2022年高中数学圆的方程典型例题 .pdf

高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程例 1 求过两点、且圆心在直线上的圆的标准方程并判断点与圆的关系解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过、两点，所以圆心必在线段的垂直平分线上，又因为，故的斜率为 1，又的中点为，故的垂直平分线的方程为：即又知圆心在直线上，故圆心坐标为半径故所求圆的方程为又点到圆心的距离为点在圆外例 2 求半径为4，与圆相切，且和直线相切的圆的方程解：则题意，设所求圆的方程为圆圆与直线相切，且半径为4，则圆心的坐标为或又已知圆的圆心的坐标为，半径为 3若两圆相切，则或(1)当时，或(无解 )，故可得所求圆方程为，或(2)当时，或(无解 )，故所求圆的方程为，或例 3 求经过点，且与直线和都相切的圆的方程解：圆和直线与相切，圆心在这两条直线的交角平分线上，又圆心到两直线和的距离相等两直线交角的平分线方程是或又圆过点，圆心只能在直线上设圆心到直线的距离等于，化简整理得解得：或圆心是，半径为或圆心是，半径为所求圆的方程为或)4,1 (A)2,3(B0y)4,2(P222)()(rbyax)4,1 (A)2,3(BCABl13124ABklAB)3,2(ABl23xy01yx0y)0,1(C204) 11(22ACr20)1(22yx)4,2(P)0,1(CrPCd254)12(22P042422yxyx0y222)()(rbyaxC：C0yC)4,(1aC)4,(2aC042422yxyxA)1,2(734CA134CA)4,(1aC2227) 14()2(a2221) 14()2(a1022a2224)4()1022(yx2224)4()1022(yx)4,(2aC2227) 14()2(a2221) 14()2(a622a2224)4()622(yx2224)4()622(yx)5,0(A02yx02yx02yx02yxC02yx02yx5252yxyx03yx03yx)5,0(AC03yx)3,(ttCC02yxAC22)53(532tttt0562tt1t5t)3,1(5)15,5(555)3() 1(22yx125)15()5(22yx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例 4已知圆，求过点与圆相切的切线解 ： 点不 在 圆上 ， 切 线的 直 线 方 程 可 设 为根 据解得所以即因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在易求另一条切线为说明： 上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0 解（也要注意漏解） 还可以运用，求出切点坐标、的值来解决，此时没有漏解例 5 两圆与相交于、两点，求它们的公共弦所在直线的方程分析： 首先求、两点的坐标，再用两点式求直线的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧解： 设两圆、的任一交点坐标为，则有：得：、的坐标满足方程 方程是过、两点的直线方程又过、两点的直线是唯一的两圆、的公共弦所在直线的方程为例 6、过圆122yx外一点)3 ,2(M，作这个圆的两条切线MA、MB，切点分别是A、B，求直线AB的方程。类型三：弦长、弧问题例 7、求直线063:yxl被圆042:22yxyxC截得的弦AB的长 . 例 8、直线0323yx截圆422yx得的劣弧所对的圆心角为解：依题意得，弦心距3d，故弦长2222drAB，从而 OAB 是等边三角形，故截得的劣弧所对的圆心角为3AOB. 例 9、求两圆0222yxyx和522yx的公共弦长类型四：直线与圆的位置关系例 10、若直线mxy与曲线24xy有且只有一个公共点，求实数m的取值范围 . 解：曲线24xy表示半圆)0(422yyx，利用数形结合法，可得实数m的取值范围是22m或22m. 422yxO：42，PO42，POPT42xkyrd21422kk43k4243xy01043yx2x200ryyxx0 x0y0111221FyExDyxC：0222222FyExDyxC ：ABABABAB1C2C),(00yx0101012020FyExDyx0202022020FyExDyx0)()(21021021FFyEExDDAB0)()(212121FFyEExDD0)()(212121FFyEExDDABAB1C2CAB0)()(212121FFyEExDD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页例 11 圆上到直线的距离为 1 的点有几个？分析： 借助图形直观求解或先求出直线、的方程，从代数计算中寻找解答解法一：圆的圆心为， 半径 设圆心到直线的距离为，则如图，在圆心同侧，与直线平行且距离为1 的直线与圆有两个交点，这两个交点符合题意又与直线平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意符合题意的点共有3 个解法二：符合题意的点是平行于直线，且与之距离为1 的直线和圆的交点设所求直线为，则，即，或，也即，或 设圆的圆心到直线、的距离为、， 则，与相切，与圆有一个公共点；与圆相交，与圆有两个公共点即符合题意的点共3 个类型五：圆与圆的位置关系例 12：圆0222xyx和圆0422yyx的公切线共有条。