2022年高中数学函数解题技巧方法总结 .pdf

学习必备欢迎下载高中数学函数知识点总结1. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法则、值域）相同函数的判断方法：表达式相同；定义域一致 ( 两点必须同时具备 ) 2. 求函数的定义域有哪些常见类型？例：函数的定义域是yxxx432lg（答：，）022334函数定义域求法：分式中的分母不为零；偶次方根下的数（或式）大于或等于零；指数式的底数大于零且不等于一；对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。正切函数xytankkxRx,2,且余切函数xycotkkxRx,且反三角函数的定义域函数 yarcsinx的定义域是 1, 1 ，值域是，函数 yarccosx 的定义域是 1, 1 ，值域是 0, ， 函数 yarctgx的定义域是 R ， 值域是. ， 函数 yarcctgx的定义域是 R ，值域是 (0, ) . 当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。3. 如何求复合函数的定义域？的定，则函数，的定义域是如：函数)()()(0)(xfxfxFabbaxf义域是 _ 。（答：，）aa复合函数定义域的求法： 已知)(xfy的定义域为nm,，求)(xgfy的定义域，可由nxgm)(解出 x 的范围，即为)(xgfy的定义域。例若函数)(xfy的定义域为2,21，则)(log2xf的定义域为。分析： 由函数)(xfy的定义域为2,21可知：221x；所以)(log2xfy中有2log212x。解：依题意知：2log212x解之，得42x)(log2xf的定义域为42|xx4、函数值域的求法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 19 页学习必备欢迎下载1、直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例 求函数 y=x1的值域2、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例、求函数 y=2x-2x+5，x-1 ，2 的值域。3、判别式法对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂.112.22222222ba y型：直接用不等式性质k+xbxb. y型, 先化简，再用均值不等式xmxnx1例： y1+xx+xxmxnc y型 通常用判别式xmxnxmxnd. y型xn法一：用判别式法二：用换元法，把分母替换掉xx1 （x+1） （x+1） +1 1例： y（x+1）1211x1x1x14、反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例 求函数 y=6543xx值域。5、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。例 求函数 y=11xxee，2sin11siny，2sin11cosy的值域。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 19 页学习必备欢迎下载222110112sin11| sin| | 1,1sin22sin12sin1(1cos )1cos2sincos114sin()1,sin()41sin()114即又由知解不等式，求出，就是要求的答案xxxeyyeyeyyyyyyyyyxyxyyxyy6、函数单调性法通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容例求函数 y=25xlog31x（2x10）的值域7、换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。例 求函数 y=x+1x的值域。8 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。例：已知点 P（x.y ）在圆 x2+y2=1上，2,(2),2(,20, (1)的取值范围 (2)y-2的取值范围解:(1) 令则是一条过 (-2,0)的直线 . d为圆心到直线的距离 ,R为半径 ) (2)令y-2即也是直线 d dyxxykyk xxR dxbyxbR例求函数 y=)2(2x+)8(2x的值域。解：原函数可化简得： y=x-2 +x+8上式可以看成数轴上点P（x）到定点 A（2） ，B（-8）间的距离之和。由上图可知：当点 P 在线段 AB上时，y=x-2 +x+8=AB =10 当点 P在线段 AB的延长线或反向延长线上时，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 19 页学习必备欢迎下载y=x-2 +x+8 AB =10 故所求函数的值域为： 10 ，+）例求函数 y=1362xx+ 542xx的值域解：原函数可变形为： y=)20()3(22x+) 10()2(22x上式可看成 x 轴上的点 P（x，0）到两定点 A （3，2） ，B（-2 ，-1）的距离之和，由图可知当点 P为线段与 x 轴的交点时， ymin=AB =) 12()23(22=43，故所求函数的值域为 43，+） 。