2022年高中数学综合练习含解析 .pdf

试卷第 1 页，总 4 页高中数学 (平面向量 )综合练习含解析1在ABC中，ABc，ACb假设点D满足2BDDC，则ADA2133bcB5233cbC2133bcD1233bc2已知1,3OAOB，0OA OB，点C 在AOB内，且30AOC，,OCmOAnOB m nR，则mn等于A3 B13C33D33假设向量, ,a b c满足ab，且ac，则2cabA4 B3 C 2 D0 4已知向量( , 2),(1,1)mana，且m n，则实数aA1B2或1C2D25已知向量(1,2)a，向量( , 2)bx，且()aab，则实数x等于A4B4C0D96已知 |a| 1，|b| 2，且()aab，则向量a与向量b的夹角为A6 B4 C3 D237已知平面向量a，b满足3aab，且2a，1b，则向量a与b夹角的正弦值为A12 B32 C12 D328 在平 行四 边形ABCD中 ，2AD，60BAD，E为CD的 中点 假 设1AD BE，则AB的长为()A6 B4 C5 D69 O为 平 面 上 的 定 点 ， A ， B ， C是 平 面 上 不 共 线 的 三 点 ， 假 设() (2)0OBOCOBOCOA，则ABC是A以 AB为底面的等腰三角形B以 BC为底面的等腰三角形C以 AB为斜边的直角三角形D以 BC为斜边的直角三角形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 17 页试卷第 2 页，总 4 页10在ABC中，14MBAB，且对 AB边上任意一点N，恒有NB NCMB MC，则有AABBC BABACCABAC DACBC11点 P是ABC所在平面内的一点，假设()CBPAPBR，则点 P在AABC内部BAC边所在的直线上CAB边所在的直线上DBC边所在的直线上12在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，6cb，2cba，且O为此三角形的内心，则AO CBA4 B5 C6 D713在ABC中，3, 3| ,2| ,bababACaBC则 C的大小为A30 B60 C120 D15014 在ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，且cos3 coscosbCaBcB，2BA BC，则ABC的面积为A2 B32 C2 2 D4 215 假设非零向量,a b满足| |2|ababa， 则向量b与ab的夹角为. 16在平面直角坐标系中，设,M N T是圆C:22(1)4xy上不同三点，假设存在正 实 数,a b， 使 得CTaCMbCN， 则3221aababba的 取 值 范 围为17已知向量(1, 3)a，向量,a c的夹角是3，2a c，则|c等于18已知正方形ABCD，过正方形中心O的直线MN分别交正方形的边CDAB,于点NM、，则22BNMN最小值为 _19 假 设,a b均 为 非 零 向 量 ， 且2,2ababab， 则,a b的 夹 角为20在等腰梯形ABCD 中，已知AB/DC， ABC=60 ， BC=12AB=2 ，动点 E和 F 分别在线段 BC和 DC上， 且BE=BC，DF=21DC， 则AEBF的最小值为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 17 页试卷第 3 页，总 4 页21已知ABC是边长为1 的正三角形，动点M在平面 ABC内，假设0AMAB，| 1CM，则CMAB的取值范围是22向量(1,1)a，且a与ab的方向相反，则a b的取值范围是23 如图，在三棱锥中DABC中， 已知2AB，3ACBD， 设ADa，BCb，CDc，则21cab的最小值为24 已知 A点坐标为( 1,0)， B点坐标为(1,0)， 且动点M到A点的距离是4， 线段MB的垂直平分线l交线段MA于点P 1求动点P的轨迹 C方程 2假设 P是曲线 C上的点，求kPAPB的最大值和最小值25ABC中，内角为 A，B，C，所对的三边分别是a，b，c，已知2bac，3cos4B 1求11tantanAC； 2设BA32BC, 求ac26 已知函数11fxx， 点O为坐标原点 , 点,(nAn fnnN*),向量0,1i，n是向量nOA与i的夹角，则201612122016coscoscossinsinsin的值为27已知向量3(sin,),(cos , 1).2axbx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 17 页试卷第 4 页，总 4 页 1当/ab时，求22cossin 2xx的值； 2求bbaxf)()(在,02上的值域28如图，在平面直角坐标系中，方程为022FEyDXyx的圆M的内接四边形ABCD的对角线BDAC和互相垂直，且BDAC和分别在x轴和y轴上 1假设四边形ABCD的面积为40，对角线AC的长为 8，0ADAB，且ADC为锐角，求圆的方程，并求出DB,的坐标； 2设四边形ABCD的一条边CD的中点为G，ABOH，且垂足为H，试用平面解析几何的研究方法判断点HGO、是否共线，并说明理由29在直角坐标系xOy中，已知点(1,1), (2,3),(3,2)ABC，点( ,)P x y在ABC中三边围成的区域含边界上，且(,)OPABACR 1假设23，求OP； 2用, x