2022年高中数学知识点总结选修2-3 2.pdf

高中数学知识点总结选修 2-3 第一章计数原理1.1 分类加法计数与分步乘法计数分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1 类方案中有m 种不同的方法，在第 2 类方案中有n 种不同的方法， 那么完成这件事共有N=m+n 种不同的方法。 分类要做到“ 不重不漏 ” 。分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤。做第 1 步有 m 种不同的方法， 做第 2 步有 n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m n 种不同的方法。分步要做到“ 步骤完整 ” 。n 元集合 A=a1 ，a2?，an的不同子集有2n 个。1.2 排列与组合1.2.1 排列一般地，从n 个不同元素中取出m(m n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个排列(arrangement)。从 n 个不同元素中取出m(m n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Amn 表示。排列数公式：n 个元素的全排列数规定： 0!=1 1.2.2 组合一般地， 从 n 个不同元素中取出m(m n)个元素合成一组，叫做从 n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合(combination) 。从 n 个不同元素中取出m(m n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个nm 不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号Cn 或 m 表示。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页组合数公式：mm Amn=Cn?Am规定： ? =组合数的性质：1.3 二项式定理1.3.1 二项式定理 (binomial theorem) *注意二项展开式某一项的系数与这一项的二项式系数是两个不同的概念。1.3.2 “杨辉三角 ” 与二项式系数的性质*表现形式的变化有时能帮助我们发现某些规律！(1) 对称性(2) 当 n是偶数时，共有奇数项，中间的一项Cnn+12 取得最大值；n+1 当 n 是奇数时，共有偶数项，中间的两项Cn，Cn 同时取得最大值。(3) 各二项式系数的和为012kn 2n=Cn+Cn+Cn+ ?+Cn+ ?+Cn (4) 二项式展开式中，奇数项二项式系数之和等于偶数项二项式系数之和：024135Cn+Cn+Cn+ ?=Cn+Cn+Cn+ ? n-1(5) 一般地，rrrrr+1Cr+Cr+1+Cr+2+ ?+Cn-1=Cn (n>) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页第二章随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布2.1.1 离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量(random variable) 。随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映为实数，函数把实数映为实数。试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域。所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量(discrete random variable) 。概率分布列 (probability distribution series) ，简称为分布列(distribution series) 。也可用等式表示：P X=xi =pi ，i=1，2，?，n 根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质：(1) pi0，i=1 ，2， ?，n；(2) ni=1pi=1 随机变量 X 的均值 (mean)或数学期望 (mathematical expectation)：E X =x1p1+x2p2+ ?+xipi+ ?xnpn 它反映了离散型随机变量取值的平均水平。随机变量 X 的方差 (variance)刻画了随机变量X 与其均值E(X) 的平均偏离程度n D X = (xi-E(X)2pii=1 其算术平方根D(X) 为随机变量X 的标准差 (standard deviation)。E aX+b =aE X +b D aX+b =a2D X 若随机变量X 的分布具有下表的形式，则称X 服从两点分布 (two-point distribution) ，并称p=P(X=1) 为成功概率。 (两点分布又称0-1 分布。由于只有两个可能结果的随机试验叫伯努利试验，所以两点分布又叫伯努利分布) 若 X 一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页=k = n-kCkMCN-MCN ， k=0， 1，2，?，m 如果随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量X 服从超几何分布(hypergeometric distribution) 。2.2 二项分布及其应用2.2.1 条件概率一般地，设A，B 为两个事件，且P(A)>0 ，称P(AB)P B A = 为在事件 A 发生的条件下， 事件 B 发生的条件概率(conditional probability) 。 如果 B 和 C 是两个互斥事件，则P BC A =P B A +P(C|A) 2.2.2 事件的相互独立性设 A，B 为两个事件，若P(AB)=P(A)P(B) 则称事件 A 与事件 B 相互独立 (mutually independent) 。， 与 B， 与也都相互独立。可以证明，如果事件A 与 B 相互独立，那么A 与?2.2.3 独立重复试验与二项分布一般地，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验(independent and repeated trials)。P A1A2?An =P A1 P(A2) ?P(An) 其中 Ai (i=1 ，2，?，n)是第 i 次试验的结果。一般地，在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p，则kkP X=k =Cnp(1-p)n-k ，k=0，1，2，?，n 此时称随机变量X 服从二项分布(binomial distribution) ，记作 XB(n ，p)，并称 p 为成功概率。若 XB(n ，p) ，则nnn-1k-1k-1n-1-(k-1)kkkn-kkn-1-kE X = kCnpq= npCnq=np Cn-1p-1pqk=0 =np(p+q)k=1 n- 1k=0=np D(X)=np(1-p)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页*随机变量的均值是常数，而样本的平均值是随着样本的不同而变化的，因此样本的平均值是随机变量。随机变量的方差是常数，而样本的方差是随着样本的不同而变化的，因此样本的方差是随机变量。2.4 正态分布一般地，如果对于任何实数a，b (a<b) ，随机变量X 满足 ， x =1e(x- )2-2 ，x（ - ，+）b a 则称随机变量X 服从正态分布 (normal distribution) 。正态分布完全由参数和 确定，记作N( ， 2) 。如果随机变量X 服从正态分布，则记为X N( ，2). P a<?= ，(x)dx ， (x) 的图像称为正态分布密度曲线，简称正态曲线。(参数 是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可用样本的均值去估计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可用样本的标准差去估计。) 标准正态分布：XN(0 ，1) 经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布。正态曲线的特点：(1) 曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交；(2) 曲线是单峰的，它关于直线x= 对称；(3) 曲线在 x= ；(4) 曲线与 x 轴之间的面积为1。* 越小，曲线越 “ 高瘦 ” ，表示总体分布越集中；越大，曲线越 “ 矮胖 ” ，表示总体分布越分散；若 X N( ，2) ，则对于任何实数a>0，P -a<?+= +a -a ， (x)dx该面积随着的减少而变大。 这说明 越小， X 落在区间 ( -a ，+a 的概率越大， 即 X 集中在 周围概率越大。在实际应用中， 通常认为服从于正态分布N( ，2) 的随机变量X 只取-3<?3 之间的值，并简称之为? 原则。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页第三章统计案例3.1 回归分析的基本思想回归分析 (regression analysis)是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法。对于一组具有线性相关关系的数据x1，y1 ， x2，y2 ，?，(xn，yn) 其中 x =1 n =b n )(yi-y )(xi-x (x-x)ii=1= n y xiyi-nx x-nxi=1i xa =y -b n = n ， y )称为样本点的中心，回归直线过样i=1xi ，yi=1yi ，(xn1 本点的中心。线性回归模型：y=bx+a+e 2E e =0，D e = 其中 a 和 b 为模型的未知参数，e 是 y 与 bx+a 之间的误差。通常e 为随机变量，称为随机误差 (random error)。x+a 回归方程： y =b 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页