2022年高三数学知识点精析精练15直线 .pdf

知识点大全2014高三数学知识点精析精练15：直线【复习要求】1.对直线方程中的基本概念，要重点掌握好直线方程的特征值(主要指斜率、 截距 )等问题；直线平行和垂直的条件；与距离有关的问题等. 2.对称问题是直线方程的一个重要应用，中学里面所涉及到的对称一般都可转化为点关于点或点关于直线的对称.中点坐标公式和两条直线垂直的条件是解决对称问题的重要工具. 3.线性规划是直线方程的又一应用.线性规划中的可行域，实际上是二元一次不等式(组)表示的平面区域.求线性目标函数z=ax+by 的最大值或最小值时，设t=ax+by,则此直线往右 (或左)平移时， t 值随之增大 (或减小 )，要会在可行域中确定最优解. 4. 由于一次函数的图象是一条直线，因此有关函数、数列、不等式、复数等代数问题往往借助直线方程进行，考查学生的综合能力及创新能力. 【复习要点】【例题】【例 1】已知点 B（1，4） ，C（16， 2） ，点 A 在直线 x 3y3 = 0 上，并且使ABC的面积等于21，求点 A 的坐标。解：直线BC方程为 2x5y22 = 0,| BC| = 29 ，设点 A 坐标 (3y3,y)，则可求A到 BC的距离为29|2811|y，ABC 面积为 21，2129|2811|2921y，11141170或y，故点 A坐标为（1170,11177）或（1114,1175）. 【例 2】已知直线l 的方程为3x+4y12=0, 求直线 l的方程 , 使得：(1) l与 l 平行 , 且过点 (1,3) ; (2) l与 l 垂直 , 且 l与两轴围成的三角形面积为4. 解：(1) 由条件 , 可设 l的方程为3x+4y+m=0, 以 x= 1, y=3 代入 , 得 3+12+m=0, 即得 m= 9, 直线 l的方程为3x+4y9=0; (2) 由条件 , 可设 l的方程为4x3y+n=0, 令 y=0, 得4nx, 令 x=0, 得3ny, 于是由三角形面积43421nnS, 得 n2=96, 64n直线 l的方程是06434yx或06434yx【例 3】过原点的两条直线把直线2x3y12 = 0 在坐标轴间的线段分成三等分，求精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页知识点大全这二直线的夹角。解：设直线2x3y 12 = 0 与两坐标轴交于A，B 两点，则 A（0，4） ，B（6， 0） ，设分点C，D，设COD为所求角。2CABC，38212402216ccyx， C（2，38）. 又2DBAD，3421442162000yx， D(4,34)，31,34ODOCkk. 139313413134|1|ODOCODOCkkkktg，139arctg. 【例 4】圆 x2y2x6yc = 0 与直线 x2y3 = 0 相交于 P ,Q 两点 ,求 c 为何值时,OPOQ(O为原点 ). 解：解方程组消x 得 5y220y12c = 0,)12(5121cyy, 消 y 得 5x210 x4c27 = 0,)274(5121cxx, OPOQ,12211xyxy,5274512cc，解得 c = 3. 【例 5】已知直线 y =2xb 与圆 x2y24x2y15 = 0相切 ,求 b 的值和切点的坐标. 解：把 y =2x b 代入 x2y24x2y15 = 0, 整理得 5x24(b2)xb22b15 = 0,令= 0 得 b =7 或 b =13, 方程有等根，5)2(2 bx，得 x =2 或 x = 6，代入 y = 2x 7 与 y = 2x13 得 y =3 或 y = 1，所求切点坐标为（2， 3）或（ 6，1）. 【例 6】已知 |a|1,|b|1,|c|1,求证： abc+2a+b+c. 证明：设线段的方程为y=f(x)=(bc1)x+2 bc,其中 |b| 1,|c| 1,|x| 1,且 1b1. f(1)=1bc+2b c=(1bc)+(1b)+(1c)0 f(1)=bc 1+2bc=(1 b)(1 c) 0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页知识点大全线段 y=(bc 1)x+2bc(1x1)在 x 轴上方，这就是说，当|a|1,|b|1,|c|1 时，恒有 abc+2a+b+c. 【例 7】某校一年级为配合素质教育，利用一间教室作为学生绘画成果展览室，为节约经费，他们利用课桌作为展台，将装画的镜框放置桌上，斜靠展出，已知镜框对桌面的倾斜角为(90 180)镜框中， 画的上、 下边缘与镜框下边缘分别相距a m,bm,(ab).问学生距离镜框下缘多远看画的效果最佳？