2022年韩旭里--概率论习题答案 .pdf

1 习题二1.一袋中有5 只乒乓球，编号为1，2，3， 4，5，在其中同时取3 只，以 X 表示取出的3 只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律 . 【解】353524353,4,51(3)0.1C3(4)0.3CC(5)0.6CXP XP XP X故所求分布律为X 3 4 5 P 2.设在 15 只同类型零件中有2 只为次品，在其中取3 次，每次任取1 只，作不放回抽样，以 X 表示取出的次品个数，求： 1 X 的分布律； 2 X 的分布函数并作图；(3) 133,1,1,12222P XPXPXPX. 【解】313315122133151133150,1,2.C22(0).C35C C12(1).C35C1(2).C35XP XP XP X故 X 的分布律为X 0 1 2 P 223512351352 当 x0 时， Fx=PXx=0 当 0 x1 时， Fx=PXx=P(X=0)= 2235精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 25 页2 当 1x2 时， Fx=PXx=P(X=0)+P(X=1)=3435当 x2 时， Fx =PXx=1 故 X 的分布函数0,022,0135( )34,12351,2xxF xxx(3) 1122()( ),2235333434(1)( )(1)02235353312(1)(1)(1)2235341(12)(2)(1)(2)10.3535P XFPXFFPXP XPXPXFFP X3.射手向目标独立地进行了3 次射击，每次击中率为0.8，求 3 次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3 次射击中至少击中2 次的概率 . 【解】设 XX=0，1，2，3. 31232233(0)(0.2)0.008(1)C 0.8(0.2)0.096(2)C (0.8) 0.20.384(3)(0.8)0.512P XP XP XP X故 X 的分布律为X 0 1 2 3 P分布函数0,00.008,01( )0.104,120.488,231,3xxF xxxx(2)(2)(3)0.896P XP XP X4.1 设随机变量X 的分布律为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 25 页3 PX=k=!kak，其中 k=0，1，2，0 为常数，试确定常数a. 2 设随机变量X 的分布律为P X=k= a/N，k=1，2， N，试确定常数a.【解】 1 由分布律的性质知001()e!kkkP Xkaak故ea(2) 由分布律的性质知111()NNkkaP XkaN即1a. 5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投 3 次，求： 1 两人投中次数相等的概率; 2 甲比乙投中次数多的概率. 【解】 分别令 X、Y表示甲、乙投中次数，则Xb3，0.6 ,Yb(3,0.7) (1) ()(0,0)(1,1)(2,2)P XYP XYP XYP XY(3,3)P XY33121233(0.4) (0.3)C 0.6(0.4) C 0.7(0.3)+ 22223333C (0.6) 0.4C (0.7) 0.3(0.6) (0.7)0.32076(2) ()(1,0)(2,0)(3,0)P XYP XYP XYP XY(2,1)(3,1)(3,2)P XYP XYP XY12322333C 0.6(0.4) (0.3)C (0.6) 0.4(0.3)33221233(0.6) (0.3)C (0.6) 0.4C 0.7(0.3)31232233(0.6) C 0.7(0.3)(0.6) C (0.7) 0.36.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 25 页4 飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？【解】 设 X 为某一时刻需立即降落的飞机数，则Xb(200,0.02)，设机场需配备N 条跑道，则有()0.01P XN即2002002001C(0.02) (0.98)0.01kkkkN利用泊松近似2000.024.np41e 4()0.01!kkNP XNk查表得 N9.故机场至少应配备9 条跑道 . 7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000 辆汽车通过， 问出事故的次数不小于2 的概率是多少 利用泊松定理？【解】 设 X 表示出事故的次数，则Xb(2)1(0)(1)P XP XP X0.10.11e0.1eX 满足 PX=1= P X=2 ，求概率PX=4. 【解】 设在每次试验中成功的概率为p，则1422355C(1)C(1)pppp故13p所以4451210(4)C ( )33243P X. A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当 A 发生不少于3 次时，指示灯发出信号，1 进行了 5 次独立试验，试求指示灯发出信号的概率；2 进行了 7 次独立试验，试求指示灯发出信号的概率. 