2019-2020学年高中数学人教A版必修一学案：2.2.2.2 对数函数及其性质的应用 .doc
www.ks5u.com第2课时对数函数及其性质的应用小试身手1若log3a<0，b>1，则()Aa>1，b>0B0<a<1，b>0Ca>1，b<0 D0<a<1，b<0解析：由函数log3x，yx的图象知，0<a<1，b<0.答案：D2函数y2log2x(x2)的值域为()A(3，) B(，3)C3，) D(，3解析：因为x2，所以log2x1，所以y3.答案：C3已知f(x)log3x，则f，f，f(2)的大小关系是()Af>f>f(2) Bf<f<f(2)Cf>f(2)>f Df(2)>f>f解析：因为f(x)log3x，所以f(x)在(0，)上为增函数又因为2>>，所以f(2)>f>f.答案：B4函数ylg|x|()A是偶函数，在区间(，0)上单调递增B是偶函数，在区间(，0)上单调递减C是奇函数，在区间(0，)上单调递减D是奇函数，在区间(0，)上单调递增解析：ylg|x|是偶函数，由图象知在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增答案：B类型一比较数值的大小例1(1)设alog2，blog，c2，则()Aa>b>c Bb>a>cCa>c>b Dc>b>a(2)比较下列各组值的大小：log0.5，log0.6; log1.51.6，log1.51.4；log0.57，log0.67; log3，log20.8.【解析】(1)alog2>1，blog<0，c2(0,1)，所以a>c>b.(2)因为函数ylogx是减函数，且0.5<0.6，所以log0.5>log0.6.因为函数ylog1.5x是增函数，且1.6>1.4，所以log1.51.6>log1.51.4.因为0>log70.6>log70.5，所以<，即log0.67<log0.57.因为log3>log310，log20.8<log210，所以log3>log20.8.【答案】(1)C(2)log0.5>log0.6.log1.51.6>log1.51.4.log0.67<log0.57.log3>log20.8.(1)选择中间量0和1，比较大小(2)利用对数函数的单调性比较大小用中间量1比较大小方法归纳比较对数值大小时常用的三种方法跟踪训练1比较下列各组对数值的大小： (1)log1.6与log2.9；(2)log21.7与log23.5；(3)log3与log3；(4)log0.3与log20.8.解析：(1)ylogx在(0，)上单调递减，1.6<2.9，log1.6>log2.9.(2)ylog2x在(0，)上单调递增，而1.7<3.5，log21.7<log23.5.(3)借助ylogx及ylogx的图象，如图所示在(1，)上，前者在后者的下方，log3<log3.(4)由对数函数性质知，log0.3>0，log20.8<0，log0.3>log20.8.(1)、(2)同底数(3)底数不同、真数相同(4)底数与真数都不同类型二解对数不等式例2(1)已知log0.72x<log0.7(x1)，则x的取值范围为_；(2)已知loga(x1)loga(3x)(a>0，且a1)，求x的取值范围【解析】(1)函数ylog0.7x在(0，)上为减函数，由log0.72x<log0.7(x1)得解得x>1，即x的取值范围是(1，)(2)loga(x1)loga(3x)，当a>1时，有解得2x<3.当0<a<1时，有解得1<x2.综上可得，当a>1时，不等式loga(x1)loga(3x)中x的取值范围为2,3)；当0<a<1时，不等式loga(x1)loga(3x)(a>0且a1)中x的取值范围是(1,2【答案】(1)(1，)(2)答案见解析(1)利用函数ylog0.7x的单调性求解(2)分a>1和0<a<1两种情况讨论，解不等式方法归纳两类对数不等式的解法(1)形如logaf(x)<logag(x)的不等式当0<a<1时，可转化为f(x)>g(x)>0；当a>1时，可转化为0<f(x)<g(x)(2)形如logaf(x)<b的不等式可变形为logaf(x)<blogaab.当0<a<1时，可转化为f(x)>ab；当a>1时，可转化为0<f(x)<ab.跟踪训练2(1)满足不等式log3x<1的x的取值集合为_；(2)根据下列各式，确定实数a的取值范围：log1.5(2a)>log1.5(a1)；log0.5(a1)>log0.5(3a)解析：(1)因为log3x<1log33，所以x满足的条件为即0<x<3.所以x的取值集合为x|0<x<3(2)函数ylog1.5x在(0，)上是增函数因为log1.5(2a)>log1.5(a1)，所以解得a>1，即实数a的取值范围是(1，)函数ylog0.5x在(0，)上是减函数，因为log0.5(a1)>log0.5(3a)，所以解得1<a<1.即实数a的取值范围是(1,1)答案：(1)x|0<x<3(2)(1，)(1,1)(1)log331.(2)由对数函数的单调性求解,类型三对数函数性质的综合应用例3已知函数f(x)loga(1x)loga(3x)(a>0且a1)(1)求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)的最小值为2，求实数a的值【解析】(1)由题意得解得1<x<3，所以函数f(x)的定义域为(1,3)(2)因为f(x)loga(1x)(3x)loga(x22x3)loga(x1)24，若0<a<1，则当x1时，f(x)有最小值loga4，所以loga42，a24，又0<a<1，所以a.若a>1，则当x1时，f(x)有最大值loga4，f(x)无最小值综上可知，a.(1)真数大于0.(2)分0<a<1，a>1两类讨论方法归纳1解答ylogaf(x)型或yf(logax)型函数需注意的问题要注意变量的取值范围例如，f(x)log2x，g(x)x2x，则f(g(x)log2(x2x)中需要g(x)>0；g(f(x)(log2x)2log2x中需要x>0.