解：建立如图所示的直角坐标系，AO 为镜框边， AB 为画的宽度，O 为下边缘上的一点，在x 轴的正半轴上找一点C(x,0)(x0),欲使看画的效果最佳，应使ACB 取得最大值 . 由三角函数的定义知：A、B 两点坐标分别为(acos,asin)、(bcos,bsin),于是直线AC、BC 的斜率分别为：kAC=tanxCA=xaacossin, .cossintanxbbxCBkBC于是 tanACB=ACBCACBCkkkk1cos)(sin)(cos)(sin)(2baxxabbaxxbaabxba由于 ACB 为锐角，且x 0,则 tanACBcos)(2sin)(baabba,当且仅当xab=x，即 x=ab时，等号成立， 此时 ACB 取最大值， 对应的点为C(ab,0),因此，学生距离镜框下缘abcm处时，视角最大，即看画效果最佳. 【例 8】预算用 2000 元购买单件为50 元的桌子和20 元的椅子，希望使桌椅的总数尽可能的多，但椅子不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5 倍，问桌、椅各买多少才行？解：设桌椅分别买x,y 张，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为0, 05 .120002050yxxyxyyx由72007200,20002050yxxyyx解得A 点的坐标为 (7200，7200) 由27525,5. 120002050yxxyyx解得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页知识点大全B 点的坐标为 (25，275) 所以满足约束条件的可行域是以A(7200，7200)，B(25，275)，O(0，0)为顶点的三角形区域(如右图 ) 由图形直观可知， 目标函数z=x+y 在可行域内的最优解为(25，275)，但注意到xN,yN*,故取 y=37. 故有买桌子25 张，椅子 37 张是最好选择 . 【例 9】已知甲、 乙、丙三种食物的维生素A、B 含量及成本如下表，若用甲、乙、丙三种食物各x 千克， y 千克， z 千克配成100 千克混合食物，并使混合食物内至少含有 56000 单位维生素A 和 63000 单位维生素B. 甲乙丙维生素 A（单位 /千克）600 700 400 维生素 B（单位 /千克）800 400 500 成本（元 /千克）11 9 4 （）用x，y 表示混合食物成本c 元；（）确定x，y，z 的值，使成本最低解： （）由题，1194cxyz，又100 xyz，所以，40075cxy（）由60070040056000,10080040050063000 xyzzxyxyz及得，463203130 xyxy，所以，75450.xy所以，40075400450850,cxy当且仅当4632050,313020 xyxxyy即时等号成立所以，当x=50 千克， y=20 千克， z=30 千克时，混合物成本最低，为850 元点评 ：本题为线性规划问题，用解析几何的观点看，问题的解实际上是由四条直线所围成的区域00463203130 xyxyxy上使得40075cxy最大的点不难发现，应在点M（50，20）处取得xy3x-y=1304x+6y=320M精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页知识点大全【直线练习 1】一、选择题1设 M=120110,1101102002200120012000N，则 M 与 N 的大小关系为 ( ) A.MNB.M=N C.MND.无法判断2三边均为整数且最大边的长为11 的三角形的个数为( ) A.15 B.30 C.36 D. 以上都不对二、填空题3直线 2xy4=0 上有一点P，它与两定点A(4， 1)，B(3，4)的距离之差最大，则P点坐标是 _. 4自点 A(3，3)发出的光线l 射到 x 轴上， 被 x 轴反射， 其反射光线所在直线与圆x2+y24x4y+7=0 相切，则光线l 所在直线方程为_. 5函数 f()=2cos1sin的最大值为 _，最小值为 _. 6设不等式2x1 m(x21)对一切满足 |m|2 的值均成立，则x 的范围为 _. 三、解答题7已知过原点O 的一条直线与函数y=log8x 的图象交于A、B 两点，分别过点A、B 作 y轴的平行线与函数y=log2x 的图象交于C、D 两点 . (1)证明：点C、D 和原点 O 在同一直线上. (2)当 BC 平行于 x 轴时，求点A 的坐标 . 