2022年高中函数知识总结 .pdf

模块二函数概念和基本初等函数考纲解读高考大纲考试内容要求层次A B C 函数及其表示函数的概念与表示映射函数的基本性质单调性与最大（小）值奇偶性二次函数与幂函数幂函数的概念幂函数的图像及其性质指数与指数函数有理指数幂的含义实数指数幂的意义幂的运算指数函数的概念、图像及其性质对数与对数函数对数的概念及其运算性质换底公式对数函数的概念、图像及其性质指数函数与对数函数互为反函数（a0 且）函数与方程函数的零点二分法函数模型的应用分析解读从考纲内容来看，主要考查：（1） 、了解函数的构成要素，会求一些简单函数的定义域和值域。（2） 、掌握简单的分段函数的应用。（3） 以导数为工具研究函数的单调性，并以解答题形式出现。（4） 、函数奇偶性的判断常与函数的单调性、最值结合考查。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 17 页（5） 、理解并掌握一次函数与二次函数的定义、图像及性质。（6） 、运用二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的联系去解决有关问题。（7） 、了解幂函数的性质。（8） 、掌握几种常见幂函数的图像。（9） 、函数值的计算、函数值的求法、函数值的大小比较等。（10） 、对数式运算和对数函数的图像和性质或由它复合而成的函数。（11） 、以图像为载体考查函数的性质。（12） 、理解函数的值域与最值的定义。（13） 、掌握求函数的值域和最值的方法。（14） 、掌握求方程近似解的方法。知识导航定义定 义 域区 间对 应 法 则值 域一 元 二 次 函 数一 元 二 次 不 等 式映射函数性质奇 偶 性单 调 性周 期 性指数函数根 式分 数 指 数指 数 函 数 的 图 像 和 性 质指 数 方 程对 数 方 程反函数互 为 反 函 数 的函 数 图 像 关 系对数函数对 数对 数 的 性 质积 、 商 、 幂 与根 的 对 数对 数 恒 等 式和 不 等 式常 用 对 数自 然 对 数对 数 函 数 的 图 像 和 性 质考点剖析考点一函数及其表示函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后， 值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 17 页才是同一函数。表示函数的常用方法有：解析法、图像法和列表法。考点二函数的定义域函数的定义域的求法：列出使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域 . 常涉及到的依据为分母不为0；偶次根式中被开方数不小于0；对数的真数大于 0，底数大于零且不等于1；零指数幂的底数不等于零；实际问题要考虑实际意义等. 考点三函数的单调性定义：对于函数f(x)的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,若当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2),则说 f(x)在这个区间上是增函数；若当 x1f(x2),则说 f(x) 在这个区间上是减函数. 若函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间 . 此时也说函数是这一区间上的单调函数. 如何利用导数判断函数的单调性？上导数等于为增函数。（在个别点则内，若总有，在区间)(0)(xfxfba0，不影响函数的单调性） ，呢？反之也对，若0)(xf考点四函数的奇偶性偶函数：. 设（）为偶函数上一点，则（）也是图象上一点. 偶函数的判定：两个条件同时满足定义域一定要关于轴对称，例如：在上不是偶函数. 满足，或，若时，. 奇函数：. 设（）为奇函数上一点，则（）也是图象上一点. 奇函数的判定：两个条件同时满足定义域一定要关于原点对称，例如：在上不是奇函数. )()(xfxfba,ba,y12xy) 1, 1)()(xfxf0)()(xfxf0)(xf1)()(xfxf)()(xfxfba,ba,3xy)1, 1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 17 页满足，或，若时，. 考点五二次函数图象为抛物线二次函数abacabxaacbxaxy4420222abxabacab24422，对称轴，顶点坐标为abacya4402min，向上，函数开口方向：abacya4402max，向下，应用：“三个二次” （二次函数、二次方程、二次不等式）的关系二次方程轴的图象与为二次函数、时，两根，xcbxaxyxxcbxax221200解集的端点值。不等式的两个交点，也是二次)0(02cbxax求闭区间 m ，n上的最值。求区间定（动） ，对称轴动（定）的最值问题。一元二次方程根的分布问题。如：0)(2002kfkabkcbxax的两根都大于二次方程0)(kfkk，一根小于一根大于考点六幂函数一般地，形如)Ra(xya的函数称为幂函数，其中a 为常数。