2022年高一数学必修一总结 .pdf

学习必备欢迎下载必修一精品归纳知识与方法集合的重点内容1集合的三个重要性质： 确定性，互异性，无序性确定性：一个元素属于集合A，或者不属于集合A两者必有一个成立，也就是说一个元素能否属于集合A是明确的互异性：集合中的元素是不会重复的无序性：排列的顺序是不受限制的2. 集合的三种表示方法：列举法，描述法，图示法列举法：只用于有限集合，能一个个列出来的描述法：用于描述集合中的元素具有的共同特征图示法：考试的时候写答案不要写这个蛋疼的玩意儿，这个鬼东西是让你分清元素用的。3. 含有 n 个元素的集合有2 的 n 次方的子集，有2 的 n 次方-1 个真子集，有 2 的 n 次方-2 个非空真子集4. 集合运算的相关概念并集：通俗来讲，就是当求所有集合的相加起来而得到的新集合时，新集合的元素来源于之前集合的所有元素，有相同元素的话只出现一次就好了。举个例子：设A=4，5，6，8，B=3，5， ，7，8，求 AUB 交集：集合与集合之间有相同元素所组成的新集合补集：首先给你一个集合A，它在 全集 U里面，那么处于A 所剩余的 U就叫做 U的补集（用图示法比较容易懂）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页学习必备欢迎下载课本 P13页阅读与思考公式提取：Card（AUB ）=card(A)+card(B)-card(AnB)用来算集合的个数的。集合的内容就讲到这里。函数及其表示现在我们来讲一下函数这个东西。光是第一节就有很多内容了，不要给函数的表示这几个字给骗了，我宁愿叫“函数的所有性质”之类的。前面的映射什么的我们直接省略掉，直接上重点！1. 函数的组成： 一个完整的函数都是有定义域，解析式，值域组成的。注意，值域是由定义域和解析式组成的。做题的时候尤其要考虑定义域！定义域优先考虑，没有它什么都是白搭！2. 现在我们来学习几种 函数解析式 的求法：换元法，消元法待定系数法，赋值法等等等等。 。 。换元法；例一已知 f （x）=x2+x，求 f （x+2）解：把 x+2 当成自变量带进去算就是了， 答案是：f（x+2）=x2+5x+6 例二：已知 f （x+2）=x2+5x+6，求 f （x） 。例三; 已知 f （x+1）=x2+2x-9，求 f （x）配凑法：例四已知 f （x+1）=x+2x，求 f（x）解：原式 =（x）2+2x+1-1=（x+1）2-1 所以 f （x）=x2-1（x1）此题也可以用换元法做（不管那个方法都要考虑定义域，新元的定义域往往会变）待定系数法：例五已知 f（x） 是一元二次函数，若经过原点且 f（x+1）=f （x）+x+1. 求 f （x）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页学习必备欢迎下载解：因为 f(x) 是一元二次函数所以设 f(x) = ax2 + bx + c ( a 0)因为 f(x + 1) = f( x ) + x + 1 a(x + 1)+ b(x + 1) + c = ax+bx+c+x+1 2ax + a + b = x + 1 所以 2a = 1 ,a + b = 1 所以 a = 1/2 ,b = 1/2 又因为 f(0) = 0 所以 c = 0 所以 f(x)=x/2 + x/2 消元法：这种方法实质上就是解函数方程，关键是构造出方程组例六：例七：函数解析式的求法到这里告一段落，接下来我们来看下如何求解函数的值域，函数值域的求法更加多样化，有配方法，判别式法，分离常数法，最值法，换元法，不等式法一大堆我们一一解答精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页学习必备欢迎下载配方法：对可以化成二次函数模型的函数常用这个方法例八：（ 1）y=-2x 2+5x+6 （2）y=-sin 2x-3cosx+3（0,6 ）最值法：利用函数最大值与最小值来判断，代表函数为三角函数。不讲判别式法：实质是方程思想，通过对二次方程的实根的判别求值域。例九：求函数 y=（2x+1）/ （x2-2x+2）的值域解：可得到 yx2-2 （y+1）x+2y-1=0，把这个函数看成是关于x 的二次函数。算 0， 即可以解出值域答案： 3-13/2y3+13/2 详细的内容参照判别式法独立课件与相关练习分离常数法：这种方法多用于分数型函数的值域例十：（ 1）y=(3cosx+1)/(cosx+2)的最值解：y=(3cosx 1)/(cosx 2) y=(3cosx 6)5/(cosx 2) y=35/(cosx 2) 因为：1cosx23则：5/35/(cosx 2)5得：23 5/(cosx 2) 4/3即：y 2，4/3（2）y=2x+3/3x-2 基本不等式法：主要是用于能够化成基本不等式样子的函数，要求熟练掌握基本不等式例十二：（ 1）y=x+1/x （2）y=3x/x 2+4 解第二个：分子分母同时除以x，得到y=3/x+ （4/X）,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页学习必备欢迎下载则当 x0， x+ （4/X） 4； 当 x0的时候，则 x+ （4/X） =-x+(4/-x)-4 所以答案为 -3/4,3/4 图像法： 如果函数的图像比较容易作出，则可根据图像直观的得出函数的值域，尤其是求分段函数的值域，我们结合题目看看现在我们来讲一下函数的单调性，函数单调性， 说白了就是一个函数在某个区间内一直单调递增或者单调递减。证明函数的单调性通常有三种方法：定义法（高一菜鸟级方法），导数法（高二学会高三必备），图像法（此方法只用于题目图比较好做的，看人品）先看一道题目例十一：证明函数f （x）=ax/x 2-1（a0）在（ -1 ，1）上是减函数。方法一（定义法）：设-1 X1X21，则 f （x1）-f （x2）= ax1/x1 2-1- ax2/x22-1= （ax1x22-ax1-ax2x1 2+ax2）/ （x12-1 ）（x22-1 ）=a（x2-x1 ）（x1x2+1）/ （x12-1）（ x22-1 ）因为 -1X1X21，所以 x2-x1 0，x1x2+10， （x12-1） （x22-1 ）0。