8设数列 an的前 n 项和 Sn=na+n(n1)b，(n=1,2, ),a、b 是常数且b0. (1)证明： an 是等差数列 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页知识点大全(2)证明：以 (an,nSn1)为坐标的点 Pn(n=1,2,)都落在同一条直线上，并写出此直线的方程. (3)设 a=1,b=21,C 是以 (r,r)为圆心， r 为半径的圆 (r 0)，求使得点P1、P2、P3都落在圆 C外时， r 的取值范围 . 参考答案一、 1.解析：将问题转化为比较A(1， 1）与 B(102001，102000）及 C(102002，102001）连线的斜率大小，因为B、C 两点的直线方程为y=101x，点 A 在直线的下方，kABkAC,即 MN. 答案： A2.解析：设三角形的另外两边长为x,y,则11110110yxyx点(x,y）应在如右图所示区域内当 x=1 时， y=11；当 x=2 时， y=10,11；当 x=3 时， y=9,10,11；当 x=4 时， y=8,9,10,11; 当 x=5 时， y=7,8,9,10,11. 以上共有15 个， x,y 对调又有15 个，再加上 (6，6） ，(7，7） ，(8，8） ，(9，9） ， (10，10） 、(11，11）六组，所以共有36 个. 答案： C 二、 3.解析：找A 关于 l 的对称点A， AB 与直线 l 的交点即为所求的P 点. 答案： P(5，6）4.解析：光线l 所在的直线与圆x2+y24x4y+7=0 关于 x 轴对称的圆相切. 答案： 3x+4y3=0 或 4x+3y+3=0 5.解析： f()=2cos1sin表示两点 (cos,sin)与(2,1)连线的斜率 . 答案：340 6.解析：原不等式变为(x21)m+(12x)0,构造线段f(m)=(x21)m+12x, 2m2,则f( 2)0,且 f(2)0. 答案：213217x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页知识点大全三、 7.(1)证明：设 A、B 的横坐标分别为x1、x2，由题设知x11,x21,点 A(x1,log8x1),B(x2,log8x2). 因为 A、B 在过点 O 的直线上， 所以228118loglogxxxx,又点 C、D 的坐标分别为(x1,log2x1） 、(x2,log2x2). 由于 log2x1=3log8x1,log2x2=3log8x2,则228222118112log3log,log3logxxxxkxxxxkODOC由此得 kOC=kOD,即 O、C、D 在同一直线上. (2)解：由 BC 平行于 x 轴，有 log2x1=log8x2,又 log2x1=3log8x1x2=x13将其代入228118loglogxxxx,得 x13log8x1=3x1log8x1, 由于 x1 1 知 log8x10,故 x13=3x1x2=3,于是 A(3，log83). 9.(1)证明：由条件，得a1=S1=a,当 n2 时，有 an=SnSn1=na+n(n1)b (n1)a+(n1)(n2)b =a+2(n1)b. 因此，当n2 时，有 anan1=a+2(n1)b a+2(n2)b =2b. 所以 an是以 a 为首项， 2b 为公差的等差数列. (2)证明： b0,对于 n2,有21)1(2) 1()1(2) 1() 11()1(11bnbnabnaaabnnnaaaSnSnn所有的点Pn(an,nSn1)(n=1,2,)都落在通过P1(a,a1)且以21为斜率的直线上.此直线方程为 y(a1)=21(xa),即 x2y+a2=0. (3)解：当 a=1,b=21时，Pn的坐标为 (n,22n),使 P1(1,0)、P2(2,21)、P3(3,1)都落在圆C 外的条件是222222222) 1()3()21() 1() 1(rrrrrrrrr0108041750) 1(222rrrrr即由不等式 ,得 r1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页知识点大全由不等式，得r252或 r25+2由不等式，得r46或 r4+6再注意到r 0,125246=25+24+6故使 P1、P2、P3都落在圆C 外时， r 的取值范围是 (0，1) (1,252)(4+6,+). 【直线练习 2】1l1的方程为032yx，l1关于x轴对称的直线为l2，l2关于 y 轴对称的直线为l3，那么直线l3的方程为 ( B) A032yxB032yxC032yxD062yx2与圆xyx22430相外切，且与y轴相切的动圆的圆心的轨迹方程是。