y表示并求的最大值30已知椭圆2222:1(0)xyCabab, 过左焦点1( 1,0)F的直线与椭圆C交于M、N两点，且2F MN的周长为8；过点(4,0)P且不与x轴垂直的直线l与椭圆C相交于A、B两点 1求椭圆C的方程； 2求OA OB的取值范围； 3假设B点关于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 17 页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 1 页，总 13 页参考答案1C 【解析】试题分析：如下图，在ABC中，ADABBD又2BDDC，2222133333BDBCBCACABbcADABBCcbcbc故选 C考点：向量加法2A 【解析】试题分析：如下图，建立直角坐标系则1,0 ,0,3 ,OAOB33,3,tan3033nmOCmOAnOBmnmn故选 B 考点：共线向量【名师点睛】 此题主要考查了共线向量及向量的模等知识，属基础题 解题时对一个向量根据平面向量基本定理进行分解，关键是要根据平行四边形法则，找出向量在基底两个向量方向上的分量，再根据已知条件构造三角形，解三角形即可得到分解结果3D 【解析】试题分析：设ba，则由已知可得(2 )(2 )(2 b)210cabc acbc acc a考点：向量的运算4B 【解析】试题分析：由已知mn，则2(1)21201,2aaaaaa考点：共线向量5D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 17 页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 2 页，总 13 页【解析】试题分析：1,4abx由()1,21,41809aabxxx考点；向量垂直的充要条件6B【解析】试题分析： 由题意得22()01cos,2| |a baaba baa bab，所以向量a与向量b的夹角为4，选考点：向量夹角7D【解析】试题分析：212331cos,.23aabaa ba ba ba b选 D考点：向量夹角8D【解析】试题分析：11+)+)22AD BEADBAADDEADABADABADADAB（-（1142cos41232ABAB，因此6.AB选 D考点：向量数量积9B【解析】试 题 分 析 ： 设BC 的 中 点 为D ， () ()20OBOCOBOCOA， ()220CBODOA，20CBAD，CBAD，故 ABC的 BC边上的中线也是高线故ABC是以 BC为底边的等腰三角形，故选 B考点：三角形的形状判断10 D【解析】试题分析：以A为原点，AB为x轴，建立直角坐标系，设(4,0),( , )BC a b，( ,0)N x，则(3,0)M，(1,0) (3, )3MB MCaba，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 17 页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 3 页，总 13 页(4,0) (, )(4)()NB NCxax bxax，2(4)()(4)4x axxaxa224(4)()424aaxa，由题意2(4)434aaa或432a ，解得2a，所以ACBC故选 D考点：向量的数量积，数量积的坐标运算【名师点睛】1平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OAa，点A 的位置被a所唯一确定，此时a的坐标与点A 的坐标都是x，y 向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即向量x，y向量OA点 Ax，y 要把点的坐标与向量的坐标区分开，相等的向量坐标是相同的，但起点、终点的坐标可以不同，也不能认为向量的坐标是终点的坐标，如A1， 2 ，B 3，4 ，则AB 2，2 3用坐标法解向量问题，可以把几何问题代数化，用函数思想研究几何问题，可以减少思维量，降低难度此题建立坐标系后，(4,0) (, )(4)()NB NCxax bx ax，问题转化为函数( )(4)()f xx ax的最小值是3a或在3x时取得最小值， 由二次函数的性质结论易得11 B【解析】试题分析：由CBPAPB得CBPBPA，即CPPA，所以CP与PA共线，故选 B考点：向量的线性运算，向量的共线12 C【解析】试题分析：如下列图所示，过O作ODAB于D，OEAC于E，()| | |AO CBAOABACAO ABAO ACADABAEAC，又O为ABC内心，| | | |ADABAEACADcADb，(|)|22abcBDBCCEcbaAD，()()()62cb cbaAO CBAOABACAO ABAO AC，故选 C精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 17 页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 4 页，总 13 页考点： 1三角形内心性质；2平面向量数量积【思路点睛】 平面向量的综合题常与角度与长度结合在一起考查，在解题时运用向量的运算，数量积的几何意义，同时， 需注意挖掘题目中尤其是几何图形中的隐含条件，常利用数形结合思想将问题等价转化为利用几何图形中的不等关系将问题简化，一般会与函数， 