幂函数中，当121321，a时，性质如下表所示：)()(xfxf0)()(xfxf0)(xf1)()(xfxfy (a0) O k x1x2x 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 17 页函数特征性质y=x yx2yx3yx12yx1定义域R R R 0，） |x x0值域R 0，）R 0，） |y y0 x)0，增x()0，增单调性增x(，0减增增x()，0减所过定点（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）结合以上特征，得幂函数的性质如下：（1）所有的幂函数在()0，都有定义，并且图象都通过点（ 1，1） ；（2） 当 a 为奇数时，幂函数为奇函数；当 a 为偶数时，幂函数为偶函数；（3）如果 a0，则幂函数的图象通过原点，并且在区间)0 ，上是增函数；（4）如果 a1) (0a1) 1 O 1 x (0a1) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 17 页MnMNMNManaaaalog1loglogloglog，xaxalog对数恒等式：bmnbabbanaccamlogloglogloglog对数换底公式：考点八函数图象的判断、变化与应用图象的作法与平移：据函数表达式，列表、描点、连光滑曲线；利用熟知函数的图象的平移、翻转、伸缩变换；利用反函数的图象与对称性描绘函数图象. 1、周期性：为周期，则），在定义域内总有（若存在实数)()(0 xfxfTxfTT函 数 ，T是一个周期。2、对称性：对称轴的图象关于与yxfxf)()(对称轴的图象关于与xxfxf)()(对称原点的图象关于与)()(xfxf对称直线的图象关于与xyxfxf)()(1对称直线的图象关于与axxafxf)2()(对称，点的图象关于与)0()2()(axafxf3、平移：)()()0()()0(axfyaxfyaaxfyaa个单位右移图象将个单位左移baxfybaxfybbbb)()()0()0(个单位下移个单位上移4、翻折：|)(|)()()(xfxfxfxf考点九函数的值域与最值函数值域、最值的求法：配方法( 二次或四次 ) ；“判别式法” ；反函数法；换元法；不等式法； 函数的单调性法；平均值定理法； 利用函数的有界性；几何法；导数法。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 17 页考点十函数的零点与方程的根1. 函数零点的概念：对于函数)(Dxxfy，把使0)(xf成立的实数x叫做函数)(Dxxfy的零点。2. 函数零点的意义： 函数)(xfy的零点就是方程0)(xf实数根，亦即函数)(xfy的图象与x轴交点的横坐标。即： 方程0)(xf有实数根函数)(xfy的图象与x轴有交点函数)(xfy有零点3. 函数零点的求法：（代数法）求方程0)(xf的实数根；（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(xfy的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点4. 二分法步骤：确定区间ba,，验证0fafb；求区间ba,的中点c，计算( )f c；判断( )( )( )f af bf c、的正负，找出下一个有根的区间。真题演练1.【2012 北京 ,8,5分】某棵果树前n 前的总产量S与 n 之间的关系如图所示. 从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高。m值为（）A5 B 7 C 9 D11 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 17 页举一反三1.1 【2009 山东 ,6,5分】函数xxxxeeeey的图象大致为（）A.B. C. D. 1.2 【2011 江西 ,10,5分】如图，一个直径为1 的小圆沿着直径为2 的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和 N是小圆的一条固定直径的两个端点那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点 M ，N在大圆内所绘出的图形大致是（）ABC. D. 1.3 【2012 江苏 ,17,14分】如图，建立平面直角坐标系xOy，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1 千米某炮位于坐标原点已知炮弹发射后的轨迹在方程221(1)(0)20ykxkxk表示的曲线上，其中k 与发射方向有关炮的射程是指炮弹落地点的横坐标精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 17 页（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2 千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由2. 【2011 北京 ,6,5分】根据统计，一名工作组装第x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为AxAcAxxcxf,)(（A，C为常数）。