【解】 1 设 X 表示 5 次独立试验中A 发生的次数，则X65，0.35553(3)C (0.3) (0.7)0.16308kkkkP X(2) 令 Y 表示 7 次独立试验中A 发生的次数，则Yb7773(3)C (0.3) (0.7)0.35293kkkkP Yt 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为 1/2t 的泊松分布，而与时间间隔起精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 25 页5 点无关时间以小时计. 1 求某一天中午12 时至下午3 时没收到呼救的概率；2 求某一天中午12 时至下午5 时至少收到1 次呼救的概率 . 【解】 132(0)eP X(2) 52(1)1(0)1eP XP XP X=k=kkkpp22)1(C, k=0,1,2 P Y=m=mmmpp44)1(C, m=0,1,2,3,4 分别为随机变量X，Y的概率分布，如果已知PX 1=59，试求 P Y1. 【解】 因为5(1)9P X，故4(1)9P X. 而2(1)(0)(1)P XP Xp故得24(1),9p即1.3p从而465(1)1(0)1(1)0.8024781P YP Yp12.某教科书出版了2000 册，因装订等原因造成错误的概率为0.001，试求在这2000 册书中恰有 5 册错误的概率. 【解】 令 X 为 2000 册书中错误的册数，则Xb(2000,0.001).利用泊松近似计算, 20000.0012np得25e 2(5)0.00185!P X13.进行某种试验， 成功的概率为34，失败的概率为14.以 X 表示试验首次成功所需试验的次数，试写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率.【解】1,2, ,Xk113()( )44kP Xk(2)(4)(2 )P XP XP Xk3211 31313()( )4 44444k213141451( )4精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 25 页6 14.有 2500 名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为 0.002，每个参加保险的人在1月 1 日须交 12 元保险费， 而在死亡时家属可从保险公司领取2000 元赔偿金 .求：1 保险公司亏本的概率; 2 保险公司获利分别不少于10000 元、 20000 元的概率 . 【解】 以“年”为单位来考虑. 1 在 1 月 1 日，保险公司总收入为250012=30000 元. 设 1 年中死亡人数为X，则 Xb(2500,0.002)，则所求概率为(200030000)(15)1(14)PXP XP X由于 n 很大， p很小，=np=5，故用泊松近似，有5140e 5(15)10.000069!kkP Xk(2) P(保险公司获利不少于10000) (30000200010000)(10)PXP X5100e 50.986305!kkk即保险公司获利不少于10000 元的概率在98%以上P保险公司获利不少于20000(30000200020000)(5)PXP X550e 50.615961!kkk即保险公司获利不少于20000 元的概率约为62%X 的密度函数为f(x)=Ae|x|, x+, 求： 1A 值； 2P0 X1; (3) F(x). 【解】 1 由( )d1f xx得| |01ed2e d2xxAxAxA故12A. (2) 11011(01)e d(1e )22xpXx(3) 当 x0 时，11( )e de22xxxF xx当 x0 时，0| |0111( )ede de d222xxxxxF xxxx11e2x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 25 页7 故1e ,02( )11e02xxxF xx16.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X 的密度函数为f(x)=.100,0,100,1002xxx求： 1 在开始 150 小时内没有电子管损坏的概率；2 在这段时间内有一只电子管损坏的概率；3 Fx . 【解】115021001001(150)d.3P Xxx33128(150)()327pP X(2) 12231 24C( )3 39p(3) 当 x100 时 Fx=0 当 x100 时( )( )dxF xf tt100100( )d( )dxf ttf tt2100100100d1xttx故1001,100( )0,0 xF xxx17.在区间 0，a上任意投掷一个质点，以X 表示这质点的坐标，设这质点落在0，a中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X 的分布函数 . 【解】由题意知X0,a，密度函数为1,0( )0,xaf xa其他故当 xa 时， Fx=1 即分布函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 25 页8 0,0( ),01,xxF xxaaxaXX 进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于3 的概率 . 【解】 XU2,5，即1,25( )30,xf x其他5312(3)d33P Xx故所求概率为22333321220C ()C ()33327pX以分钟计服从指数分布1( )5E.某顾客在窗口等待服务，假设超过10 分钟他就离开.