2022年高中数学竞赛专题讲座集合与函数 2.pdf

竞赛试题选讲集合与函数一、选择题（本题满分36 分，每小题6 分）1 （2006 陕西赛区预赛）a,b 为实数，集合,1, ,0,:bMPafxxa表示把集合M中的元素x 映射到集合P 中仍为 x，则 a+b的值等于（）A -1 B0 C1 D12 （2006 天津） 已知函数22)(2axxxf，当),1x时，axf)(恒成立， 则a的取值范围是（）A12aB12aC23aD13a3 （2006 陕西赛区预赛）若关于 x 的方程323( )25xaa有负数根，则实数a 的取值范围为（）A2(,)(5,)3B3(,)(5,)4C2(,5)3D2 3(,)3 44 （2006 陕西赛区预赛）若函数( )f x满足22()log|fx xxx，则( )f x的解析式是（）A2log xB2log xC2xD2x5 （2006 年江苏 ）函数3log3xy的图象是（）A B C D 6 （2006 陕西赛区预赛）已知实系数一元二次方程2(1)10 xa xab的两个实根为12,x x且1201,1xx则ba的取值范围是（）A1( 1,2B1( 1,)2C1( 2,2D1( 2,)27 （2006 年江苏） 设fx是定义在R上单调递减的奇函数若120 xx，230 xx，310 xx则（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页A1230fxfxfxB1230fxfxfxC1230fxfxfxD123fxfxfx8 （2006 吉林预赛） 如果集合 A=y|y= x2+1，x R+，B=y|y= x+1，xR ，则 A 与 B的交集是（）A (0，1)或(1，1) B(0 ，1)，(1，1) C 0，1 D ( ，1) 9 （2006 安徽初赛） 已知lg x的小数部分为a，则21lgx的小数部分为（）A2a 的小数部分B 12a的小数部分C 22a的小数部分D以上都不正确10 （ 2006 吉林预赛） 若函数 f(x)=x36bx+3b 在(0，1)内有极小值，则实数b 的取值范围是（）A (0，1) B ( ，1) C (0，+ ) D (0， 0.5) 11（2006 年南昌市）设集合228|,29|AaaNBbbN,若ABP,则P中元素个数为（）A0 B1 C2 D至少 3 个12（2006 年南昌市） 设xxxf11)(,记1fxfx,若),()(1xffxfnn则)(2006xf（）AxB-x1Cxx11D11xx二、填空题（本题满分54 分，每小题9 分）1 （2006 安徽初赛）已知实数x、y 满足55111511541545xxyy，则xy2 （ 200 6 天津） 已知集合,54321aaaaaCBA，且,21aaBA，则集合A、B、C所有可能的情况有500 种3 （2006 年南昌市） 设M1,2,100,A是M的子集 ,且A中至少含有一个立方数,则这种子集A的个数是 _. 4 （2006 年江苏） 集合3 ,010Ax xn nNn，5,06By ym mNm，则集合AB的所有元素之和为5 （2006 年南昌市）若曲线2|2|yx与直线3yxk恰有三个公共点,则k的值为 _ 6 （ 2006年 上 海 ） 已 知 函 数:fR R满 足 ： 对 任 意, x yR， 都 有11( )( )()20062005f x f yf xyxy，则所有满足条件的函数f 为7 （2006 年上海）对于任意实数a，b，不等式max, 2006ababbC恒成立，则常数 C 的最大值是 （注：max, ,x y z表示 x，y，z 中的最大者 ）8（ 2006 年上海）设2( )cosf xxaxbx，( )0,R( )0,Rx f xxx ff xx，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页则满足条件的所有实数a，b 的值分别为三、解答题（每小题20 分，共 60 分）1 （2006 年江苏）设集合12log32Axx，21aBxxa若AB，求实数a的取值范围2(集训试题 )已知 a0，函数 f(x)=ax-bx2, （ 1）当 b0 时，若对任意x R 都有 f(x) 1，证明： a2b；（ 2）当 b1 时，证明：对任意x0, 1, |f(x)| 1 的充要条件是：b-1a 2b；（ 3）当 00, b0, a2b。（2）证： （必要性），对任意 x0, 1 ，|f(x)|1-1 f(x) 据此可推出 -1f(1)即 a-b-1，ab-1。 对任意 x0, 1 ， |f(x)|1f(x) 1， 因为 b1， 可推出 f(b1)1。 即 ab1-1， a 2b，所以 b-1 a2b。（充分性）：因 b1, ab-1，对任意x0, 1，可以推出： ax-bx2b(x-x2)-x-x -1，即：ax-bx2-1；因为 b1，a2b，对任意 x0, 1，可推出 ax-bx22b-bx21，即 ax-bx21， -1f(x) 1。综上，当b1 时，对任意x 0, 1, |f(x)| 1 的充要条件是：b-1a2b。（3）解：因为a0, 00, 0b1 时，对任意x0, 1，|f(x)| 1 的充要条件是：ab+1. 322222)()2)(2)222322,(1)1f(0)=a,f(00)00,()xfxxxffaafaa222解： (I)因为对任意xR, 有 f(f(x)-x所以 f(f(2)-2又由 f(2)=3,得 f(3-2）即若则即22000202000002000000220(II)( ( )( ).(),( )()()0( )0( )xRff xxxf xxxxf xxxRf xxxxxxf xxxxf xxxxxxxf xxxf xx因为对任意，有又因为有且只有一个实数，使得所以对任意有在上式中令，有又因为，所以，故=0或=1若=0，则，即2022020( )1,( )1.