2022年高一数学期末复习讲义 .pdf
高一数学期末复习讲义4 平面向量1 知识点 1 平面向量基本概念1、设四边形ABCD 中，有12DCAB且|AD| |BC，则这个四边形是_答案： 等腰梯形知识点 2向量的线性表示2、平行四边形OADB 的对角线交点为C，BM13BC，CN13CD，OAa，OBb，用 a、b 表示 OM、ON、MN. 解：BA ab，BM16BA16a16b，OMOBBM16a56b.ODa b，ONOCCN12OD16OD23OD23a23b.MNONOM12a16b. 知识点 3共线向量3、设两个非零向量a 与 b 不共线(1) 假设 ABab，BC2a8b，CD3(ab)求证： A、B、D 三点共线；(2) 试确定实数k，使 kab 和 akb 共线(1) 证明 ： ABab，BC2a8b，CD3(ab)，BDBCCD2a8b3(ab)5(ab)5AB.AB、BD共线又它们有公共点B，A、B、D 三点共线(2) 解：kab 与 akb 共线，存在实数 ，使 kab ( akb)，即(k)a( k1)b.又 a、b 是两不共线的非零向量，k k10.k210.k 1. 练习P在直线 MN 上，且PNMP2,假设PNMP,则_. 2.已知 ABC 中，点 D、E 分别为边 AC、AB 上的点，且DA 2CD，EB 2AE，假设 BCa，CAb，则以 a、b 为基底表示 DE_答案：13b13a解析 ：由题知 ABCB CA ab，DE DAAE23CA13AB23b13a13b13b13a. 3. 设 D、E 分别是 ABC 的边 AB 、BC 上的点， AD 12AB，BE23DC，假设 DE1AB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页2AC( 1、2为实数 )，则12_答案：12解析： DEDBBE12AB23BC12AB23(ACAB)16AB23AC1AB2AC，故 116，223，则 1212. 4. 已知 e1与 e2是两个不共线向量， AB 3e12e2， CB2e15e2， CD e1e2.假设三点A、B、D 共线，则_答案： 8解析： A、B、D 共线， AB与BD共线， 存在实数 ，使AB BD. BDCDCB( 2)e1 4e2，3e12e2( 2)e14 e2， 2 3，4 2， 12， 8.高一数学期末复习讲义5 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页平面向量2 知识点 1 向量的坐标运算1、已知 A( 2，4)，B(3， 1)，C( 3， 4)，设 ABa，BCb，CAc，且CM 3c，CN 2b. (1) 求 3ab3c；(2) 求满足 amb nc 的实数 m、n；(3) 求 M、N 的坐标及向量MN的坐标解： 由已知得 a(5， 5)，b(6， 3)，c(1，8)(1) 3a b3c3(5，5)( 6，3)3(1，8)(15 63，15324) (6， 42)(2) mbnc (6mn， 3m8n)(5， 5)，6m n5，3m 8n 5，解得m 1，n 1.(3) 设 O 为坐标原点，CM OM OC3c， OM3cOC(3，24)( 3， 4) (0， 20)， M 的坐标为 (0，20)又CNONOC 2b， ON 2bOC(12，6)( 3， 4) (9，2)， N 的坐标为 (9，2)， MN(90，220) (9， 18)知识点 2向量平行与垂直2、已知平面向量a(1，x)，b(2x3， x)，x R. (1) 假设 ab，求 x 的值；(2) 假设 ab，求 |a b|的值解： (1) 假设 ab，则 a b(1，x) (2x3， x)1(2x3)x( x) 0，整理得 x22x30，解得 x 1 或 x 3.(2) 假设 ab，则有 1(x)x(2x 3)0，即 x(2x4)0，解得 x0 或 x 2.当 x0 时， a(1，0)，b (3，0)，ab(2，0)，|ab| 22022；当 x 2 时， a(1， 2)，b(1，2)，ab (2， 4)，|ab|22 4225.综上，可知 |ab|2 或 2 5. 知识点 3向量的夹角与向量的模3、已知 |a|4，|b|3， (2a3b) (2a b)61.