2022年高中数学基本不等式的解法十例 .pdf
高中数学基本不等式问题求解十例一、 基本不等式的基础形式1222abab，其中,a bR，当且仅当ab时等号成立。22abab，其中,0,a b，当且仅当ab时等号成立。3 常考不等式：22221122abababab， 其中,0,a b， 当且仅当ab时等号成立。二、常见问题及其处理方法问题 1：基本不等式与最值解题思路：1积定和最小：假设ab是定值，那么当且仅当ab时，min2abab。其中,0,a b2和定积最大：假设ab是定值，那么当且仅当ab时，2max2abab，其中,a bR。例题 1：假设实数,a b满足221ab，则ab的最大值是解析：很明显，和为定，根据和定积最大法则可得：222222212224abababab，当且仅当1ab时取等号。变式：函数1(0,1)xyaaa的图象恒过定点A， 假设点在直线1mxny上， 则mn的最大值为 _。解析： 由题意可得函数图像恒过定点1,1A，将点1,1A代入直线方程1mxny中可得1mn，明显，和为定，根据和定积最大法则可得：2124mnmn，当且仅当12mn时取等号。例题 2：已知函数2122xxfx，则fx取最小值时对应的x的值为 _解 析 ： 很 明 显 ， 积 为 定 ， 根 据 积 定 和 最 小 法 则 可 得 ：221122 2122xxxx， 当 且 仅 当21212xxx时取等号。变式： 已知2x，则12xx的最小值为。解 析 ： 由 题 意 可 得120,212xxx， 明 显 ， 积 为 定 ， 根 据 和 定 积 最 大 法 则 可 得 ：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页11222222xxxx，当且仅当122112xxxx时取等号，此时可得102xx。例题 3：假设对任意x0，xx23x1 a 恒成立，则a 的取值范围是_解析： 分式形式的不等式，可以考虑采用常数别离的方法。22max3131xxaaxxxx解法1：将231xxx化简可得2101313xxxxxx，观察分母，很明显可以得到积为定值，根据积定和最小的法则可得：1122xxxx，当且仅当11xxx时取等号。 故而可得分式的分母2max1111350151353xxxxxxx，因此可得：15a。解法 2：将231xxx化简可得2101313xxxxxx，令10fxxxx，这是一个对勾函数，故而可得112fxxfx。故而分母1335xfxx，代入分式函数取倒数可得2max1110151353xxxxx因此可得：15a。问题 2： “ 1”的代换解题思路：根据0mfxfxmm，对所求内容进行乘除化简即可。例题 4：假设两个正实数x、y 满足141xy，且不等式234yxmm有解，则实数m 的取值范围是。解析： 由题意可得141xy，左边乘以141xy可得：14441yxxyyx，化简可得：1441 144yyxxxyxy，很明显44yxxy中积为定值，根据积定和最小的法则可得：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页442244yxyxxyxy， 当且仅当24184xyxyxy时取等号。 故而可得1444yxxy。不等式234yxmm有解，亦即2min344ymmx，亦即2340mm，解得4m或者1m，故而可得, 14,m。变式： 假设0 x，0y，且1222xyxy，则43xy的最小值为 _解析： 由2243xyxyxy，化简题干条件可得142222xyxy乘以所求内容可得：1414432222222224322xyxyxyxyxyxyxyxy，化简后可得：4 22241222432xyxyxyxyxy，很明显4 222222xyxyxyxy中二者积为定值，根据积定和最小法则可得4 24 2222224222222xyxyxyxyxyxyxyxy，当且仅当4 2222222xyxyxyxy，亦即032xy时取等号。此时可得min9432xy。问题 3：方程中的基本不等式解题思路：将需要利用不等式的项移到方程的一边，利用基本不等式求解即可。