3.2.2双曲线的简单几何性质（1）课件--高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册.pptx
3.2.2 双曲线的简单几何性质（双曲线的简单几何性质（1）类比椭圆的简单几何性质我们可以得到双曲线的简单几何性质类比椭圆的简单几何性质我们可以得到双曲线的简单几何性质图象图象 方程方程性质性质范围范围对称性对称性顶点顶点离心率离心率yxF1F2OMA1A2B2B1F2F1MxOyA1A2B2B122221(0)xyabab 22221(0,0)xyabab ,axabyb xaxa yR 或或, ,x y关关于于 , , 轴轴对对称称, ,关关于于原原点点对对称称x y关关于于 , , 轴轴对对称称, ,关关于于原原点点对对称称1212(,0),( ,0),(0,),(0, )AaA aBbBb 122 .A Aa线线段段叫叫长长轴轴, ,长长轴轴长长为为122 .B Bb线线段段叫叫短短轴轴, ,短短轴轴长长为为12(,0),( ,0)AaA a 122 .A Aa线线段段叫叫实实轴轴, ,实实轴轴长长为为122 .B Bb线线段段叫叫虚虚轴轴, ,虚虚轴轴长长为为(01)ceea (1)ceea 222210.1943294,0.32,MMxyxyxyxyMMxdMxd 利利用用信信息息技技术术画画出出双双曲曲线线和和两两条条直直线线在在双双曲曲线线的的右右支支上上取取一一个个点点测测量量点点的的横横坐坐标标以以及及它它到到直直线线的的距距离离沿沿曲曲线线向向右右上上方方拖拖动动点点观观察察与与 的的大大小小关关系系, ,你你发发现现了了什什么么？探究探究双曲线的渐近线：双曲线的渐近线：22221xyab 双双曲曲线线的的渐渐近近线线方方程程为为22221(,0)0 xyxyao babab 一一般般地地, ,双双曲曲线线的的两两支支向向外外延延伸伸时时, ,与与两两条条直直线线逐逐渐渐接接近近, ,此此时时我我们们把把这这两两条条直直线线叫叫做做双双曲曲线线的的渐渐近近线线. .实实际际上上, ,双双曲曲线线与与它它的的渐渐近近线线无无限限接接近近, ,但但永永远远不不相相交交. .0.xybyxaba , ,即即22221yxab 双双曲曲线线的的渐渐近近线线方方程程为为0.yxayxabb , ,即即yB2A1A2 B1 xOF2F1等轴双曲线：等轴双曲线：22222221(,0)2.xyao babxyaabayx 在在双双曲曲线线中中, ,如如果果, ,那那么么方方程程变变为为, ,此此时时双双曲曲线线的的实实轴轴和和虚虚轴轴的的长长都都等等于于, ,渐渐近近线线方方程程为为, ,它它们们互互相相垂垂直直, ,并并且且平平分分双双曲曲线线的的实实轴轴和和虚虚轴轴所所成成的的角角 实实轴轴和和虚虚轴轴等等长长的的双双曲曲线线叫叫做做等等轴轴双双曲曲线线等等轴轴双双曲曲线线的的方方程程为为22(0).xym m 0mx 若若, ,则则等等轴轴双双曲曲线线的的焦焦点点在在 轴轴上上；0my 若若, ,则则等等轴轴双双曲曲线线的的焦焦点点在在 轴轴上上. .2.yx 等等轴轴双双曲曲线线的的渐渐近近线线方方程程为为, ,离离心心率率为为yB2A1A2 B1 xOF2F1yB2A1A2 B1 xOF2F1双曲线的形状与离心率的关系：双曲线的形状与离心率的关系：yB2A1A2 B1 xOF2F12221.bcaeaa e当当离离心心率率 越越大大, ,渐渐近近线线斜斜率率的的绝绝对对值值越越大大. .