不等式等几个知识点交汇，或利用平面向量的数量积解决其他数学问题是今后考试命题的趋势13 B【解析】试题分析：cos3a ba bC，解得21cosC，所以060C，故选 B考点：平面向量数量积的应用14 C【解析】试题分析：由cos3 coscosbCaBcB，根据正弦定理可得sincos3sincossincosBCABCB，1sin3sincossin,cos3BCABAB；再根据2BA BC，得cos2c aB，6ac，所以ABC的面积为1sin2 22acB，故 C为正确答案考点： 1、正弦定理； 2、向量的数量积【思路点晴】 此题主要考查的是正弦定理、三角函数的和差公式、向量的数量积的综合运用，属于中档题； 由cos3 coscosbCaBcB， 根据正弦定理求出cosB的值，进而求出sin B的值； 再根据2BA BC，利用两个向量的数量积的定义求得ac的值， 最后根据面积公式1sin2acB求出ABC的面积即可156【解析】试题分析：如下图，设AB,a ADb，两个非零向量满足| |2 |ababa，则四边形 ABCD是矩形，且1236ABcos BACBACOABOADAC，而精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 17 页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 5 页，总 13 页向量b与ab的夹角即为OAD，故向量b与ab的夹角为6考点：向量的夹角的计算16(2,)【解析】试题分析： 由题意，2CTCMCN，设,CM CN夹角为，对CTaCMbCN两边平方，整理得2222224424112o11c saabCMCNcosababbaabb，可得到11,11ababab或，以为a横坐标 , b为纵坐标 ,表示出满足上面条件的平面区域如图阴影部分所示，则3222222111211aababbbbabbabaaa，它表示点, a b到点0, 1的距离的平方及点,a b与点0, 1连线斜率的和，由可行域可 知 当 点,a b位 于 点1,0时 取 到 最 小 值2 ， 但 由 题 意,a b为 正 实 数 ， 故3221aababba的取值范围为(2,)【名师点睛】此题主要考查向量的运算，简单的线性规划，及目标函数的实际意义等知识，属难题解题时由两个难点，一个是根据题意得到可行域明亮一个是目标函数的实际意义，需要一定的数学功底考点：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 17 页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 6 页，总 13 页17 2 【解析】试题分析：cos,=2cos223a caca ccc考点：向量的运算1853【解析】试题分析：以正方形中心O为坐标原点建立如下图直角坐标系，设正方形边长为2 个单位，则(1,1),(,1),(, 1), 1,1BM mNmm， 因此222244(1)4MNmyBNm， 由2228(41)0(1)4mmym得5252()mm或舍，因此函数在(52,1)单调增，在( 1, 52)单调减，即52m时，函数取最小值53考点：利用导数求函数最值【思路点睛】函数最值存在的两条定论1闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到不单调时，利用导数探求极值点，为函数取最值的可疑点2开区间上的“单峰”函数一定存在最大小值“单峰”利用导数探求193【解析】试题分析：222,220,202ababababababab ab，因此1cos,.23|a babyx CNDA MBO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 17 页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 7 页，总 13 页考点：向量夹角204 6l3【解析】试题分析：由题意得4,2ABCD() ()AE BFABBEBCCFAB BCBE BCAB CFBE CF| | cos120| | | |cos 60ABBCBEBCABCFBE CF2111142()24(1)22(1)2222244136132 64 6l3，当且仅6=3当时取等号， 即AEBF的最小值为4 6l3考点：向量数量积，基本不等式求最值211 1,)2【解析】试题分析：如图，以A为原点，AB为x轴建立直角坐标系，则13(1,0),(,)22BC，设( , )Mx y，( , ) (1,0)0AMABx yx，由1CM得2213()()122xy，所以102x，所以131(,) (1,0)222CMABxyx1 1,)2yxMBCA考点：向量的数量积，数量积的坐标运算【名师点睛】1在解决具体问题时，合理地选择基底会给解题带来方便在解有关三角形的问题时， 可以不去特意选择两个基本向量，而可以用三边所在的三个向量，最后可以根据需要任意留下两个即可，这样思考问题要简单得多精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 17 页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 8 页，总 13 页2平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OAa，点 