解：圆1) 1(22yx的圆心为)0 , 1(1O，半径11r，圆4)2(22yx的圆心为)2, 0(2O，半径22r，1, 3,5122121rrrrOO.212112rrOOrr，两圆相交.共有 2 条公切线。例13 ： 若 圆042222mmxyx与 圆08442222mmyxyx相 切 ， 则 实 数m的 取 值 集 合是. 解：圆4)(22ymx的圆心为)0,(1mO，半径21r，圆9)2()1(22myx的圆心为)2, 1(2mO，半径32r，且两圆相切，2121rrOO或1221rrOO，5)2() 1(22mm或1)2() 1(22mm，解9) 3()3(22yx01143yx1l2l9)3() 3(22yx)3,3(1O3r1O01143yxd324311343322d1O01143yx1l123dr01143yx01143yx043myx1431122md511m6m16m06431yxl ：016432yxl ：9)3()3(221yxO：1l2l1d2d34363433221d143163433222d1l1O1O2l1O1O精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页得512m或2m，或0m或25m，实数m的取值集合是2, 0,25,512. 例 14：求与圆522yx外切于点)2 ,1(P，且半径为52的圆的方程 . 解：设所求圆的圆心为),(1baO，则所求圆的方程为20)()(22byax.两圆外切于点P，131OOOP，),(31)2, 1(ba，6,3 ba，所求圆的方程为20)6()3(22yx. 类型六：圆中的对称问题例 15、圆222690 xyxy关于直线250 xy对称的圆的方程是例 16自点发出的光线射到轴上， 被轴反射， 反射光线所在的直线与圆相切（1）求光线和反射光线所在的直线方程（2）光线自到切点所经过的路程称关系，首先求出点的对称分析、略解：观察动画演示，分析思路根据对点的坐标为，其次设过的圆的切线方程为根据，即求出圆的切线的斜率为或进一步求出反射光线所在的直线的方程为或最后根据入射光与反射光关于轴对称，求出入射光所在直线方程为或光路的距离为，可由勾股定理求得类型七：圆中的最值问题例 17：圆0104422yxyx上的点到直线014yx的最大距离与最小距离的差是解：圆18)2()2(22yx的圆心为（ 2，2） ，半径23r，圆心到直线的距离rd25210，直线与圆相离，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是262)()(rrdrd. 例 18(1)已知圆，为圆上的动点，求的最大、最小值(2)已知圆，为圆上任一点求的最大、最小值，求的最大、最小值33 ，Alxx074422yxyxC：lAAA33，AC33xkyrdC34k43k0334yx0343yxx0334yx0343yxMA7222CMCAMA1)4()3(221yxO：),(yxPO22yxd1)2(222yxO ：),(yxP12xyyx2G O B N M y A x 图C A精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页解： (1)(法 1)由圆的标准方程可设圆的参数方程为（是参数）则（ 其 中） 所以，(法 2)圆上点到原点距离的最大值等于圆心到原点的 距 离加 上 半 径1， 圆 上 点 到 原 点 距 离 的 最 小 值等 于 圆 心 到 原 点 的 距 离减 去 半 径1 所 以所以(2) (法 1)由得圆的参数 方 程 ：是 参 数 则 令， 得， 所以，即的最大值为， 最小值为 此时 所以的最大值为，最小值为 (法 2)设，则由于是圆上点，当直线与圆有交点时，如图所示，两条切线的斜率分别是最大、最小值由，得所以的最大值为，最小值为令，同理两条切线在轴上的截距分别是最大、最小值由，得所以的最大值为，最小值为例 19：已知)0, 2(A，)0, 2(B，点P在圆4)4()3(22yx上运动，则22PBPA的最小值是. 解 ： 设),(yxP， 则828)(2)2()2(222222222OPyxyxyxPBPA.设 圆 心 为)4 , 3(C， 则325mi nrOCOP，22PBPA的最小值为268322. 类型八：轨迹问题例 20、基础训练：已知点M与两个定点)0,0(O，)0,3(A的距离的比为21，求点M的轨迹方程 . 例 21、已知线段AB的端点B的坐标是（ 4，3） ，端点A在圆4)1(22yx上运动，求线段AB的中点M的轨迹1)4()3(22yx,sin4,cos3yx2222sinsin816coscos69yxd)cos(1026sin8cos62634tan361026maxd161026mind1d1d2d1d6143221d4143222d36maxd16mind1)2(22yx,sin,cos2yx3cos2sin12xyt3cos2sintt32cossintt32)sin(121)sin(1322tt433433t433maxt433mint12xy433433)cos(52sin2cos22yxyx25252kxy1202kykx),(yxP11222kkkd433k12xy433433tyx2x152md52myx25252精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页方程 . 