判断ylogaf(x)型或yf(logax)型函数的奇偶性，首先要注意函数中变量的范围，再利用奇偶性定义判断2形如ylogaf(x)的函数的单调性判断首先要确保f(x)>0，当a>1时，ylogaf(x)的单调性在f(x)>0的前提下与yf(x)的单调性一致当0<a<1时，ylogaf(x)的单调性在f(x)>0的前提下与y(x)的单调性相反,跟踪训练3已知函数f(x)log2(1x2)求证：(1)函数f(x)是偶函数；(2)函数f(x)在区间(0，)上是增函数证明：(1)函数f(x)的定义域是R，f(x)log21(x)2log2(1x2)f(x)，所以函数f(x)是偶函数(2)设0<x1<x2，则f(x1)f(x2)log2(1x)log2(1x)log2，由于0<x1<x2，则0<x<x，则0<1x<1x，所以0<<1.又函数ylog2x在(0，)上是增函数，所以log2<0.所以f(x1)<f(x2)所以函数f(x)在区间(0，)上是增函数,(1)函数是偶函数，f(x)f(x)(2)用定义法证明函数是增函数基础巩固(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1设alog0.50.9，blog1.10.9，c1.10.9，则a，b，c的大小关系为()Aa<b<c Bb<a<cCb<c<a Da<c<b解析：因为0log0.51<alog0.50.9<log0.50.51，blog1.10.9<log1.110，c1.10.9>1.101，所以b<a<c，故选B.答案：B2若loga<1(a>0，且a1)，则实数a的取值范围是()A. B.(1，)C(1，) D(0,1)解析：当a>1时，loga<0<1，成立当0<a<1时，ylogax为减函数由 loga<1logaa，得0<a<.综上所述，0<a<或a>1.答案：B3函数ylog0.4(x23x4)的值域是()A(0,2 B2，)C(，2 D2，)解析：x23x42，又x23x4>0，则0<x23x4，函数ylog0.4x为(0，)上的减函数，则ylog0.4(x23x4)log0.42，函数的值域为2，)答案：B4当a>1时，在同一坐标系中，函数yax与ylogax的图象是()解析：a>1，函数yax的图象过点(0,1)且递减，函数ylogax的图象过点(1,0)且递增，故选A.答案：A5如图所示，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)log2(x1)的解集是()Ax|1<x0 Bx|1x1Cx|1<x1 Dx|1<x2解析：在平面直角坐标系中作出函数ylog2(x1)的大致图象如图所示所以f(x)log2(x1)的解集是x|1<x1答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6函数f(x)log3(4xx2)的递增区间是_解析：由4xx2>0得0<x<4，函数ylog3(4xx2)的定义域为(0,4)令u4xx2(x2)24，当x(0,2时，u4xx2是增函数，当x(2,4)时，u4xx2是减函数又ylog3u是增函数，函数ylog3(4xx2)的增区间为(0,2答案：(0,27已知函数f(x)log2为奇函数，则实数a的值为_解析：由奇函数得f(x)f(x)，log2 log2，a21，因为a1，所以a1.答案：18如果函数f(x)(3a)x与g(x)logax的增减性相同，则实数a的取值范围是_解析：若f(x)，g(x)均为增函数，则则1<a<2； 若f(x)，g(x)均为减函数，则无解答案：(1,2)三、解答题(每小题10分，共20分)9求函数y(logx)2logx5在区间2,4上的最大值和最小值解析：利用换元法，转化为二次函数问题来解决由ylogx在区间2,4上为减函数知，log2logxlog4，即2logx1.若设tlogx，则2t1，且yt2t5.而yt2t5的图象的对称轴为t，且在区间上为减函数，而2，1.所以当t2，即x4时，此函数取得最大值，最大值为10；当t1，即x2时，此函数取得最小值，最小值为.10已知loga(2a3)<loga3a，求a的取值范围解析：(1)当a>1时，原不等式等价于解得a>3.(2)当0<a<1时，原不等式等价于解得0<a<1.综上所述，a的范围是(0,1)(3，)能力提升(20分钟，40分)11若函数yloga(2ax)在x0,1上是减函数，则a的取值范围是()A(0,1) B(1,2)C(0,2) D(1，)解析：令u2ax，因为a>0，所以u是关于x的减函数，当x0,1时，umin2a12a.因为2ax>0在x0,1时恒成立，所以umin>0，即2a>0，a<2.在0,1上，随着x的增大，u2ax减小，要使函数yloga(2ax)在x0,1上是减函数，则ylogau在其定义域上必须是增函数，故a>1.综上可知，1<a<2.答案：B12设函数f(x)若f(a)>f(a)，则实数a的取值范围是_解析：由题意得或解得a>1或1<a<0.答案：(1,0)(1，)13已知f(x)的值域为R，求a的取值范围解析：要使函数f(x)的值域为R，需使所以所以1a<.即a的取值范围为.14已知a>0且a1，f(logax).(1)求f(x)；(2)判断f(x)的单调性和奇偶性；(3)对于f(x)，当x(1,1)时，有f(1m)f(12m)<0，求m的取值范围解析：(1)令tlogax(tR)，则xat，且f(t)，所以f(x)(axax)(xR)；(2)因为f(x)(axax)f(x)，且xR，所以f(x)为奇函数当a>1时，axax为增函数，并且注意到>0，所以这时f(x)为增函数；当0<a<1时，类似可证f(x)为增函数所以f(x)在R上为增函数；(3)因为f(1m)f(12m)<0，且f(x)为奇函数，所以f(1m)<f(2m1)因为f(x)在(1,1)上为增函数，所以解之，得<m<1. 即m的取值范围是.