注：求两距离之和时，要将函数9 、不等式法利用基本不等式 a+b2ab，a+b+c3abc3（a，b，cR） ，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例：33()13()32x (3-2x)(0 x1.5)xx+3-2x =xx (3-2x) (应用公式abc时，应注意使3者之和变成常数）abc10. 倒数法有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况例求函数 y=32xx的值域332(0)11113333222x =xx (应用公式a+b+c时，注意使者的乘积变成常数）xxxxxxabc精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 19 页学习必备欢迎下载2320121112202222012时，时， =00 xyxxxxyyxxxyy多种方法综合运用总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。5. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？切记：做题，特别是做大题时，一定要注意附加条件，如定义域、单位等东西要记得协商，不要犯我当年的错误，与到手的满分失之交臂如：，求fxexf xx1( ).令，则txt10 xt21f tett( )2121f xexxx( )212106. 反函数存在的条件是什么？（一一对应函数）求反函数的步骤掌握了吗？（反解 x；互换 x、y；注明定义域）如：求函数的反函数f xxxxx( )1002（答：）fxxxxx1110( )在更多时候，反函数的求法只是在选择题中出现，这就为我们这些喜欢偷懒的人提供了大方便。请看这个例题：(2004. 全国理 )函数) 1( 11xxy的反函数是（ B ）Ay=x22x+2(x1) By=x22x+2(x1) Cy=x22x ( x=1. 排除选项 C,D.现在看值域。原函数至于为y=1, 则反函数定义域为 x=1, 答案为 B. 我题目已经做完了，好像没有动笔（除非你拿来写*书） 。思路能不能明白呢？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 19 页学习必备欢迎下载7. 反函数的性质有哪些？反函数性质：1、反函数的定义域是原函数的值域（可扩展为反函数中的x 对应原函数中的y）2、反函数的值域是原函数的定义域（可扩展为反函数中的y 对应原函数中的 x）3、反函数的图像和原函数关于直线=x 对称（难怪点（ x,y ）和点（ y，x）关于直线 y=x 对称互为反函数的图象关于直线yx 对称；保存了原来函数的单调性、奇函数性；设的定义域为，值域为，则yf(x)ACaAbCf(a) = bf1( )baff afbaf fbf ab111( )( )( )( )，由反函数的性质，可以快速的解出很多比较麻烦的题目，如（04. 上海春季高考）已知函数)24(log)(3xxf，则方程4)(1xf的解x_. 8 . 如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负）判断函数单调性的方法有三种：(1) 定义法：根据定义，设任意得x1,x2，找出 f(x1),f(x2)之间的大小关系可以变形为求1212()()f xf xxx的正负号或者12()()f xf x与 1 的关系(2) 参照图象：若函数 f(x) 的图象关于点 (a， b)对称，函数 f(x) 在关于点 (a， 0)的对称区间具有相同的单调性；（特例：奇函数）若函数 f(x) 的图象关于直线xa 对称，则函数 f(x) 在关于点 (a，0)的对称区间里具有相反的单调性。 （特例：偶函数）(3) 利用单调函数的性质：函数 f(x) 与 f(x) c(c 是常数 )是同向变化的函数 f(x) 与 cf(x)(c是常数 ) ，当 c0 时，它们是同向变化的；当c0 时，它们是反向变化的。如果函数 f1(x) ，f2(x) 同向变化，则函数f1(x) f2(x) 和它们同向变化；（函数相加）如果正值函数 f1(x) ，f2(x) 同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们同向变化；如果负值函数f1(2) 与f2(x) 同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们反向变化；（函数相乘）函数 f(x) 与1( )fx在 f(x) 的同号区间里反向变化。若函数 u(x) ，x ， 与函数 yF(u) ，u ( ) ，( ) 或 u ( ), () 同向变化，则在 ， 上复合函数 yF (x) 是递增的；若函数u(x),x， 与函数 yF(u) ，u ( ) ，( ) 或 u ( ) ，( ) 反向变化，则在 ， 上复合函数 yF(x) 是递减的。 （同增异减）若函数 yf(x) 是严格单调的，则其反函数xf1(y) 也是严格单调的，而且，它们的增减性相同。