2022年高中数学圆锥曲线方程知识点总结 2.pdf
8.圆锥曲线方程知识要点一、椭圆方程1. 椭圆方程的第一定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于定长 （定长通常等于2a， 且 2aF1F2）的点的轨迹叫椭圆。为端点的线段以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2,2,2FFFFaPFPFFFaPFPFFFaPFPF（ 1）椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在x 轴上：)0( 12222babyax. ii. 中心在原点，焦点在y 轴上：)0(12222babxay. 注： A.以上方程中,a b的大小0ab，其中222bac；B.在22221xyab和22221yxab两个方程中都有0ab的条件，要分清焦点的位置， 只要看2x和2y的分母的大小。一般方程：)0,0(122BAByAx. 椭圆的标准方程：12222byax的参数方程 为sincosbyax（一象限应是属于20）. 椭圆的性质顶点：),0)(0 ,(ba或)0,)(,0(ba. 轴：对称轴：x 轴， y 轴；长轴长a2 ，短轴长b2 . 焦点：)0,)(0,(cc或),0)(, 0(cc. 焦距：2221,2baccFF. 准线：cax2或cay2. 离心率：) 10(eace.【0ac，01e，且e越接近1，c就越接近a，从而b就越小，对应的椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近于0，从而b越接近于a，这时椭圆越接近于圆。当且仅当ab时，0c，两焦点重合，图形变为圆，方程为222xya。】焦（点）半径：i. 设),(00yxP为椭圆)0(12222babyax上的一点，21,FF为左、右焦点，则ii. 设),(00yxP为椭圆)0( 12222baaybx上的一点，21,FF为上、下焦点，则由椭圆第二定义可知：)0()(),0()(0002200201xaexxcaepFxexacaxepF归结起来为 “ 左加右减 ” . 0201,exaPFexaPF0201,eyaPFeyaPF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页注意：椭圆参数方程的推导：得)sin,cos(baN方程的轨迹为椭圆. 通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通径.坐标：),(2222abcabd和),(2abc焦点三角形的面积：若 P 是椭圆：12222byax上的点 .21,FF为焦点，若21PFF，则21FPF的面积为2tan2b（用余弦定理与aPFPF221可得）。若是双曲线，则面积为2cot2b。（ 3）共离心率的椭圆系的方程：椭圆)0(12222babyax的离心率是)(22bacace，方程ttbyax(2222是大于 0 的参数，)0ba的离心率也是ace我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. 2.椭圆的第二定义：平面内到定点F 的距离和它到一条定直线L（F 不在 L 上）的距离的比为常数e（01e）的点的轨迹叫做椭圆。其中定点F为椭圆的焦点，定直线L 为椭圆焦点F 相应的准线。二、双曲线方程1. 双曲线的第一定义:平面内到到两个定点F1，F2的差的绝对值等于定长 （定长通常等于2a， 且 2a1）的点的轨迹叫做双曲线。其中定点 F 为双曲线的焦点， 定直线 L 为双曲线焦点F 相应的准线。三、抛物线方程（ 1）抛物线的概念平面内与一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点 F 不在定直线l 上)。定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线。yxMMF1F2yxMMF1F2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页方程022ppxy叫做抛物线的标准方程。注意： 它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上， 焦点坐标是F （2p,0 ），它的准线方程是2px；（ 2）抛物线的性质设0p，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：pxy22pxy22pyx22pyx22图形yxOyxOyxOyxO焦点)0 ,2(pF)0,2(pF)2,0(pF)2,0(pF准线方程2px2px2py2py范围Ryx, 0Ryx,00, yRx0, yRx对称轴x 轴y 轴顶点（0，0）离心率1e焦半径12xpPF12xpPF12ypPF12ypPF通径2p 2p 2p 2p 焦点弦x1+x2+p x1+x2+p y1+y2+p y1+y2+p 注：通径（过焦点且垂直于坐标轴的线段）为2p，这是过焦点的所有弦中最短的. pxy22（或pyx22）的参数方程为ptyptx222（或222ptyptx）（ t 为参数） . 四、圆锥曲线的统一定义1. 圆锥曲线的统一定义：平面内到定点F和定直线 l 的距离之比为常数e的点的轨迹 . 当10e时，轨迹为椭圆；当1e时，轨迹为抛物线；当1e时，轨迹为双曲线；当0e时，轨迹为圆（ace，当bac, 0时） .【弦长公式4)(1(1212212212xxxxkxxkAB】2.椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质椭圆双曲线抛物线精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页定义1到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a|F1F2|) 的点的轨迹2与定点和直线的距离之比为定值e 的点的轨迹 .（0e1）1 到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a(02a1）与定点和直线的距离相等的点的轨迹 . 轨迹条件点集： (M MF1+MF2=2a, F 1F2 2a. 点集： M MF1- MF2. =2a, F2F2 2a. 点集 M MF =点 M到直线 l 的距离 . 图形方程标准方程12222byax(ba0) 12222byax(a0,b0) pxy22参数方程为离心角）参数(sincosbyax为离心角）参数(tansecbyaxptyptx222(t 为参数 ) 范围a x a， b y b |x| a ，yR x 0 中心原点 O （0，0）原点 O（0，0）顶点(a,0), (a,0), (0,b) , (0,b) (a,0), (a,0) (0,0) 对称轴x 轴， y 轴；长轴长 2a, 短轴长 2b x 轴， y 轴; 实轴长 2a, 虚轴长 2b. x 轴焦点F1(c,0), F2( c,0) F1(c,0), F2( c,0) )0,2(pF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页准线x=ca2准线垂直于长轴，且在椭圆外. x=ca2准线垂直于实轴， 且在两顶点的内侧 . x=-2p准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等.焦距2c （c=22ba）2c （ c=22ba）离心率)10(eace)1(eacee=1 【备注 1】双曲线：（ 1）等轴双曲线：双曲线222ayx称为等轴双曲线，其渐近线方程为xy，离心率2e. （ 2）共渐近线的双曲线系方程：)0(2222byax的渐近线方程为02222byax如果双曲线的渐近线为0byax时，它的双曲线方程可设为)0(2222byax.【备注 2】抛物线：（ 1）设抛物线的标准方程为2y=2px(p0) ，则抛物线的焦点到其顶点的距离为2p，顶点到准线的距离2p，焦点到准线的距离为p. （ 2）已知过抛物线2y=2px(p0) 焦点的直线交抛物线于A、 B 两点，则线段AB 称为焦点弦，设A(x1,y1),B(x2,y2) ，则弦长AB=21xx+p 或2sin2pAB( 为直线 AB的倾斜角 ) ，221pyy，2,41221pxAFpxx(AF叫做焦半径 ). 弦长公式：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页