从从而而双双曲曲线线的的开开口口越越大大yB2A1A2 B1 xOF2F12222(1)cabbeaaa 或或方程方程图形图形范围范围对称性对称性顶点顶点离心率离心率渐近线渐近线关于关于x, y轴对称轴对称, , 关于原点对称关于原点对称, , 对称中心叫做双曲线的中心对称中心叫做双曲线的中心 A1(-a,0), A2(a,0)线段线段A1A2叫实轴叫实轴, 长度为长度为2a线段线段B1B2叫虚轴叫虚轴, 长度为长度为2bA1 (0,-a ), A2(0, a )线段线段A1A2叫实轴叫实轴 , 长度为长度为2a线段线段B1B2叫虚轴叫虚轴 , 长度为长度为2b22221(0,0)xyabab 22221(0,0)yxabab yB2A1A2 B1 xOF2F1xyB1A2A1 B2 OF1F2xaxa 或或yaya 或或(1)ceea 0 xybyxaba , ,即即0yxayxabb , ,即即 例例3 求双曲线求双曲线9y2 16x2 =144的实半轴与虚半轴长的实半轴与虚半轴长,焦点坐标焦点坐标,离心率及渐离心率及渐近线方程近线方程, 并画出双曲线草图并画出双曲线草图.解：解：原原方方程程变变形形为为221.169yx43 .ab实实半半轴轴长长为为，虚虚半半轴轴长长为为5342222 bac12(05)(0 5) .FF 焦焦点点坐坐标标为为，5.4cea离离心心率率3-34-4xyO4.3yx 渐渐近近线线方方程程为为F1(0,-5)F2(0,5) 1. 求下列双曲线的实轴与虚轴的长求下列双曲线的实轴与虚轴的长, 顶点和焦点的坐标顶点和焦点的坐标, 离心率离心率, 渐近线方程渐近线方程.22222222(1)832;(2) 981;(3)4; (4)1.4925xyxyxyxy 解：解：(1)原原方方程程变变形形为为221.324xy28 224 .ab实实轴轴长长为为，虚虚轴轴长长为为224 2,2,3246.abcab(4 2,0)( 6 0).顶顶点点坐坐标标为为, ,焦焦点点坐坐标标为为，63 2.44 2cea离离心心率率为为2.4yx 渐渐近近线线方方程程为为 1. 求下列双曲线的实轴与虚轴的长求下列双曲线的实轴与虚轴的长, 顶点和焦点的坐标顶点和焦点的坐标, 离心率离心率, 渐近线方程渐近线方程.22222222(1)832;(2) 981;(3)4; (4)1.4925xyxyxyxy 解：解：(2)原原方方程程变变形形为为221.981xy26218 .ab实实轴轴长长为为，虚虚轴轴长长为为223,9,9813 10.abcab(3,0)( 3 10 0).顶顶点点坐坐标标为为, ,焦焦点点坐坐标标为为，3 1010 .3cea离离心心率率为为3.yx 渐渐近近线线方方程程为为 1. 求下列双曲线的实轴与虚轴的长求下列双曲线的实轴与虚轴的长, 顶点和焦点的坐标顶点和焦点的坐标, 离心率离心率, 渐近线方程渐近线方程.22222222(1)832;(2) 981;(3)4; (4)1.4925xyxyxyxy 解：解：(3)原原方方程程变变形形为为221.44yx2424 .ab实实轴轴长长为为，虚虚轴轴长长为为222,442 2.abcab(0,2)(0, 2 2).顶顶点点坐坐标标为为, ,焦焦点点坐坐标标为为2 22 .2cea离离心心率率为为.yx 渐渐近近线线方方程程为为 1. 求下列双曲线的实轴与虚轴的长求下列双曲线的实轴与虚轴的长, 顶点和焦点的坐标顶点和焦点的坐标, 离心率离心率, 渐近线方程渐近线方程.22222222(1)832;(2) 981;(3)4; (4)1.4925xyxyxyxy 解：解：(4)原原方方程程变变形形为为221.2549yx210214 .ab实实轴轴长长为为，虚虚轴轴长长为为2257254974.abcab,(0,5)(0,74).