如：求的单调区间yxxlog1222f(g) g(x) fg(x) f(x)+g(x) f(x)*g(x) 都是正数增增增增增增减减/ / 减增减/ / 减减增减减精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 19 页学习必备欢迎下载（设，由则uxxux22002且，如图：log12211uuxu O 1 2 x 当，时，又，xuuy(log0112当，时，又，xuuy)log1212）9. 如何利用导数判断函数的单调性？在区间，内，若总有则为增函数。（在个别点上导数等于abfxf x( )( )0零，不影响函数的单调性），反之也对，若呢？fx( )0如：已知，函数在，上是单调增函数，则的最大af xxaxa013( )值是（） A. 0 （令 fxxaxaxa()333302则或xaxa33由已知在，上为增函数，则，即f xaa( )1313a 的最大值为 3）10. 函数 f(x) 具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？（f(x) 定义域关于原点对称）若总成立为奇函数函数图象关于原点对称fxf xf x()( )( )若总成立为偶函数函数图象关于轴对称fxf xf xy()( )( )注意如下结论：（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。（ ）若是奇函数且定义域中有原点，则。2f(x)f(0)0如：若为奇函数，则实数f xaaaxx( )2221（为奇函数，又，f xxRRf( )( )000精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 19 页学习必备欢迎下载即，）aaa22210100又如：为定义在，上的奇函数，当，时，f xxf xxx( )()()( )1101241求在，上的解析式。f x( )11（令，则，xxfxxx1001241()又为奇函数，f xf xxxxx( )( )241214又，）ff xxxxxxxx( )( )()002411002410111. 判断函数奇偶性的方法一、定义域法一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件. 若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数. 二、奇偶函数定义法在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算)( xf，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性. 这种方法可以做如下变形f(x)+f(-x) =0 奇函数f(x)-f(-x)=0 偶函数f(x)1 偶函数f(-x)f(x)1 奇函数f(-x)三、复合函数奇偶性12. 你熟悉周期函数的定义吗？（若存在实数（），在定义TT0函数， T是一个周期。）如：若，则f xaf x( )f(g) g(x) fg(x) f(x)+g(x) f(x)*g(x) 奇奇奇奇偶奇偶偶非 奇 非偶奇偶奇偶非 奇 非偶奇偶偶偶偶偶精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 19 页学习必备欢迎下载（答：是周期函数，为的一个周期）f xTaf x( )( )2我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况：告诉你f(x)+f(x+t)=0,我们要马上反应过来，这时说这个函数周期 2t. 推导：()()0()(2 )()(2 )0fxfxtfxfxtfxtfxt，同时可能也会遇到这种样子： f(x)=f(2a-x),或者说 f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样一个意思： 函数f(x) 关于直线对称，对称轴可以由括号内的2 个数字相加再除以2 得到。比如， f(x)=f(2a-x),或者说 f(a-x)=f(a+x)就都表示函数关于直线x=a对称。如：( )()()()()( )(2)(2)(2)( )(2)2,222 ,( )(22 )( )(22 ),( )2|(,f xxaxbf axf axf bxf bxf xfaxfaxfbxf xfbxtaxbxtba f tf tbaf xf xbaf xbaa b又如：若图象有两条对称轴，即，令则即所以 函数以为周期 因不知道的大小关系为保守起见 我加了一个绝对值13. 你掌握常用的图象变换了吗？f xfxy( )()与的图象关于轴 对称联想点（ x,y ）,(-x,y) f xf xx( )( )与的图象关于轴 对称联想点（ x,y ）,(x,-y) f xfx( )()与的图象关于 原点 对称联想点（ x,y ）,(-x,-y) f xfxyx( )( )与的图象关于 直线对称1联想点（ x,y ）,(y,x) f xfaxxa( )()与的图象关于 直线对称2联想点（ x,y ）,(2a-x,y) f xfaxa( )()()与的图象关于 点，对称20联想点（ x,y ）,(2a-x,0) 将图象左移个单位右移个单位yf xa aa ayf xayf xa( )()()()()00上移个单位下移个单位b bb byf xabyf xab()()()()00（这是书上的方法，虽然我从来不用，但可能大家接触最多，我还是写出来吧。对于这种题目，其实根本不用这么麻烦。 