已知工人组装第4 件产品用时30 分钟，组装第A 件产品用时15 分钟，那么C和 A的值分别是（）A75， 25 B75，16 C60， 25 D60，16 举一反三2.1 【2010 陕西 ,10,5分】某学校要招开学生代表大会，规定各班每10 人推选一名代表，当各班人数除以10 的余数大于6 时再增选一名代表那么，各班可推选代表人数y 与该班人数 x 之间的函数关系用取整函数y=x （x 表示不大于x 的最大整数） 可以表示为 （）A.10 xy B. 103xy C. 104xy D. 105xy2.2 【2010 陕西 ,5,5分】已知函数221,1( ),1xxf xxax x若(0)4ffa，则实数a等于（）A.12 B. 45 C.2 D.9 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 17 页2.3 【2012 江苏 ,23,10分】设集合，记为同时满足下列条件的集合的个数：；若，则；若，则。（1）求；（2）求的解析式（用表示） 3. 【2012 北京 ,14,5分】已知)3)(2()(mxmxmxf，22)(xxg，若同时满足条件：Rx，0)(xf或0)(xg；)4,(x, )(xf0)(xg。则 m的取值范围是_。举一反三3.1 【2011 重庆 ,10,5分】设 m ，k 为整数，方程220mxkx在区间（ 0,1 ）内有两个不同的根，则m+k的最小值为（A）-8 （B ）8 （C）12 （D ）13 3.2 【2012 浙江 ,9,5分】设a0，b 0A若 2223abab ，则abB若 2223abab ，则abC若 2223abab ，则abD若 2223abab ，则ab 1 2nPn， ，*Nn( )f nAnAPxA2xAACxnpACxnp2(4)f( )f nn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 17 页4.【2011 北京 ,13,5分】已知函数32,2( )(1) ,2xf xxxx若关于 x 的方程 f(x)=k有两个不同的实根，则数k 的取值范围是 _ 举一反三4.1【2011 山东 ,10,5分】已知 f（x） 是 R上最小正周期为2 的周期函数， 且当 0 x 2 时，f （x）=x3-x ，则函数y=f （x）的图象在区间0 ，6 上与 x 轴的交点的个数为（）A6 B7 C8 D9 4.2 【2012 山东 ,12,5分】设函数)0,()(,1)(2aRbabxaxxgxxf. 若)(xfy的图像与)(xgy图像有且仅有两个不同的公共点),(11yxA,),(22yxB, 则下列判断正确的是A.当0a时，021xx,021yy B. 当0a时, 021xx,021yyC.当0a时，021xx,021yy D. 当0a时，021xx,021yy4.3 【2012 福建 ,15,4分】对于实数a 和 b，定义运算“”：a*b=设 f（x）=（2x1）（ x1） ，且关于x 的方程为f （x）=m （m R）恰有三个互不相等的实数根 x1，x2，x3，则 x1x2x3的取值范围是_ 5.【2010 北京 ,14,5分】如图放置的边长为1 的正方形 PABC 沿 x 轴滚动， 设顶点( , )P x y 的轨迹方程是( )yf x ，则函数( )f x 的最小正周期为_；( )yf x 在其两个相邻零点间的图象与 x 轴所围区域的面积为_. 说明： “正方形 PABC 沿 x 轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动 . 沿x轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B 为中心顺时针精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 17 页旋转，如此继续. 类似地，正方形PABC 沿 x 轴负方向滚动 . 举一反三5.1【2010 湖南 ,8,5 分】 用 mina ，b 表示 a，b 两数中的最小值若函数 f（x）=min|x|，|x+t|的图象关于直线21x对称，则t 的值为（）A-2 B2 C-1 D1 5.2 【2012 江西 ,10,5分】如图，已知正四棱锥S-ABCD所有棱长都为1，点 E是侧棱 SC上一动点，过点E 垂直于 SC的截面将正四棱锥分成上、下两部分记 SE=x （0 x1） ，截面下面部分的体积为V （ x） ，则函数 y=V（ x）的图象大致为（）6. 【2009 北京 ,11,5分】设( )f x是偶函数，若曲线( )yf x在点(1,(1)f处的切线的斜率为 1，则该曲线在( 1,( 1)f处的切线的斜率为_. 举一反三6.1 【2011 浙江 ,11,4分】若函数f （x）=x2-|x+a|为偶函数，则实数a= 6.2 【2011 广东 ,4,5分】 设函数 f （x）和 g（x）分别是 R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 17 页A)()(xgxf是偶函数 B)()(xgxf是奇函数C)()(xgxf是偶函数 D)()(xgxf是奇函数6.3 【2008 辽宁 ,12,5分】设 f （x）是连续的偶函数，且当x0 时 f （x）是单调函数，则满足)43()(xxfxf的所有 x 之和为（）A.-3 B.3 C.-8 D.8 7.