例 22 如图所示， 已知圆与轴的正方向交于点，点在直线上运动， 过做圆的切线，切点为，求垂心的轨迹分析：按常规求轨迹的方法，设， 找的关系非常难 由于点随，点运动而运动， 可考虑，三点坐标之间的关系解： 设， 连结， 则，是切线， 所以， 所 以 四 边 形是 菱 形 所 以， 得又满 足，所以即是所求轨迹方程例 22 已知圆的方程为，圆内有定点，圆周上有两个动点、，使，求矩形的顶点的轨迹方程解法一： 如图，在矩形中，连结，交于，显然，在直角三角形中，若设，则由， 即， 也即，这便是的轨迹方程 解法二： 设、，则，所以即是所求轨迹方程例 23 已知圆的方程为，圆内有定点，圆周上有两个动点、，使，求矩形的顶点的轨迹方程解法一： 如图，在矩形中，连结，交于，显然，422yxO：yAB2yBOCABCH),(yxHyx ,HBCHBC),(yxH),(yxCAHCHBCAHABCHBCBCOCAHOC /OACH /OCOAAOCH2OACH.,2xxyy),(yxC422yx)0(4)2(22xyx222ryx),(baPABPBPAAPBQQAPBQABPQMABOMPQABAOM),(yxQ)2,2(byaxM222OAAMOM22222)()(41)2()2(rbyaxbyax)(222222baryxQ),(yxQ),(11yxA),(22yxB22121ryx)0(4)2(22xyx222ryx),(baPABPBPAAPBQQAPBQABPQMABOMPQAB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页在直角三角形中，若设，则由，即，也即，这便是的轨迹方程解法二： 设、，则类型九：圆的综合应用例 24、 已知圆与直线相交于、两点，为原点，且，求实数的值分析： 设、两点的坐标为、，则由，可得，再利用一元二次方程根与系数的关系求解或因为通过原点的直线的斜率为，由直线与圆的方程构造以为未知数的一元二次方程，由根与系数关系得出的值，从而使问题得以解决解法一： 设点、的坐标为、一方面，由，得，即，也即：另 一 方 面 ，、是 方 程 组的 实 数 解 ， 即、是 方 程的两个根 ， 又、在直线上，将代入， 得将、 代入，解得，代入方程，检验成立， 解法二：由直线方程可得，代入圆的方程，有，整理，得由于，故可得AOM),(yxQ)2,2(byaxM222OAAMOM22222)()(41)2()2(rbyaxbyax)(222222baryxQ),(yxQ),(11yxA),(22yxB22121ryx0622myxyx032yxPQOOQOPmPQ),(11yx),(22yx1OQOPkk02121yyxxxylxyOQOPkkPQ),(11yx),(22yxOQOP1OQOPkk12211xyxy02121yyxx),(11yx),(22yx0603222myxyxyx1x2x02741052mxx221xx527421mxxPQ032yx)(3941)3(21)3(2121212121xxxxxxyy51221myy3m03myx230622myxyx0)2(9)6)(2(31222yxmyxyxyx0)274() 3(4)12(22ymxymxm0 x012)3(4)(274(2mxymxym精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页，是上述方程两根故得，解得经检验可知为所求例 25、已知对于圆上任一点，不等式恒成立，求实数的取值范围分析一： 为了使不等式恒成立， 即使恒成立，只须使就行了 因此只要求出的最小值，的范围就可求得解法一： 令，由得：且，即，即又恒成立即恒成立成立，分析二：设圆上一点因为这时点坐标满足方程问题转化为利用三解问题来解解法二： 设圆上任一点，恒成立即恒成立只须不小于的最大值设即说 明 ： 在 这 种 解 法 中 ， 运 用 了 圆 上 的 点 的 参 数 设 法 一 般 地 ， 把 圆上 的 点 设 为OPkOQk1OQOPkk127412mm3m3m1) 1(22yx),(yxP0myxm0myxmyxmyxmin)(yxmyxu1)1(22yxuyx0)1(2222uyuy0228) 1(4uu0)12(42uu0)122uu2121u21minu21)(minyx0myxmyxmyx21)(min12m)sin1,(cosPP1) 1(22yx1) 1(22yx)sin1,(cosP)2,0cosxsin1y0myx0sin1cosm)sincos1(mm)sincos1(1)4sin(21)cos(sinu12maxu12m222)()(rbyax精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页()采用这种设法一方面可减少参数的个数，另一方面可以灵活地运用三角公式从代数观点来看，这种做法的实质就是三角代换)sin,cos(rbra)2,0精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页