(1) 求 a 与 b 的夹角 ；(2) 求 |a b|；(3) 假设 AB a，BCb，求 ABC 的面积解：(1) (2a3b) (2ab)61，4|a|24a b3|b|261.又|a|4， |b|3，644a b27 61，a b 6.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页cosa b|a|b|64312.又 0 ，23.(2) 可先平方转化为向量的数量积|a b|2(ab)2|a|22a b|b|2422(6)3213，|ab|13.(3) AB与BC的夹角 23，ABC 233.又|AB|a|4，|BC|b|3，SABC12|AB|BC|sinABC 12433233. 知识点 4 坐标法解题4、如图，在矩形ABCD中，22ABBC，点E为BC的中点，点F在边CD上，假设2ABAF，则AEBF的值是【答案】2【解析】以 A 为坐标原点， AB 所在直线为x轴， AD 所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则(2,0),(2, 2),(0,2),(2,1)BCDE，设( ,2)F x，则( 2,0),( ,2)ABAFx，22,1AB AFxx，(2,1),(12, 2)AEBF，2(12)122AE BF练习：1. 假设向量a(2，3)， b(x， 9)，且 ab，则实数x_答案： 62. 已知向量a、b 满足 |a|1，|b| 4，且 a b2，则 a 与 b 的夹角为 _答案：3解析 ：cosa，ba b|a|b|12，a，b3. 3. 假设向量 BA(2，3)，CA(4，7)，则 BC_答案： (2， 4) 解析 ：BCBA ACBACA(2， 4)4已知向量(1. 1),(2,)abx.假设1a b, 则x【答案】 1 5.已知向量 a(1， 2)， b(2， 0)， 假设向量 a b与向量 c (1， 2)共线， 则实数 _答案： 1解析 ： ab( 2，2 )，向量 ab 与向量 c(1， 2)共线，( 2)( 2)2 1，解得 1. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页6. 已知四边形ABCD 的三个顶点A(0 ，2)，B(1，2)，C(3，1)，且BC2AD，则顶点 D的坐标为 _答案：2，72解析 ： 设 D(x ， y)， 则由 BC2AD， 得(4， 3)2(x， y2)， 得2x 4，2y2 3，解得x2，y72.7.在平行四边形ABCD 中， AC 为一条对角线， 假设 AB(2， 4)， AC (1， 3)， 则BD _答案： (3， 5) 解析： 由题意，得 BDADABBC AB(ACAB) ABAC2AB(1， 3)2(2，4)(3， 5)8. 设向量 a(3，3)，b(1， 1)假设 (a b) (a b)，则实数 _答案： 3解析： 因为 a b (3 ，3)，a b(3 ，3)，又 (a b)(a b)，所以 (a b) (a b)(3)(3 )(3)(3 )0，解得 3. 9. 已知向量a，b 满足 |a|1，|b| 2，a 与 b 的夹角为 60 ，则 |ab|_答案：3解析 ：|ab|ab2a2b22a b1222212cos603. 10. 已知两个单位向量e1、e2的夹角为3，假设向量b1e12e2，b23e14e2，则 b1b2_答案： 6解析 ：b1e12e2，b23e1 4e2，则b1b2(e1 2e2) (3e14e2) 3e212e1e28e22.因为 e1、e2为单位向量， e1，e23，所以 b1 b23 2128318 6. 11.已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AE BD【答案】 2 【解析】在正方形中，12AEADDC,BDBAADADDC,所以22221111() ()2222222AE BDADDCADDCADAD DCDC. 12已知向量,a b夹角为45，且1, 210aab,则b【答案】3 2【解析】210ab，2(2)10ab，224410aa bb?,即104422?bbaa，2044cos4510bb，整理得06222bb，解得23b或2-b舍去 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页