【 2009 北京 ,3,5分】为了得到函数3lg10 xy的图像，只需把函数lgyx的图像上所有的点（） A向左平移3 个单位长度，再向上平移1 个单位长度 B向右平移3 个单位长度，再向上平移1 个单位长度 C向左平移3 个单位长度，再向下平移1 个单位长度 D向右平移3 个单位长度，再向下平移1 个单位长度举一反三7.1 【2010 上海 ,8,5分】对任意不等于1 的正数 a，函数 f （x）=loga（x+3）的反函数的图象都经过点P，则点 P的坐标是7.2 【2012 四川 ,5,5分】函数) 1, 0(1aaaayx的图像可能是（）A. B. C.D. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 17 页7.3 【2012 课标全国 ,10,5分】已知函数xxxf)1ln(1)(，则)(xfy的图像大致为（）A. B. C. D. 8. 【2008 北京 ,13,5分】已知函数2( )cosf xxx，对于 22，上的任意12xx，有如下条件：12xx；2212xx； 12xx其中能使12()()f xf x恒成立的条件序号是举一反三8.1 【2012 上海 ,9,4分】已知y=f （x）+x2是奇函数，且f （1）=1，若 g（x）=f （x）+2，则 g（-1 ）= 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 17 页8.2 【2008 福建 ,4,5分】函数f （x）=x3+sinx+1 （ xR） ，若 f （a）=2，则 f （-a ）的值为（）A3 B0 C-1 D-2 8.3 【2011 湖北 ,6,5分】已知定义在R上的奇函数f （ x）和偶函数g（x）满足f （x）+g（x）=ax-a-x+2（a0，且 a0） 若 g（a）=a，则 f （a）=（）A2 B.415 C.417 Da2 9. 【2008 北京 ,2,5分】若0.52a，log 3b，22log sin5c，则（）AabcBbacCcabDbca举一反三9.1 【2009 湖南 ,1,5分】若 log2a0，121b，则（）Aa1，b0 B0a1，b0 C a1，b0 D0a1， b0 9.2 【2011 重庆 ,5,3分】下列区间中，函数( )lg(2)f xx，在其上为增函数的是（A）(,1 (B) 41,3 (C) 30,)2 (D) 1,2)9.3【2011 辽宁 ,9,5 分】设函数1,log11,2)(21xxxxfx，则满足2)(xf的x的取值范围是A1，2 B0 ，2 C1 ，+ D0 ，+ 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 17 页轻松驿站鸟蛋趣谈鸟蛋，包括鸡蛋，鸭蛋，鹅蛋，形状类似，但大小各不相同。鸵鸟蛋，是世界上现存的最大的鸟蛋。一只鸵鸟蛋有1520 厘米长， 1.651.76 公斤重，一只鸵鸟蛋等于3335 个鸡蛋那么重。鸵鸟蛋的蛋壳很厚，有2.5 毫米，因此非常牢固。一个94 公斤重的大胖子站到这个鸵鸟蛋上，也不会把它压破。由于蛋壳太厚，而且蛋又太大，如果放在水里煮的话，得花40 分钟才能煮熟。平常我们总认为麻雀是很小的飞禽，可是最大的蜂鸟，还不及中等麻雀大，而最小的蜂鸟只有麻雀的十分之一。蜂鸟下的蛋只有豌豆那么大，重量只有0.2 克，它是鸟蛋中最小的一种蛋。 250 个蜂鸟蛋才底得上一个鸡蛋重，8500 个蜂鸟蛋才底得上一个鸵鸟蛋。你经常吃鸡蛋， 恐怕没有研究过鸡蛋能不能直立的问题。日本有一对父子对竖蛋问题研究了五十年， 居然发现了其中的一些规律。粗看蛋壳， 似乎是光滑的， 用手仔细抚摸蛋壳面，就会发现蛋壳表面是凹凸不平的。若在放大镜下观察，可看到蛋壳上有绵延起伏的“ 山岭 ” 。“ 岭” 的高度约为0.03 毫米，顶点之间相距0.5 至 0.8 毫米。如果蛋壳表面有三个“ 山岭 ” ，这三个山岭构成一个三角形，且这个鸡蛋的重心又落在这个边长为0.5 至 0.8 毫米的三角形内，这个鸡蛋就可以直立起来。鸡蛋的这个竖立特性是符合几何性质的。在几何中有这样一条性质：过不在一直线上的三点可以确定一个平面。蛋面上这三个凸点可构成一个三角形，三顶点不在一直线上， 所以过这三点可确定一个平面。因为重心落在三角形内部，根据重心性质，鸡蛋就能比较平稳地站立了。据试验，一般说来，刚生下来的蛋不易竖立，过四天至一星期后， 就比较容易竖立了。但日子过长， 竖立又变得困难。 另据我国天津大学申泮文教授试验，鸡蛋下头朝下更容易立得稳。我们知道象牙是非常珍贵的物品。前几年， 日本科学家在研究人造象牙方面取得了可喜的进展，而这里面蛋壳起了很大的作用。据统计，从1979 到 1986 年，全世界的象牙贸易量是 6001160 吨，价格为每公斤60 260 美元。在这些血迹斑斑的数字背后，我们可以看到偷猎者冒烟的枪口和一具具惨不忍睹的大象甚至是幼象的尸体。世界上大象的命运不但精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 17 页引起了动物保护者的密切关注，也牵动着千百万世人的心弦。正因为如此， 人造象牙的研究就更具有重要的现实意义。日本人用蛋壳、牛奶作原料，二氧化钛作添加剂，制成了与真象牙难辨真伪的代用品。从而填补了世界市场对象牙的需求。据悉，日本从1989 年 9 月起，已开始禁止进口象牙。在不到两年的时间里，日本全国象牙仿制品的使用量已达130 吨，其中 80 吨是用来制作琴键和印章的。这种新型的象牙代用品有着广阔的市场。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 17 页