又 a0，所以命题得证 用定义法证明函数单调性的一般步骤可简单为：设值，作差，变形，定号，作结。变形的目的在于确定差的符号因此变形是最重要的的一个步骤 方法二（导数法）： f (x)=a(x 2-1)-ax （2x）/（x2-1 ）2 =-a（x2+1）/ （x2-1 ）2，显然当 -1x1 时候， f （ x） 0，所以命题已证精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页学习必备欢迎下载这些都是单一函数的求单调性，在高考中求单调性往往，不，绝对是复合函数的单调性求解。下面就来简单讲一下复合函数单调性，详情见 PPT简直呕血制作 。回到单调性的问题上面来，一个复合函数的单调性是由内外层两个函数的单调性决定的，具体口诀是：两个增最后增，两个减最后增，一增一减最后减。什么意思呢。比如： y=log2 （-x 2+2x+5）这样的函数的单调性，由主题函数 y=log2x ，和副函数 y=-x 2+2x+5。由于在不同的区间，两个函数的单调性不同， 所以在这些不同的区间内，该复合函数的单调性也会不一样。 特别注意！ 复合函数的定义域要非常小心结合例题以及练习题， 单调性的内容到此结束。接下来进入奇偶性的内容。函数的奇偶性：一般地，对于函数f(x) 如果对于函数 f(x) 定义域内的任意一个x，都有 f(x)=f(-x）或f(x)/f(-x)=1那么函数 f(x ）就叫做 偶函数 。关于 y 轴对称 ，f （-x ）=f （x）。如果对于函数 f(x) 定义域 内的任意一个 x，都有 f(-x)=-f(x）或f(x)/f(-x)=-1，那么函数 f(x ）就叫做 奇函数 。关于原点对称 ，-f （x）=f（-x ）。如果对于 函数定义域内 的任意一个 x，都有 f(x)=f(-x）和 f(-x)=-f(x），（xR ，且 R关于原点对称 . ）那么函数 f(x ）既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。如果对于 函数定义域 内的存在一个 a，使得 f(a ）f( -a），存在一个 b，使得 f(-b ）-f(b ），那么函数 f(x ）既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数 。定义域互为相反数，定义域必须关于原点对称特殊的， f （x）=0既是奇函数，又是偶函数。说明：奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言。奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性 。（分析：判断函数的奇偶性， 首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x ）比较得出结论）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页学习必备欢迎下载判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义。如果一个奇函数f(x ）在 x=0 处有意义，则这个函数在x=0 处的函数值一定为 0。并且关于 原点对称 。如果函数定义域不关于原点对称或不符合奇函数、偶函数的条件则叫做非奇非偶函数。例如f （x）=x3 【- ，-2】或【0，+】（定义域不关于原点对称）如果函数既符合奇函数又符合偶函数，则叫做既奇又偶函数。例如f （x）=0 注：任意常函数（定义域关于原点对称）均为偶函数，只有f(x)=0是既奇又偶函数对于函数的奇偶性， 高考通常会在选择填空题设置考点，题目的求解往往可根据图像进行判断。要求对奇偶性的概念及其特点熟练掌握。结合例题和题目进入周期性的内容周期性：一 定义：若 T为非零常数，对于定义域内的任一x， 使)()(xfTxf恒成立则f(x)叫做周期函数， T叫做这个函数的一个周期。二重要结论1、 fxfxa ，则 yfx 是以Ta为周期的周期函数；2、若函数 y=f(x) 满足 f(x+a)=-f(x)(a0), 则 f(x) 为周期函数且 2a 是它的一个周期。3、若函数 fxafxa ，则xf是以2Ta为周期的周期函数4、y=f(x) 满足 f(x+a) =xf1 (a0),则 f(x) 为周期函数且 2a 是它的一个周期。5、 若函数 y=f(x) 满足 f(x+a) = xf1(a0), 则 f(x) 为周期函数且 2a 是它的一个周期。6、1( )()1( )f xf xaf x，则xf是以2Ta为周期的周期函数 . 7、1( )()1( )f xf xaf x，则xf是以4Ta为周期的周期函数 . 8、若函数 y=f(x) 满足 f(x+a) = )(1)(1xfxf(x R，a0), 则 f(x) 为周期函数且4a是它的一个周期。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页学习必备欢迎下载9、若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(ba)都对称 , 则f(x)为周期函数且 2（b-a）是它的一个周期。10、函数( )yf xxR 的图象关于两点0,A a y、0,B b yab 都对称，则函数( )f x是以 2 ba 为周期的周期函数；11、函数( )yf xxR 的图象关于0,A a y和直线xbab 都对称，则函数( )f x是以 4 ba 为周期的周期函数；12、若偶函数 y=f(x) 的图像关于直线x=a对称，则 f(x) 为周期函数且 2 a 是它的一个周期。13、若奇函数 y=f(x) 的图像关于直线x=a 对称，则 f(x) 为周期函数且 4 a 是它的一个周期。14、若函数 y=f(x) 满足 f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a0), 则 f(x) 为周期函数 ,6a 是它的一个周期。15、若奇函数 y=f(x) 满足 f(x+T)=f(x)(x R，T0), 则 f(2T) =0. 基本初等函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页