A的位置被a所唯一确定， 此时a的坐标与点A的坐标都是x，y 向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即向量x，y向量OA点 Ax，y 要把点的坐标与向量的坐标区分开，相等的向量坐标是相同的，但起点、终点的坐标可以不同，也不能认为向量的坐标是终点的坐标，如A1，2 ，B3，4 ，则AB 2，2 3用坐标法解向量问题，可以把几何问题代数化，用函数思想研究几何问题，可以减少思维量，降低难度22(, 2)【解析】试题分析：因为a与ab的方向相反，所以a与b共线，且方向相反设( , )bkak k0k ， 又(1,1)abkk与a方 向 相 反 ， 所 以10k，1k， 所 以22a bkkk考点：向量的数量积，共线向量，数量积的坐标运算232【解析】试题分析： 设ADa，CBb，DCc， 2AB， 2222|4abcabc2()4a bb cc a，又3AC BD，2() ()33acbca bb cc ac，22222222(3)=42abcccab，22222211abababab，当且仅当ab时，等号成立，即21cab的最小值是2考点： 1空间向量的数量积；2不等式求最值【思路点睛】 向量的综合题常与角度与长度结合在一起考查，在解题时运用向量的运算，数量积的几何意义，同时，需注意挖掘题目中尤其是几何图形中的隐含条件，将问题简化，一般会与函数， 不等式等几个知识点交汇，或利用向量的数量积解决其他数学问题是今后考试命题的趋势24 122143xy； 2max4k，min3k【解析】试题分析：1根据题意知| |42PAPBPAPM，所以P的轨迹是以,A B为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 17 页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 9 页，总 13 页焦点的椭圆，且24,22ac，所以轨迹的方程为22143xy； 2设点00(,)P xy则2200143xy，根据两点之间的距离公式得：22220000(1)(1)kxyxy，化简得：20144kx，又有椭圆的范围知022x，求函数的最值试题解析：1| |4PAPBPAPM；又|2AB，P的轨迹是以,A B为焦点的椭圆，24,22ac，2223bac，所求轨迹方程为22143xy2解：设点00(,)P xy则2200143xy22220000(1)(1)kxyxy0( 22)x22000011242444xxxx0011(2)(2)22xx20144x0max0 4xk当时，0min2 3xk当时，考点： 1、椭圆的定义；2、椭圆的标准方程；3、两点间距离；4、二次函数的最值【方法点晴】 此题主要考查的是利用椭圆的定义确定点的轨迹、椭圆的标准方程及椭圆的性质，两点间距离，二次函数求最值，属于中档题题求点的轨迹时，可以根据某些曲线的定义先确定轨迹，再求其轨迹方程，在利用二次函数求最值的过程中，一定要分析自变量的取值范围，否则容易产生错误25 1477； 23【解析】试题分析： 1根据条件，采取化角的策略，由正弦定理得：2sin BsinAsinC，又3cos4B，所以74sin ACsinB（），所以74sin ACsinAsinC（）=，展开两边同除以sinAsinC即可； 2因为BA32BC，3cos4B，所以3342ac cosBac，则22bac，由余弦定理得222cos2acbBac精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 17 页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 10 页，总 13 页2222()223444acacac，所以29ac（），3ac试题解析：122bacsin BsinAsinC37?44cosBBsin ACsinB且为三角形内角（）11coscos47tantansinsin7ACACAC2BA32BC，cosB34ac cosB34ac32，则22bac2222222()223cos2444acbacacacBac29ac（），3ac考点： 1、正弦定理； 2、余弦定理；3、两角和正弦公式；4、数量积公式2620162017【解析】试题分析：由题意可得90n是直线nOA的倾斜角，901119090()()11nnnnnfncossintansincosnn nnn（），201612122016coscoscos11111120161.1sinsinsin2232016201720172017考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算27 122cossin 2xx2013； 221,22)(的值域为xf【解析】试题分析：1利用向量平行的坐标运算，同角三角函数间的关系，得到tanx的值，然后化简222cos xsin x即可2先表示出bbaxf)()(2224sin x，再根据x的范围求出函数f x（ ）的最大值及最小值试题解析：1|a b，3cossin02xx，3tan2x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 17 页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 