他一个月要到银行5 次，以Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出Y的分布律，并求PY1. 【解】 依题意知1( )5XE，即其密度函数为51e,0( )50,xxf xx0该顾客未等到服务而离开的概率为25101(10)e de5xP Xx2(5,e)Yb,即其分布律为22552 5()C (e ) (1 e ),0,1,2,3,4,5(1)1(0)1 (1 e )0.5167kkkP YkkP YP Y20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X 服从 N40，102 ；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X 服从 N50，42. 1 假设动身时离火车开车只有1 小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？ 2 又假设离火车开车时间只有45 分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？【解】 1 假设走第一条路，XN40，102 ，则406040(60)(2)0.977271010 xP XP假设走第二条路，XN50，42 ，则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 25 页9 506050(60)(2.5)0.993844XP XP+ 故走第二条路乘上火车的把握大些. 2 假设 XN40，102 ，则404540(45)(0.5)0.69151010XP XP假设 XN 50，42 ，则504550(45)( 1.25)44XP XP1(1.25)0.1056故走第一条路乘上火车的把握大些. XN 3，22 ， 1 求 P2 X 5，P 4X 10 ，P X 2，P X3; 2 确定 c 使 P Xc= P Xc. 【解】 123353(25)222XPXP11(1)(1) 1220.841310.69150.5328433103( 410)222XPXP770.999622(|2)(2)(2)PXP XP X323323222215151122220.6915 10.99380.6977XXPP333(3)()1(0)0.522XP XP-(2) c=3 22.由某机器生产的螺栓长度cmXN2 ,求一螺栓为不合格品的概率. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 25 页10 【解】10.050.12(|10.05| 0.12)0.060.06XPXP1(2)( 2)21(2)0.0456X小时服从正态分布N160，2 ，假设要求P120X200 0.8，允许最大不超过多少？【解】120160160200160(120200)XPXP404040210.8故4031.251.29X 分布函数为Fx=e,0,(0),00.xtABx,x 1 求常数 A，B； 2 求 P X2 ，PX3； 3 求分布密度fx. 【解】 1由00lim( )1lim( )lim( )xxxF xF xF x得11AB22(2)(2)1eP XF33(3)1(3)1(1 e)eP XF(3) e,0( )( )0,0 xxf xFxxX 的概率密度为fx=.,0,21,2,10,其 他xxxx求 X 的分布函数Fx ，并画出f x及 F x. 【解】 当 x0 时 F x=0 当 0 x1 时00( )( )d( )d( )dxxF xf ttf ttf tt20d2xxt t精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 25 页11 当 1x0; (2) f(x)=., 0,21,1, 10,2其 他xxxbx试确定常数a,b，并求其分布函数Fx. 【解】 1 由( )d1f xx知| |021ed2edxxaaxax故2a即密度函数为e,02( )e02xxxf xx当 x0 时1( )( )de de22xxxxF xf xxx当 x0 时00( )( )de ded22xxxxF xf xxxx11e2x故其分布函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 25 页12 11e,02( )1e ,02xxxF xx(2) 由12201111( )ddd22bf xxbx xxx得b=1 即 X 的密度函数为2,011( ),120,xxf xxx其他当 x0 时 Fx=0 当 0 x1 时00( )( )d( )d( )dxxF xf xxf xxf xx20d2xxx x当 1x0 时，( )()(e)(ln)xYFyP YyPyP Xyln( )dyXfxx故2/ 2lnd( )111( )(ln)e,0d2yYYxFyfyfyyyyy(2)2(211)1P YX当 y1 时( )()0YFyP Yy当 y1 时2( )()(21)YFyP YyPXy2111222yyyPXPX(1)/ 2(1)/ 2( )dyXyfxx故d1211( )( )d4122YYXXyyfyFyffyy(1)/ 4121e,1212yyy(3) (0)1P Y当 y0 时( )()0YFyP Yy当 y0 时( )(|)()YFyPXyPyXy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 25 页15 ( )dyXyfxx故d( )( )( )()dYYXXfyFyfyfyy2/22e,02yyXU 0,1 ，试求： 1 Y=eX的分布函数及密度函数； 2 Z= 2lnX 的分布函数及密度函数. 