2162xy3已知定点A(1,1)，B(3,3)，点 P在 x 轴上，且APB取得最大值，则P点坐标为（B）A02，B06，C037，D04，解：P点即为过A、B 两点且与x轴相切的圆的切点，设圆方程为222)()(bbyax)0,0(ba所以有06)3()3()1 ()1 (222222babbabba4圆022xyx上的点到直线033yx的最知距离为（A）A23B45C43D495条件甲： 方程122nymx表示一双条双曲线，条件乙：mn00且则乙是甲的 （A）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件6设点 P在有向线段的延长线上 ,点 P分所成的比为, 则( A) A1B01精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页知识点大全C10D17如果 AC0 且 BC0, 那么直线Ax + By +C = 0, 不通过 ( C) A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限8若点 (4, m)到直线431xy的距离不大于3, 则 m 的取值范围是( B) A(0, 10) B010,C331,31D,0109原点关于直线8625xy的对称点坐标为( D) A232,B258256,C(3, 4) D(4, 3) 10如果直线yax2与直线 yxb3关于直线y = x 对称 , 那么 ( A) A ab136,B ab136,Ca = 3, b = 2 Da = 3, b = 6 11已知直线ll12和的夹角的平分线为yx , 如果 l1的方程是 axbycab00() ,那么 l2的方程是 ( A) A bxayc0B axbyc0C bxayc0D bxayc012如果直线axy220与直线320 xy平行 , 那么系数a = ( B) A3 B 6 C32D2313两条直线A xB yC1110,A xB yC2220 垂直的充要条件是( A) A A AB B12120B A AB B12120CA AB B12121DB BA A1212114如果直线l 沿 x 轴负方向平移3 个单位 , 再沿 y 轴正方向平移1 个单位 , 又回到原来的位置, 那么直线l 的斜率是 ( A) A13B 3 C13D3 15设 a、b、c 分别是 ABC中, A、B、C所对边的边长 , 则直线 sin Axayc0与 bxByCsinsin0 的位置关系是 ( C) A平行B重合C垂直D相交但不垂直16求与点A(1, 2)的距离等于4, 且到 x 轴的距离等于2 的点的坐标 : 。 （3, 2）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页知识点大全17直线 L：y=kx-1 与曲线yx2112不相交，则k 的取值范围是( A) A12或 3 B12C3 D12，3 182如果 ac0，bc0，那么直线ax+by+c=0 不通过（C ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限19直线 y=x 1被圆25)1()3(22yx，所截的弦长为（C ）A98B4014C82D984320斜率为1 的直线与两直线2x+y1=0，022yx分别相交于A，B两点，线段AB 的中点的轨迹方程为（B）A、01yxB、01yxC、032yxD、032yx21已知双曲线1C 和椭圆2C ：124)1(49)2(22yx有公共的焦点，它们的离心率分别是1e和2e ，且21111ee。 （1）求双曲线1C 的方程；（2）圆D 经过双曲线1C 的两焦点，且与 x 轴有两个交点，这两个交点间的距离等于8，求圆 D 的方程。解： （1）椭圆2C的两个焦点坐标是)1 , 3(),1 ,7(21FF离心率752e由21121ee可知双曲线1C的离心率351e16,9,2522222acbac故双曲线1C 的方程为116) 1(9)2(22yx（2）圆 D经过双曲线的两个焦点，圆心D 在直线 x= 2 上设圆 D 的方程为2222)1(5)()2(bbyx整理得：02222422bbyxyx令 y=0，得022242bxx设圆 D 与 x 轴的两个交点为（0,1x） ， （0 ,2x） ，则222, 42121bxxxx依题意 |21xx|=84)(21221xxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页知识点大全即 16 4（2b 22）=64，解得 b=5 所以圆的方程为41)5()2(22yx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页