11 页，总 13 页222222cos2sincos22 tan202cossin2sincos1tan13xxxxxxxxx21(sincos ,)2abxx2( )()sin(2)24f xabbx02x，32444x，21sin(2)42x21( )22f x函数21,22)(的值域为xf考点：正弦函数的性质28 125322yx，)2, 0(,8, 0DB2共线【解析】试题分析：1利用四边形ABCD面积得直径10BD，因而半径为5，利用弦 AC=8可求得圆心 M到直线 AC距离为 3，即圆心3, 0M，方程为25322yx，可得圆在y 轴上的交点)2, 0(,8 ,0DB2判断三点HGO、是否共线， 一般利用斜率进行判定，即判断OGOHkk是 否 成 立 ， 而OHAB， 因 此 只 需 判 断1OGABkk是 否 成 立 ， 设0,0,00,dDcCbBaA，则转化为判断bdac是否成立：对于圆M的一般方程022FEyDXyx，a，c 为02FDXx两根， b，d 为02FEyy两根，从而由韦达定理得acFbd，因此三点共线试题解析：解： 1不难发现，对角线互相垂直的四边形ABCD面积2BDACS，因为8,40 ACS可得10BD又 因 为0AB AD， 所 以A为 直 角 ， 而 因 为 四 边 形 是 圆M的 内 接 四 边 形 ， 故5,102rrBD， 连 接MA， 求 得3MO， 所 以3, 0M， 故 圆M的 方 程 为25322yx，令28, 0或yx，求得)2,0(,8 , 0DB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 17 页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 12 页，总 13 页证：设四边形四个顶点的坐标分别为0,0 , 00,dDcCbBaA，则可得点G的坐标为2,2dc，即2,2dcOG又,ABa b，且OHAB，故使HOG、共线，只需证0AB OG即可而2bdacAB OG，且对于圆M的一般方程022FEyDXyx，当0y时，可得02FDXx，其中方程的两根分别为点A和点C的横坐标，于是有FacxxCA同理，当0 x时，可得02FEyy，其中方程的两根分别为点B和点D的纵坐标，于是有FbdyyDB，所以，02bdacAB OG，即OGAB，故HOG、必定三点共线考点：圆的方程，直线与圆位置关系29 12 2OP； 2的最大值为1【解析】试题分析：1直接求出向量的坐标，即可计算模的大小； 2由向量相等的定义可得,，试 题 解 析 ： 1 由 已 知(1,2),(2,1)ABAC， 所 以22(2,2)33OPABAC，2 2OP，2 由 已 知 得(1,2)(2,1)(2 ,2)OP， 22xy，1(2)31(2)3yxxy，yx由简单线性规划的思想可得的最大值为1考点：向量的坐标运算，向量的相等，简单线性规划30 122143yx； 213 4)4，； 3证明见解析【解析】试题分析： 1由题意得可得1c，由椭圆的定义可求得2a，再由, ,a b c的关系，可得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 17 页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 13 页，总 13 页到椭圆的标准方程； 2设直线PB的方程为(4)yk x，代入椭圆的方程， 运用韦达定理，以及向量的数量积的坐标表示、化简整理，由不等式的性质，即可得所求范围； 3求得E的坐标，以及直线AE的方程，令0y，运用韦达定理，即可得到所求定点试题解析：1椭圆的方程为22143yx2由题意知直线AB的斜率存在，设直线PB的方程为(4)yk x由22(4)143yk xyx得：2222(43)3264120kxk xk由2222( 32)4(43)(6412)0kkk得：214k设 Ax1，y1 ，B x2，y2 ，则221212223264124343kkxxx xkk，22212121212(4) (4)4()16y yk xk xk x xkxxk22222121222264123287(1)41625434343kkOA OBx xy ykkkkkk2104k，28787873443k，13 4)4OA OB， OA OB 的取值范围是13 4)4，3证： B、E两点关于x 轴对称， Ex2， y2直线 AE的方程为121112()yyyyxxxx，令 y = 0得：112112()y xxxxyy又1122(4)(4)yk xyk x，12121224()8x xxxxxx由将代入得：x = 1 ，直线AE与 x 轴交于定点1，0 考点：椭圆的简单几何性质及其应用；直线与圆锥曲线的综合问题【方法点晴】 此题主要考查了椭圆的标准方程的求法，椭圆的简单的几何性质及其应用，直线与圆锥曲线的综合应用，着重考查了直线方程和椭圆联立，运用韦达定理，以及化简整理的运算能力，属于中档性试题，此题的解答中，把直线方程(4)yk x代入椭圆的方程，得二次方程2222(43)3264120kxk xk，把向量OA OB的运算转化为二次方程韦达定理的应用，是解答此类问题的关键，同时此类问题的运算量较大，需要认真审题、细致计算也是解答的一个易错点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 17 页