你要判断函数 y-b=f(x+a) 怎么由 y=f(x) 得到，可以直接令 y-b=0,x+a=0, 画出点的坐标。 看点和原点的关系，就可以很直观的看出函数平移的轨迹了。）注意如下“翻折”变换：( )|( ) |x( )(|)yf xf xf xfx把 轴下方的图像翻到上面把 轴右方的图像翻到上面如： f xx( )log21作出及的图象yxyxloglog2211精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 19 页学习必备欢迎下载y y=log2x O 1 x 14. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？(k0) y=b O (a,b)O x x=a （ ）一次函数：10ykxb k(k 为斜率， b 为直线与 y 轴的交点 ) （）反比例函数：推广为是中心，200ykxkybkxakO ab()的双曲线。（ ）二次函数图象为抛物线30244222yaxbxc aa xbaacba顶点坐标为，对称轴baacbaxba24422开口方向：，向上，函数ayacba0442minayacba0442，向下，max1212122,|bxabcxxxxxxaaa根的关系：2212121212( )()( )()(mn( )()()(,2( )()()(, )(, )f xaxbxcf xa xmnf xa xxxxxxf xa xxxxhx hx h二次函数的几种表达形式：一般式顶点式，（， ）为顶点是方程的个根）函数经过点（应用：“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系二次方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 19 页学习必备欢迎下载axbxcxxyaxbxcx212200，时，两根、为二次函数的图象与轴的两个交点，也是二次不等式解集的端点值。axbxc200()求闭区间 m ，n上的最值。2max(),min( )2max( ),min()2224min,maxmax(),( )4m,n0bnff mff nabmff nff mabnmacbafff mf naa区间在对称轴左边（）区间在对称轴右边（）区间在对称轴边 （）也可以比较和对称轴的关系， 距离越远，值越大( 只讨论的情况）求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。一元二次方程根的分布问题。如：二次方程的两根都大于axbxckbakf k20020( )y (a0) O k x1x2x 一根大于，一根小于kkf k( )00mn22()0( )0mn()( )0bmnaf mf nf m f n在区间（， ）内有 根在区间（， ）内有 1根（ ）指数函数：，401yaaax（ ）对数函数，501yx aaalog由图象记性质！（注意底数的限定！）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 19 页学习必备欢迎下载y O x kky y=ax(a1) (0a1) 1 O 1 x (0a0 且 a1）-f （xy）f （x）f （y） ；f （yx） f （x）f （y）5.三角函数型的抽象函数f （x）t gx-f （xy）)()(1)()(yfxfyfxff （x）cot x-f （xy）)()(1)()(yfxfyfxf例 1 已知函数 f （x）对任意实数 x、y 均有 f （xy）f （x）f （y） ，且当 x0时，f ( x)0，f (1) 2 求 f ( x)在区间 2,1 上的值域 . 分析：先证明函数 f （x）在 R上是增函数（注意到f （x2）f （x2x1）x1 f （x2x1）f（x1） ） ；再根据区间求其值域 . 例 2 已知函数 f（x）对任意实数 x、y 均有 f （xy）2f（x）f（y） ，且当 x0 时，f ( x)2，f (3) 5 ，求不等式f （a22a2）0,xN；f（ab） f （a）f （b） ，a、bN；f （2）4. 同时成立？若存在，求出f （x）的解析式，若不存在，说明理由. 分析：先猜出 f （x）2x；再用数学归纳法证明 . 例 6 设 f （x）是定义在（ 0，）上的单调增函数，满足f （xy）f （x）f （y） ，f （3）1，求：（1）f （1） ；（2）若 f （x）f （x8）2，求 x 的取值范围 . 分析： （1）利用 313；（2）利用函数的单调性和已知关系式. 例 7 设函数 y f （x）的反函数是 yg（x）. 如果 f （ab）f （a）f （b） ，那么 g（ab）g（a） g（b）是否正确，试说明理由. 分析：设 f （a）m ，f （b）n，则 g（m ）a，g（n）b，进而 m nf （a）f （b） f （ab）f g（m ）g（n） . 例 8 已知函数 f （x）的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件：x1、x2是定义域中的数时，有f （x1x2）)()(1)()(1221xfxfxfxf；f （a） 1（a0，a 是定义域中的一个数）；当 0 x2a 时，f （x）0. 试问：（1）f （x）的奇偶性如何？