【解】 1(01)1PX故(1ee)1XPY当1y时( )()0YFyP Yy当 1ye 时( )(e)(ln)XYFyPyP Xyln0dlnyxy当 ye 时( )(e)1XYFyPy即分布函数0,1( )ln,1e1,eYyFyyyy故 Y 的密度函数为11e,( )0,Yyyfy其他2 由 P0X0 时，( )()( 2ln)ZFzP ZzPXz/ 2(ln)(e)2zzPXP X/ 21/ 2ed1ezzx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 25 页16 即分布函数- / 20,0( )1-e,ZzzFzz0故 Z 的密度函数为/ 21e,0( )20,zZzfzz0X 的密度函数为f(x)=22,0 ,0,.xx其他试求 Y=sinX 的密度函数 . 【解】(01)1PY当 y0 时，( )()0YFyP Yy当 0y1 时，( )()(sin)YFyP YyPXy(0arcsin)( arcsin )PXyPyXarcsin220 arcsin22ddyyxxxx222211arcsin1 arcsinyy-（）（）2arcsiny当 y1 时，( )1YFy故 Y 的密度函数为221,01( )10,Yyfyy其他X 的分布函数如下：.)3(,)2(,)1(,11)(2xxxxF试填上 (1),(2),(3) 项. 【解】 由lim( )1xF x知填 1。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 25 页17 由右连续性+00lim( )()1xxF xF x知00 x，故为0。从而亦为0。即21,0( )11,0 xF xxx34.同时掷两枚骰子，直到一枚骰子出现6 点为止，求抛掷次数X 的分布律 . 【解】 设 Ai= 第 i 枚骰子出现6 点 。 i=1,2 ,P(Ai)=16.且 A1与 A2相互独立。再设C= 每次抛掷出现6 点。则121212( )()()()() ()P CP AAP AP AP A P A111111666636故抛掷次数X 服从参数为1136的几何分布。35.随机数字序列要多长才能使数字0 至少出现一次的概率不小于0.9? 【解】 令 X 为 0 出现的次数，设数字序列中要包含n 个数字，则Xb(n,0.1) 00(1)1(0)1 C (0.1) (0.9)0.9nnP XP X即(0.9)0.1n得n22 即随机数字序列至少要有22 个数字。Fx=.21, 1,210,21, 0, 0 xxxx则 Fx是随机变量的分布函数. A 连续型；B离散型；C 非连续亦非离散型. 【解】 因为 Fx在,+上单调不减右连续，且lim( )0 xF xlim( )1xF x,所以 Fx是一个分布函数。但是 Fx在 x=0 处不连续，也不是阶梯状曲线，故F x是非连续亦非离散型随机变量的分布函数。选C37.设在区间 a,b上，随机变量X 的密度函数为f(x)=sinx，而在 a,b外， f(x)=0，则区间a,b精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 25 页18 等于(A) 0,/2; (B) 0,; (C) /2,0; (D) 0,23. 【解】 在0,2上 sinx0，且 /20sin d1x x.故 f(x)是密度函数。在0, 上0sin d21x x.故 f(x)不是密度函数。在,02上sin0 x，故 f(x)不是密度函数。在30, 2上，当32x时， sinx0=1，故 01 e2X1，即 P0Y1=1 当 y0 时， FYy=0 当 y1 时， FYy=1 当 0y1 时，2( )()(e1)xYFyP YyPy1ln(1)2201(ln(1)22edyxP Xyxy即 Y 的密度函数为1,01( )0,Yyfy其他即 YU0，1X 的密度函数为f(x)=.,0,63,92, 10,31其他xx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 25 页20 假设 k 使得 PXk=2/3 ，求 k 的取值范围 . (2000 研考 ) 【解】 由 PXk =23知 PXk=13假设 k0,P(Xk)=0 假设 0k1,P(Xk)=011d333kkx当 k=1 时 PXk=13假设 1k3 时 PXk=10111d0d33kxx假设 3k6，则 PX6,则 P Xk=1 故只有当1k3 时满足 PXk=23. X 的分布函数为F(x)=. 3, 1, 31, 8.0, 11,4.0, 1, 0 xxxx求 X 的概率分布 . 1991 研考【解】 由离散型随机变量X 分布律与分布函数之间的关系，可知X 的概率分布为X 1 1 3 P 43.设三次独立试验中，事件AA 至少出现一次的概率为19/27，求 A 在一次试验中出现的概率. 【解】 令 X 为三次独立试验中A 出现的次数，假设设PA=p,则Xb(3,p) 由 PX1 =1927知 PX=0 =1 p3=827故 p=13X 在 1，6上服从均匀分布，则方程y2+Xy+1=0 有实根的概率是多少？【解】1,16( )50,xf x其他24(40)(2)(2)(2)5P XP XP XP XXN 2，2 ，且 P2X4=0.3 ，则PX0= . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 25 页21 【解】222420.3(24)()XPXP22()(0)()0.5故2()0.8因此2022(0)()()XP XP21()0.2n(n2)台仪器假设各台仪器的生产过程相互独立.求 1 全部能出厂的概率； 2 其中恰好有两台不能出厂的概率； 3其中至少有两台不能出厂的概率. 【解】 设 A= 需进一步调试 ，B= 仪器能出厂 ，则A= 能直接出厂 ，AB= 经调试后能出厂 由题意知B=AAB，且( )0.3, (|)0.8()( )(|)0.3 0.80.24( )( )()0.70.240.94P AP B AP ABP A P B AP BP AP AB令 X 为新生产的n 台仪器中能出厂的台数，则X6n, 故222()(0.94)(2)C (0.94)(0.06)(2)1(1)()nnnP XnP XnP XnP XnP Xn11(0.94)0.06(0.94)nnn47.某地抽样调查结果说明，考生的外语成绩百分制近似服从正态分布，平均成绩为72分，96 分以上的占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60 分至 84 分之间的概率. 【解】 设 X 为考生的外语成绩，则XN72，2729672240.023(96)1()XP XP故24()0.977查表知242,即 =12 从而 XN 72，122故6072728472(6084)121212XPXP精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 25 页22 (1)( 1)2(1) 10.68248.在电源电压不超过200V、200V240V 和超过 240V 三种情形下，某种电子元件损坏的概率分别为 0.1，0.001 和 0.2假设电源电压X 服从正态分布N220，252 .试求：1 该电子元件损坏的概率; (2) 该电子元件损坏时，电源电压在200240V 的概率【解】 设 A1= 电压不超过200V ，A2= 电压在 200240V ，A3= 电压超过240V ，B= 元件损坏 。由 XN220，252知1()(200)P AP X2202002202525( 0.8)1(0.8)0.212XP2()(200240)P APX200220220240220252525(0.8)( 0.8)0.576XP3()(240)10.2120.5760.212P AP X由全概率公式有31( )() (|)0.0642iiiP BP A P BA由贝叶斯公式有222()(|)(|)0.009()P AP B AP ABP BX 在区间 1， 2上服从均匀分布，试求随机变量Y=e2X的概率密度fY(y). 【解】1,12( )0,Xxfx其他因为 P1X2=1,故 Pe2Ye4=1 当 ye2时 FYy=P(Yy)=0. 当 e2y1 时，( )()(e)(ln)XYFyP YyPyP Xyln01e d1yxxy即11,1( )0,1YyyFyy故21,1( )0,1YyyfyyX 的密度函数为fX(x)=)1(12x, 求 Y=13x的密度函数fY(y). 【解】33( )()(1)(1) )YFyP YyPXyP Xy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 25 页24 332(1)(1)311darctg (1)1arctg(1) 2yyxxxy故263(1)( ) 1 (1)Yyfyyt 的时间内发生故障的次数Nt服从参数为 t 的泊松分布 . 1 求相继两次故障之间时间间隔T 的概率分布；2 求在设备已经无故障工作8 小时的情形下， 再无故障运行8 小时的概率Q. 1993研考【解】 1 当 tt与N(t)=0 等价，有( )()1()1( )0)1etTFtP TtP TtP N t即1e,0( )0,0tTtFtt即间隔时间T 服从参数为的指数分布。21688e(16 |8)(16) /(8)eeQP TTP TP TX 的绝对值不大于1，PX= 1=1/8 ，P X=1=1/4. 在事件 1X1 出现的条件下，X 在1，1 内任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比，试求X 的分布函数Fx=PXx. (1997 研考 ) 【解】 显然当 x 1 时 Fx=0；而 x1 时 Fx=1 由题知115( 11)1848PX当 1x1 时，1(| 11)2xP XxX此时( )()F xP Xx(, 11)(,1)(,1)(, 11)(,1)(| 11) ( 11)(1)1 5151(1)288168P XXP Xx XP Xx XP XxXP Xx xP XxXPXP Xxx当 x= 1 时，1( )()(1)8F xP XxP X故 X 的分布函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 25 页25 0,151( )(1),-1x11681,1xF xxx54. 设随机变量X 服从正态分N1,12),Y 服从正态分布N(2,22)，且 P|X-1| P| Y-2|1，试比较1与 2的大小 . (2006 研考 ) 解：依题意11(0,1)XN，22(0,1)YN，则111111XP XP，222211YP YP. 因为1211P XP Y，即11112211XYPP，所以有1211，即12. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 25 页