( )1 ()xxxxxxf xxxf xxxf xxxxR但方程有两个不相同实根，与题设条件矛盾。故若=1，则有即易验证该函数满足题设条件。综上，所求函数为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页竞赛试题选讲之集合与函数练习1 （06 北卷） 已知(3)4 ,1( )log,1aa xa xf xx x ，是（-，+）上的增函数，那么a 的取值范围是（）A(1，+) B(-,3) C53，3 D(1 ,3) 2.（ 06 全国 II ）函数 f(x)i119|xn|的最小值为（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页A190 B171 C90 D45 3.（山东卷） 已知定义在R 上的奇函数f(x)满足 f(x+2)=f(x),则,f(6)的值为（）A 1 B0 C1 D2 4.（ 06 天津卷） 已知函数)(xfy的图象与函数xay（0a且1a）的图象关于直线xy对称，记1)2(2)()()(fxfxfxg 若)(xgy在区间2,21上是增函数，则实数a的取值范围是（）A),2B)2, 1 () 1 ,0(C)1 ,21D21,0(5（ 06 天津卷）如果函数2( )(31)(01)xxf xaaaaa且在区间0，上是增函数，那么实数a的取值范围是（）A203，B313，C13，D32， 6.（ 06 浙江卷） 对 a,bR,记 maxa,b=babbaa,，函数 f（x）max|x+1|,|x-2|( xR)的最小值是（）AB0 B12C32D3 7 （2006 安徽初赛）若关于x 的方程212xkx恰有一个实根，则k 的取值范围是8 （2006 陕西赛区预赛）设( )f x是以 2 为周期的奇函数，且2()35f，若5sin5则(4cos 2)f的值. 9 （2006 吉林预赛）已知函数xxf21log)(，设)(afax，)(bfby，)(cfcz，其中0cba1 时，若)(xgy在区间2,21上是增函数，logayx为增函数，令logatx，t1log2a, log 2a，要求对称轴log 211log22aa，矛盾； 当 0a1，则xya是增函数，原函数在区间0,)上是增函数，则要求对称轴2312a0，矛盾；若 0a1，则xya是减函数， 原函数在区间0,)上是增函数， 则要求当xta(0t0 ，由 f(1)=1 可知对一切正整数y，f(y)0 ，因此 yN*时， f(y+1)=f(y)+y+2y+1，即对一切大于1 的正整数t，恒有f(t)t ，由得f(-3)=-1, f(-4)=1 。下面证明：当整数t-4 时， f(t)0 ，因 t-4，故 -(t+2)0 ，由得： f(t)-f(t+1)=-(t+2)0，即 f(-5)-f(-4)0 ，f(-6)-f(-5)0 ， f(t+1)-f(t+2)0 ，f(t)-f(t+1)0 相加得： f(t)-f(-4)0 ，因为： t4，故 f(t)t 。综上所述： 满足 f(t)=t 的整数只有t=1 或 t=2。12解：考虑M 的 n+2 元子集 P=n-l ，n，n+1，2n P 中任何 4 个不同元素之和不小于(n-1)+n+(n+1)+(n+2)=4n+2 ， 所以 k n+3 将 M 的元配为 n 对， Bi=(i， 2n+1-i)， 1 i n 对精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页M 的任一 n+3 元子集 A，必有三对123,iiiBBB同属于 A(i1、i 2、i 3两两不同 )又将 M 的元配为 n-1 对， C i (i，2n-i) ， 1 i n-1对 M 的任一 n+3 元子集 A，必有一对4iC同属于A，这一对4iC必与123,iiiBBB中至少一个无公共元素，这4 个元素互不相同，且和为2n+1+2n=4n+1, 最小的正整数k=n+31013解：44|24)2)(2(020222yxyxyxyxyxyx3由对称性只考虑y0，因为 x0，只须求x-y 的最小值，令x-y=u，代入 x2-4y2=4，有3y2-2uy+(4-u)2=0，这个关于y 的二次方程显然有实根，故=16(u2-3) 0。14解析 ：设0,1aa，函数2lg(23)( )xxf xa有最大值，2lg(23)lg2xx有最小值， 0a1， 则不等式2log570axx的解为22570571xxxx， 解得 2x1,故:2320ttk上式对一切tR均成立，从而判别式14120.3kk17 【解】（）由书籍，根据韦达定理得有2t，1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页22)(2414)(22tf，22)(2414)(22tf，222)()(ff5 分（）已知函数14)(2xtxxf，222)1() 22(2)(xtxxxf而且对,x，0)(2222xxtxx，于是0)(xf，函数14)(2xtxxf在,上是增函数10 分注意到对于任意的正数1x、2x0)(2122121xxxxxxx，0)(2112121xxxxxxx即2121xxxx，同理2121xxxx15 分)()()(2121fxxxxff，)()()(2121fxxxxff，)()()(2121fxxxxff于是)()()()()()(21212121ffxxxxfxxxxfff，)()(|)()(|21212121ffxxxxfxxxxf而|222)()(ff，|2|)()(|21212121xxxxxxxxf20 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页