顶顶点点坐坐标标为为, ,焦焦点点坐坐标标为为74.5cea离离心心率率为为5.7yx 渐渐近近线线方方程程为为2.5(1)844(2)16.3xexe 求求符符合合下下列列条条件件的的双双曲曲线线的的标标准准方方程程：顶顶点点在在 轴轴上上, ,两两顶顶点点间间的的距距离离是是 , ,；焦焦点点在在 轴轴上上, ,焦焦距距是是, ,解：解：5(1)28453.4aeacb 由由题题意意知知, , , , , ,xx又又双双曲曲线线的的顶顶点点在在 轴轴上上, ,双双曲曲线线的的焦焦点点也也在在 轴轴上上. .221.169xy 所所求求双双曲曲线线的的标标准准方方程程为为2.5(1)844(2)16.3xeye 求求符符合合下下列列条条件件的的双双曲曲线线的的标标准准方方程程：顶顶点点在在 轴轴上上, ,两两顶顶点点间间的的距距离离是是 , ,；焦焦点点在在 轴轴上上, ,焦焦距距是是, ,解：解：4(2)216862 7.3cecab 由由题题意意知知, , , , , ,y又又双双曲曲线线的的焦焦点点在在 轴轴上上，221.3628yx 所所求求双双曲曲线线的的标标准准方方程程为为13.( 6,0)F 对对称称轴轴都都在在坐坐标标轴轴上上的的等等轴轴双双曲曲线线的的一一个个焦焦点点是是, ,求求双双曲曲线线的的标标准准方方程程和和渐渐近近线线方方程程. .解：解：22221(0,0).xyabab 设设双双曲曲线线的的标标准准方方程程为为6.ab c 由由题题意意可可知知, ,2223618.aaa , ,221.1818xy 所所求求双双曲曲线线的的标标准准方方程程为为.yx 渐渐近近线线方方程程为为4.24yx 双双曲曲线线的的渐渐近近线线方方程程是是, ,虚虚轴轴长长为为 , ,求求双双曲曲线线的的标标准准方方程程. .解：解：242.bb 由由题题意意知知, ,2221.1.4bxaayx 若若双双曲曲线线的的焦焦点点在在 轴轴上上, ,则则, ,双双曲曲线线方方程程为为2224.1.164ayabyx 若若双双曲曲线线的的焦焦点点在在 轴轴上上, ,则则, ,双双曲曲线线方方程程为为1. 根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法待定系数法转化为转化为解方程解方程(组组)，但要注意但要注意焦点的位置焦点的位置，从而正确选择方程的形式从而正确选择方程的形式 (2) 以双曲线以双曲线 有相同的渐近线的双曲线方程有相同的渐近线的双曲线方程可设为可设为 22221(0,0)xyabab 2222(0).xyab 0 xyab 2222(0).xyab (1) 渐近线方程为渐近线方程为 的双曲线方程可设为的双曲线方程可设为 2. 巧设双曲线方程的技巧巧设双曲线方程的技巧总结：总结：22111332xyyx 求求以以椭椭圆圆的的焦焦点点为为焦焦点点, ,以以直直线线为为渐渐近近线线的的双双曲曲线线方方程程. .练习练习1解：解：0.2xy 由由题题意意知知, ,所所求求双双曲曲线线的的渐渐近近线线方方程程为为22221(0).44xxyy 故故可可设设所所求求双双曲曲线线方方程程为为, ,即即221(10,0).133xy 椭椭圆圆的的焦焦点点坐坐标标为为4102. , ,221.82xy 所所求求双双曲曲线线方方程程为为结论：双曲线的焦点到渐近线的距离恒等于结论：双曲线的焦点到渐近线的距离恒等于b.221412xy 双双曲曲线线的的焦焦点点到到渐渐近近线线的的距距离离为为_ _ _ _ _ _ _. .练习练习22 3xyOF1F2
