D 上部分 (从左向右 )的上升 (或下降 )是一样的 . 注意到定义均为充要性命题,因此 ,在函数的单调性之下,自变量的不等关系与相应函数值间的不等关系相互贯通 : f(x) 在 D 上为增函数且f()f(),且,D; f(x) 在 D 上为减函数且f()f(),D. (2)定义的应用单调性的定义,是判断 ,证明函数的单调性以及寻求函数单调区间的基本依据.应用函数的单调性定义的解题三部曲为： 设值定大小 :设,为给定区间上任意两个自变量值,且; 作差并变形 :作差 f()-f(),并将差式向着有利于判断差式符号的方向变形; 定号作结论 :确