例题 5： 2015 湖南高考假设实数a， b 满足1a2bab，则 ab 的最小值为 _解析： 由题意可知可以利用基本不等式，根据基本不等式可得：12122 22ababa bab，当且仅当122baab时取等号，化简后可得：22ab，此时145422ab变式： 假设 lg(3 x)lgylg(xy1)，则 xy 的最小值为 _解析： 将题干条件化简可得：lg 3lg131x yxyxyxy，由题意需要求解xy，故而可知利用不等式2xyxy，将条件化简可得：312xyxyxy当且仅当xy时等号成立，化精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页简上式可得3120311011xyxyxyxyxyxy，此时1xy问题 4：含参基本不等式问题解题思路：利用含参不等式的解法求解即可。例题 6：已知222241aaxxx对于任意的1,x恒成立，则Aa的最小值为3Ba的最小值为4Ca的最大值为2 Da的最大值为4解析： 由题意可知参数为a，将自变量移项可得：2244221xaaxxxxx，观察等式右侧，可知等式右侧经配凑可得积为定值，根据积定和最小可得：44121411xxxx，当且仅当4131xxx时取等号， 此时可得min451xx。由24221aaxx对于任意的1,x恒成立可得：2min42251aaxx， 化简可得310aa， 解得31a。变式 6：已知 a0， b0，假设不等式22182mmabab恒成立，则m 的取值范围是。解析： 由题意可知参数为m，将双自变量a、b移项可得：22182mmabab恒成立，故而可得2min2182mmabab， 将不等式右侧化简可得212225baababab， 很明显积为定值，根据积定和最小法则可得：222224babaabab，当且仅当221baabab时取等号。故而min2129abab， 代入不等式中可得289mm化简为910mm解不等式可得19m。问题 5：不等式与其他问题结合向量与不等式 例题 7： 已知(0,0)OAaOBbOC ab， 且,A B C三点在同一条直线上，则11ab的最小值为 _解析： 由三点共线可得1ab，观察形式采用“1”的代换，故而111121abbaababab，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页等式右侧积为定值，故而利用积定和最小法则可得：22babaaba b， 当且仅当12baabab时取等号。故而可得1123baabab。不等式与解析几何例题 8：假设直线20axby0a，0b被圆222410 xyxy截得的弦长为4，则11ab的最小值为。解析： 将圆化为标准方程可得22124xy，根据弦长为4 可得直线经过圆心。将圆心1,2代入直线方程可得22ab。观察求解形式可得采用“1”的代换方法， 即112112ababab，化简可得23112baabab很明显积为定， 根据积定和最小法则可得：2222 2bab aabab，当且仅当2 22222abaabb时取等号，故而可得231132 222baabab。 基 本 不 等 式 与 线 性 规 划 例 题 9： 设,x y满 足 条件360200,0 xyxyxy， 假 设目 标函 数zaxby0,0ab的最大值为12，则32ab的最小值为。解 析 ： 作 出 可 行 域 如 下 图 ： 故 而 可 得+zax by在 点4,6H取 最 大 值 ， 即4612236abab，由题意可得采用“ 1”的代换求解。即329423123266baabababab，观察分子可得分子积为定值，根据积定和最小法则可得：9494212babaabab，当且仅当39421abaabb时取等号，故而可得94123246baabab。不等式与解三角形例题7：?中，角 ? ，? ， ? 的对边分别为? ，? ，? ，且 ?2+ ?2-?2+ ? = 0.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页1求角 ? 的大小；2假设 ?= 3，求 ?的最大值 .3求ABC周长的最值。 .解析： 1由题意与余弦定理可得222222cosabcbcAbcbc，解得1cos2A，故而3A2由余弦定理可得2223abcbc，故而223bcbc，由基本不等式222abab可得22323bcbcbcbc， 当 且 仅 当3bc时 取 “ =”号 。 故 而 可 得 三 角 形 的 面 积1133sin3332224ABCSbcA。3 由余弦定理可得2223abcbc， 故而223bcbc， 由基本不等式22abab可得：2222223333332 324bcbcbcbcbcbcbcbc，当且仅当3bc时取 “=”号。故而可得三角形的周长3 3ABCCabc。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页