说明理由；（2）在（0，4a）上， f （x）的单调性如何？说明理由. 分析： （1）利用 f （x1x2） f （x1x2） ，判定 f （x）是奇函数；（3）先证明 f （x）在（ 0，2a）上是增函数，再证明其在（2a，4a）上也是增函数 . 对于抽象函数的解答题，虽然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解题意. 有些抽象函数问题，对应的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数. 因此，针对不同的函数要进行适当变通，去寻求特殊模型，从而更好地解决抽象函数问题. 例 9 已知函数 f （x） （x0）满足 f （xy）f （x）f （y） ，（1）求证：f （1）f （1）0；（2）求证：f （x）为偶函数；（3）若 f （x）在（ 0，）上是增函数，解不等式f （x）f （x21）0. 分析：函数模型为： f （x）lo ga| x| （a0）（1）先令 xy1，再令 xy 1；（2）令 y 1；（3）由 f （x）为偶函数，则 f （x）f （| x| ）. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 19 页学习必备欢迎下载例 10 已知函数 f （x）对一切实数 x、y 满足 f （0）0，f （xy）f （x） f （y） ，且当 x0时，f （x）1，求证：（1）当 x0 时，0f （x）1；（2）f （x）在 xR上是减函数 . 分析： （1）先令 xy0 得 f （0）1，再令 yx；（3）受指数函数单调性的启发：由 f （xy）f （x）f （y）可得 f （xy）)()(yfxf，进而由 x1x2，有)()(21xfxff （x1x2）1. 练习题：1. 已知： f （xy）f （x）f （y）对任意实数 x、y 都成立，则（）（A）f （0）0 （B）f （0）1 （C）f （0）0 或 1 （D ）以上都不对2. 若对任意实数 x、y 总有 f （xy）f （x）f （y） ，则下列各式中错误的是（）（A）f （1）0 （B）f （x1） f （x）（C）f （yx） f （x）f （y）（D）f （xn）nf （x） （nN ）3. 已知函数 f（x）对一切实数 x、y 满足：f（0）0，f （xy）f （x）f（y） ，且当 x0 时，f（x）1，则当 x0 时，f （x）的取值范围是（）（A） （1，）（B） （， 1）（C） （0，1）（D ） （1，）4. 函数 f （x）定义域关于原点对称，且对定义域内不同的x1、x2都有f （x1x2）)()(1)()(2121xfxfxfxf，则 f （x）为（）（A）奇函数非偶函数（B）偶函数非奇函数（C）既是奇函数又是偶函数（D）非奇非偶函数5. 已知不恒为零的函数f （x）对任意实数 x、y 满足 f （xy）f （xy）2 f（x）f（y） ，则函数 f （x）是（）（A）奇函数非偶函数（B）偶函数非奇函数（C）既是奇函数又是偶函数（D）非奇非偶函数参考答案：1A 2B 3 C 4A 5B 函数典型考题1.若函数)127()2()1()(22mmxmxmxf为偶函数，则m的值是（B）A. 1B. 2C. 3D. 42已知函数( )f x是定义域在R上的偶函数，且在区间(, 0)上单调递减，求满足22(23)(45)fxxfxx的x的集合解：( )f x在R上为偶函数，在(,0)上单调递减精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 19 页学习必备欢迎下载( )f x在(0,)上为增函数又22(45)(45)fxxf xx2223(1)20 xxx，2245(2)10 xxx由22(23)(45)f xxf xx得222345xxxx1x解集为|1x x. 3.若 f(x)是偶函数，它在0,上是减函数 ,且 f（lgx） f(1),则 x 的取值范围是（C ）A. (110，1) B. (0，110)(1，) C. (110，10) D. (0，1)(10，) 4.若 a、b 是任意实数，且ab,则（D）A. a2b2B. ab0 D.12a3, f(x)的定义域为（3，+） 。（2） f(x) 的定义域不关于原点对称，f(x) 为非奇非偶函数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 19 页学习必备欢迎下载（3）由 y=lg,33xx得 x=110)110(3yy,x3,解得 y0, f-1(x)=)0(110) 110(3xxx(4)f)3(=lg3lg3)3(3)3(,33)3(3)3(，解得(3)=6 。11.下列函数中，同时满足：有反函数，是奇函数，定义域和值域相同的函数是（C ）（A）y=2xxee（ B） y=lgxx11（C）y=-x3 （D）y=x零点问题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 19 页学习必备欢迎下载精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 19 页学习必备欢迎下载精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 19 页